淺談矢量巧妙分解有助于物理問題的簡化

矢量是物理學中的一個比較重要的物理量，它是一個既有大小又有方向，并且滿足平行四邊形法則的物理量。對它正確恰當地分解，有助于物理問題的解決。但對于初學者和一些中學物理教師來說，對它的把握并不好，不能恰如其分地分解，反而使一些問題復雜化了。在此，筆者談談自己對矢量分解的一點看法。

一、 正交分解(垂直分解)

正交分解就是將一個矢量按平行四邊形法則分解成兩個互相垂直的矢量。如圖1，將矢量a分解成了一個沿x軸方向的ax和沿y軸方向的ay的兩矢量。

例如，一物體沿以水平速度vo從h高處水平拋出，在不計空氣阻力的情況下，求此物體在水平的最大位移?解法一:如圖2所示，以水平方向為x軸，豎直向下為y軸建立直角坐標系，h=gt2/2，x=vot=> x=vo(2h/g)1/2。解法二:如圖3所示，假如將其一個分解在豎直向下為y軸，一個分解成與vo成θ的角度方向，h=(-vot)tgθ+ gt2/2，x水平=vot=> x水平=vo{-votgθ+(vo2tg2θ+2gh) 1/2}/g。這里讀者可以自己對比看看哪種方法簡單。解法二必須知道θ的角度，才有辦法計算出結果，且計算難，易出錯。

二、 非正交分解(任意分解)

非正交分解也按平行四邊形法則進行分解，只是它的兩個矢量不在正交，而是呈任意角度。如圖4所示將矢量a分解成了一個沿x軸方向的ax和沿y軸方向的ay的兩矢量。

例如，一運動員在投擲鉛球時，以斜向上的速度vo拋出，拋出點到地面的豎直距離為h，求要使鉛球拋得最遠(水平距離)，vo應與水平地面成多大的角度?解法一:如圖5所示，將vo分解成沿vo的x軸方向(勻速直線運動)和一個豎直向下為y軸方向(自由落體運動)，X2=(vot)2-(gt2/2-h)2 。當t2=(2vo2+2gh)/g2時，Xmax=(votcosθ) max=vo(2vo2+2gh)1/2 /g，再將t的數值代入得-h=votsinθ-gt2/2=>θ=arcsin{vo/(2vo2+2gh)1/2}。解法二:我們采用如圖6所示，分解成以水平方向為x軸，豎直向下為y軸建立直角坐標系時，x=votcosθ，h=- votsinθ+ gt2/2=> t= {vosinθ+(vo2sin2θ+2gh)1/2} /g，x= {vosinθ+(vo2sin2θ+2gh)1/2} cosθ/g。當x最大時，θ=arcsin{vo/(2vo2+2gh)1/2}。通過對比可以看出，解法一比解法二簡單，解法一的分解比較常見，也是我們初學者的常用方法，但計算煩瑣易出錯，解法二是一種反常規、難想到的方法，解法簡單。

結論:我們要注意觀察，不管是正交分解還是非正交分解都有兩個共同的特征:將一個量分解到初始的運動方向、一個分解到豎直向下。綜上所述，只要我們選擇恰當的分解方式，就能讓一些煩瑣的問題簡單化，就會起到出其不意、事半功倍之效。至于其他的優點，還需讀者自己在具體的問題中探索。

(西華師范大學物電學院07級2班)