逆向思維在數學中如何培養和訓練

逆向思維也叫求異思維，是對立于習慣性思維的一種思維，它是人們對司空見慣的似乎已成定論的事物或現象，反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維。例如“司馬光砸缸?！庇腥寺渌Ｒ幍乃季S模式是“救人離水”，而司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。

在遇到某些問題時，順推不行，考慮逆推;直接解決不行，想辦法間接解決;原命題研究過后，研究逆命題;探究可能性發生困難時，考慮探討不可能性等。逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性與反聯結性，它有利于克服思維定勢的保守性，產生某些意想不到的效果。如:100粒棋子，兩人輪流每次取1、2或3粒，取最后一粒者勝。是先取還是后取必勝?怎樣取勝?這個問題順向思考相當難。逆向思考:從結果入手考慮，當去取剩下1、2、3粒者必勝;怎樣才能使對方取后剩下1、2、3粒?讓對方在4粒中取可以做到這一點。怎樣保證對方在4粒中去?讓對方在8粒中取可得到保證。……思路溝通，后取者必勝，當然取勝的策略也很清楚了。

普通高中《數學課程標準(實驗)》指出:“高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用?！痹谔岢珓撔陆逃慕裉?，逆向思維方式在數學教學中有著全新的應用價值。逆向思維是一種發散性思維，心理學把從對立的角度去考慮問題的思維方式叫做逆向思維，它是創造性思維的輔助法寶。數學教學中，教師應重視運用逆向思維對學生進行思維轉換能力的訓練。本文就數學教學中逆向思維能力的培養和訓練作初步探討。

在新課教學中重視學生逆向思維的培養

(一)在定義和概念教學中注意培養反方向的思考，數學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從左到右的運用，于是形成了定向思維，使學生在解題中往往不能自如的逆用定義。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，由于被定義的概念和下定義的語句所刻畫的的概念在外延上是完全一致的，因此兩者的位置可以互換.這就是說，作為定義的命題，其逆命題總是成立的，從而加深對概念的理解與拓展。比如:我們在直線和平面垂直的教學中，如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直。反過來，如果我們知道一條直線和一個平面垂直，就可以得到這條直線和這個平面的任意一條直線垂直，運用它便可以證明線線垂直。

(二)重視公式逆用的教學，公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現。在教學中注重這方面的訓練，不僅能使學生思維活躍，拓寬思維，有益于學生思維能力的培養和提高。因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整、豐滿的印象，開闊思維空間。在代數中公式的逆向應用比比皆是。

化簡下列各式:

(1)cos15°-cos75°;

(2)tan19°+tan41°+tan19°·tan41°.

 【解前點津】 (1)考慮所對應的特殊角，逆用差角的正弦公式;

(2)展開tan(19°+41°)變形即得.

【規范解答】 (1)原式=sin60°·cos15°-cos60°·sin15°

=sin(60°-15°)=sin45°=;

(2)∵tan(19°+41°)=，

∴×(1-tan19°·tan41°)=tan19°+tan41°，∴原式=.

在習題課的教學中注重對學生逆向思維的訓練，下面介紹幾種運用逆向化思路的具體方法

(一)“反客為主”法 受思維定勢的消極影響，人們在解決有幾個變量的問題時，總是緊緊抓住主元不放，這使有些問題解決異常復雜。此時若變換主元，反客為主，往往可以輕巧地解決。

例如:解方程=0。

簡析:這是一個關于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一時真不知道如何分解;若利用三次方程的求根公式來求解，顯然十分繁瑣，況且考綱也沒有要求中學生掌握三次方程的求根公式。怎么辦?若反客為主，將參數a視為未知量——主元，將x視為參數，此方程可整理成關于a的一元二次方程:。利用二次方程求根公式不難解得，于是有或，從而可求出原方程根為。(解答略)

(二)反推法 所謂反推法，即從結論入手考慮解決問題的解題方法，也稱逆推法。有些數學題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結論，導致中途迷失方向，使得解題無法進行下去。此時若運用分析法，從命題的結論出發，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。

例 已知:如圖，

過△ABC的邊AB上任意一點E作ED∥BC交AC于點D，F為BC上任一點，連結FD、FE，則四邊形AEFD的面積是△AED與△ABC面積的比例中項。

思路:命題的結論可改寫成，連結BD?！逧D∥BC，

∴，故只需證明 。又△BAD與△AED等高，

△ABD與△ABC等高，∴。

從而只需證明，這可由ED∥BC推得。

證明從略。

(三)反證法 邏輯學的排中律指出:在一個問題的研究中，對象或具有某種性質，或不具有某種性質，二者必居其一且僅居其一。反證法正是運用排中律的一種間接證法當問題正面不便證明時，改證其對立面不成立，雖然未直接證明正面成立，但已間接使正面成立得到保證。例如:若方程中至少有一個方程有實數解，求m的取值范圍。

思路:若從正面求解，不難想象其工作量的浩繁程度，反設一下如何呢?

解:假設三個方程都沒有實數根，則有:

解此條件組，得:。

∴當≥―1或m≤―時，至少有一個方程有實數解。

總之，逆向思維是數學學習中的重要思維形式，它能夠有效地提高學生思維轉化能力，使學生在解決問題受阻時能擺脫習慣思路和常規解題模式的束縛，尋求新的解決問題的途徑和方法。因此教師將逆向思維的培養和訓練，有機地參透在數學教學的各個環節中，對拓寬學生的解題思路，提高學生數學能力，造就創新人才十分重要。