架設“算理”與“算法”之間的橋梁

一、困惑

案例一:

2010年9月我第一次執教蘇教版教材，在教學“兩位數除以一位數”(三年級上冊)時，先出示這樣的情境圖:有52個羽毛球(5筒羽毛球，每筒10個，外加2個)，平均分給2個班，每班能分到多少個?在學生理解了圖意的基礎上，列出了這樣的算式52÷2，然后，請學生想一想怎樣分。

學生同桌互相討論后全班交流，形成了這樣一種分發:先將5筒里的4筒平均分給2個班，每班2筒，即20個;再將剩下的1筒與2個合起來共12個，平均分給2個班，每班6個，20+6=26個。

這一部分兩位數除以一位數算理的教學以學生為主體，在學生原有的認知結構基礎上進行引導，符合學生的認知規律，學生的認識也比較到位，接下來的關鍵是怎樣過渡到算法了。我是這樣處理的:下面我們結合剛才的分法想一想如何用豎式計算52÷2呢?

師問:52中的5表示什么?生答:50。師補充:也就是5個十。師接下去問:那5個十除以2得幾個十呢?

生答:2個十。

師說:那就在十位上商2……從算理過渡到算法的過程中，總感覺到過渡不自然，與算理關系不緊密，比較生硬。教師灌輸得多，并不符合學生的認知規律。

案例二:

前不久我校的同課異構課活動，有兩位老師執教了蘇教版四年級上冊“混合運算”這一內容，他們都是先出示情境圖，讓學生收集信息:一盒鋼筆有10支，一共80元。1盒水彩筆18元，一個訂書機12元，買1支鋼筆和1個訂書機共多少元?學生列出這樣的綜合算式:80÷10+12 、12+80÷10 ，然后結合實際需要讓學生總結出這兩個算式都應該先算出每支鋼筆多少元即80÷10，再與一個訂書機的價錢12元相加。接下來，老師又要求學生求出1盒水彩筆比1支鋼筆貴多少元?學生列出這樣的綜合算式:18-80÷10，再結合實際需要讓學生總結出這個算式應該先算出每支鋼筆多少元即80÷10，再用水彩筆的價錢18元減去每支鋼筆的價錢8元。在此基礎上，讓學生觀察上面三個算式的運算順序，找出它們的共同點:算式中有除法和加減法，應先算除法，再算加減法。我聽到這個時候，感覺到學生對算理的理解是透徹的，由算理到算法的過渡是自然的，按照道理學生對算法的應用應該不成什么問題，但后來學生在進行類似的練習時錯誤率較高，達到50%左右。

二、啟發

特級教師徐斌老師在執教蘇教版二年級下冊的“兩位數乘一位數(不進位)”時，在算理與算法的過渡之間采取了以下策略:

1.初建模型:通過直觀演示，使學生理解14×2的算理是:先用4×2=8，再用10×2=20，最后用8+20=28，從而初建這樣的計算模型

2.架設橋梁:稍停頓后，讓學生模仿上面的模型，計算下面三題:

3.觀察、比較、思考、歸納:幾題有哪些共同的地方?你們認為這樣的豎式哪些地方可以不用?學生回答時，課件進行動態演示。(置黑的地方可以省去)

4.接下來，每人拿出橡皮，把剛才的三題擦一擦、改一改，擦的過程是進一步理解算理、掌握算法的過程。從而自己歸納出這樣的豎式:

認真拜讀徐老師的處理策略，我感覺到算理和算法之間并不可以一步到位，從直觀的算理到抽象的算法需架設橋梁，完成從動作思維到形象思維再到抽象思維的過渡。

三、反思

1.對“算理”與“算法”的理解。“算理”從字面上理解指計算的道理，它是四則計算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識;“算法”從字面上理解指計算的方法，它是實施四則計算的基本程序，通常是算理指導下的一些人為規定。

2.“算理”與“算法”之間的關系。理解算理是建構算法的前提。理解算理可以通過對情境圖的觀察、動手操作、實際問題的解決等形式進行，因為這些形式比較直觀，因此學生對算理的理解難度不大。但通常學生并不是理解算理之后馬上就能形成算法，算法是在算理的基礎之上抽象概括而來的，算法的形成是一個緩慢的過程，需花一定的時間、采取有效的方法深化對算理的理解，也就是在算理與算法之間需架設一個橋梁，讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

3.案例一中如何架設“算理”與“算法”之間的橋梁。在幫助學生理解算理的時候，先出示這樣的情境:有5筒羽毛球，要求平均分給2個班，每班分得多少個?學生很自然地會想到:先將5筒里的4筒平均分給2個班，每班2筒，即20個;再將剩下的1筒即10個再平均分給2個班，每班分得5個，20+5=25個。在此基礎上，引導學生得到下面的豎式:

然后，豎式計算下面的三題:30÷2、70÷5、60÷4。接下來，再進行“有52個羽毛球平均分給2個班，每班能分到多少個?”的算理教學，將此題的算理與上題的算法相結合，引導出52÷2的算法。

4.案例二中如何架設“算理”與“算法”之間的橋梁。在提問80÷10+12 、12+80÷10中“應先算什么?為什么要先算”后，再換一個角度問一下:80÷10+12中能先算10+12嗎?為什么不能?12+80÷10中能先算12+80嗎?為什么不能?第二個問題可將“1盒水彩筆18元”改為“1個電子詞典90元”，問“1個電子詞典比1支鋼筆貴多少元”?在學生列出90-80÷10的算式并說出要先算80÷10后，接下去問:能先算90-80嗎?為什么不能?雖然回答這些問題學生有一定的難度，但經教師的引導啟發可以加深學生對算法的切實把握。