驗證方法例談

猜想是根據已有的知識和經驗，通過對研究對象比較、分析、判斷、推理而作出的估測。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說:“真正的數學家，常常憑借數學的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實。”新的數學課程標準也指出“學生應經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。猜想作為一種常見的學習方式，已被廣泛運用在課前引入、新知學習、練習鞏固之中。猜想后驗證方法的學習不容忽視，我們在教學中要根據知識的不同類型，學會不同的驗證方法，注重培養學生的驗證能力，進而彰顯猜想的魅力。

一、操作實踐，培育猜想的土壤

小學生思維的特點是從以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象思維為主要形式，猜想后可以通過動手操作，進而在具體感知、直觀中幫助學生理解概念，發展形象思維。在《我們認識的數》中，學生根據已有的生活經驗，猜一猜一把能抓多少粒黃豆，然后數一數得到準確的數字，再猜一猜緊抓一把花生會是多少粒，這時不能還憑感覺猜，要引導學生比較每人抓的黃豆粒數不盡相同，猜花生的粒數時通過猜、數、比，得到花生的粒數和自己抓的黃豆粒數之間的關系。再如教學圓柱的側面展開是一個什么圖形時，在猜想的基礎上讓學生自己動手剪一剪，交流不同的剪法得到的不同圖形。“手使腦得到發展，使它更明智;腦使手得到發展，使它變成思維的工具和鏡子。”操作實踐讓猜想不再是空中樓閣，讓學生豐富了生活經驗，積累了學習的體驗。

二、巧用計算，挖掘猜想的深度

計算是數學學習的一個重要內容，學生不僅要學會計算，而且要能通過計算及計算方法的推導，發現知識的演變過程，揭示知識的深層規律。如《面積的變化》中，測量長方形和按比例放大的長方形的長與寬，學生猜想面積比是長的比的平方。再對正方形、三角形、圓等圖形測量計算進行舉例驗證，驗證到此似乎已經結束，但在練習中計算校園平面圖中各建筑物的面積時，我們發現學生會出現用比例尺知識解答和用今天所學知識解答兩種情況，圖中教學樓是長為5厘米，寬為1.5厘米的長方形，圖上面積為5×1.5=7.5平方厘米，圖的比例尺是1:1000，那么圖上面積與實際面積的比是1:10002，實際面積是7.5×1000000=7500000平方厘米=750平方米，用比例尺解答是5×1000×1.5×1000= 7500000平方厘米=750平方米。這里不妨把算式5×1000×1.5×1000變形為5×1.5×1000×1000=5×1.5×10002進一步加強兩者的聯系。

三、運用規律，尋找猜想的算理

猜想有著很大的直覺成分，它的結果往往出乎意料，但又在情理之中，有時學生面對猜想結果會感到茫然，不知是對還是錯，此時教師要善于解惑，引領學生尋找其中的數學奧秘。例如，在一個長方體容器(如圖)中盛水，水高4厘米，如果側放，水有多高?

學生列式為20×4÷16=5厘米，20×4是一個面的面積，為什么除以16就是后來水的高度呢?難道就是把已知的數據隨意計算嗎?其實這里隱藏著一個規律:水在容器中是長方體，它的體積是不變的，把第一次中20和4看成底面，寬就是高，把第二次16和水的高度看成底面，寬也是高度，所以高相等，底面積也相等，即20×4=16×水的高度，當然可以列式為20×4÷16。

四、探究算理，體現猜想的合理

人類的認識是螺旋式前進的，教材在安排學習內容時要遵循這一規律，一個知識體系，分成不同單元，在同一個學期或者不同學期學習，先前的知識對后續的學習有著積極的影響，為學習新知提供幫助，也為新知打下扎實的基礎。以小數乘法為例，先學習小數乘整數，得出積的小數位數與因數的小數位數有關，即因數是幾位小數，積也有幾位小數。那么教學小數乘小數時:

師:2.6×3.8的積是幾位小數?

生:我想會是兩位小數。因為積與因數的小數位數有關。

師:那么我們能不能從計算過程中想一想為什么會是兩位小數呢?

生:在計算小數乘小數時，把小數看成整數來計算，也就是2.6乘10，3.8乘10，積就乘100，原來的積要除以100，從右邊數出兩位，點上小數點，是兩位小數。

這個學習過程，既探究了小數乘小數的計算算理，也是對猜想的合理性進行驗證，是一個再認識的過程。

五、類比推理，厘清猜想的因果

類比猜想是根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想。根據類比引起猜想后，同樣可以用類比的方式，把第一個對象的學習方法、思考方式、解決策略等，用來驗證第二個對象。如學習小數的運算4.68+7.4+5.6+9.32時，學生觀察后想到整數中的加法運算定律，猜想是否也可以利用它簡便計算，于是自主探究嘗試計算4.68+7.4+5.6+9.32=4.68+9.32+(7.4+5.6)，再用計算器算一算，發現運算律對小數計算仍然是適用的。推導圓柱體積公式時與推導圓面積公式相類比，學生猜想圓柱可以轉化成長方體，嘗試用“割補法”推出圓柱體的體積公式。

六、舉例判斷，力求猜想的完美

小學生的思維處在具體運算階段，有的結論學生還不能進行科學嚴謹的驗證，可以通過舉例子，也就是不完全歸納進行驗證。例如加法交換率的學習，“交換兩個加數的位置，和不變”，讓學生舉例時，學生先是只舉兩位數加兩位數的例子，教師及時引導:別的情況可以嗎?于是學生舉出兩位數加三位數、三位數加三位數、兩位數加一位數等，此時如果歸納出加法交換率，顯然例子不夠全面。要再引導學生舉一些特殊的例子:加數是0、1呢?讓學生知道舉例是要考慮各種不同的情況的，不能只舉幾個例子，舉例的面越廣，類別越多，結論的準確率就越高。