利用“陷阱”教

　　摘要：根據教育改革和發展的趨勢，在數學教學過程中培養學生的思維能力是非常重要的。文章主要研究三個問題：“陷阱”教學的作用和意義；“陷阱”的設置及思維能力的培養；怎樣把學生拉出“陷阱”。
　　關鍵詞：陷阱；思維能力；思維定勢
　　
　　數學教學的核心是促進學生思維的發展。教學中，教師要千方百計地通過學生學習數學知識，全面揭示數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。課堂教學中充分有效地進行思維訓練，是數學教學的核心，它不僅符合素質教育的要求，也符合知識的形成與發展以及人的認知過程，體現了數學教育的實質性價值。
　　當前，數學教育改革和發展的總趨勢就是發展思維，培養能力。現代數學論認為，數學教學是數學思維活動的教學。思維活動的強弱，決定一個人的思維品質，要達到這一要求，教師的教學就必須從優化學生的思維品質入手，注意激發和培養學生多種優良的思維品質。在教學中經常遇到一些學生看問題不夠深入，分析問題不夠細致，解題時就極易落入題目的“泥潭水坑”即所謂的“陷阱”之中。不過，一旦他們明白了錯誤之后，印象極為深刻，以后就很少犯同樣的錯誤，而且思維能力也得到了相應的提高。
　　一、“陷阱”教學的作用和意義
　　所謂“陷阱”并不是捉弄學生，而是指給出的問題在內容上或解題方法上具有較深的隱蔽性，在文字上或語句上或圖表上具有一定的誘導性，讓學生感覺問題不難，但極易出錯。我們知道，解答數學問題的正確思維是正確運用數學概念、定理、公式去分析問題、解決問題，但學生的認識和思維過程往往有不正確的方式，如憑直觀感受想當然、簡單機械地模仿或生搬硬套等等。而“陷阱”教學能幫助學生克服上述不良思維習慣，能培養學生耐心細致地分析問題的能力、培養學生的數學思維能力；“陷阱”教學還能使學生在挫折中得到啟發，在失敗中吸取教訓。
　　二、“陷阱”的設置及思維能力的培養
　　1.利用“缺失”條件巧設“陷阱”，培養思維的靈活性和敏捷性
　　在數學教學中，經常會遇到所給問題呈現條件不足的假象、圖形的部分殘缺等情況，或由于對這種缺失的本質認識不足，或由于想象力的匱乏，而掉進“陷阱”。
　　例如：求
　　一般學生的解題思路如下：當x→∞時，分母和分子的極限都不存在，故不能利用商的法則進行計算。于是有的學生就亂猜測其結果為∞，甚至有的學生說題目條件不夠或者說題目錯了，學生陷入困境之中。
　　掉進“陷阱”的原因是學生并沒有想到把題目變一變。
　　分析：若把看作是與sinx的乘積，因為當x→∞時是無窮小量，而sinx是有界函數，故利用無窮小量的性質（有界函數與無窮小量之積為無窮小量）即可得出結果。
　　解：當x→∞時，，即是無窮小量。又，即sinx是有界函數。根據無窮小量的性質，得
　　2.利用思維“定勢”設置“陷阱”，培養思維的批判性和深刻性
　　數學教學過程實質上是由一連串的轉化過程所構成的。學生接受新知識要借助于舊知識，而舊知識的思維形式往往會成為新知識思維形式的障礙（如思維定勢）。思維定勢，是指在過去經驗的影響下，對于解決的新問題帶有一定的傾向性。思維定勢作為已有知識和經驗對新學知識、技能的影響，有其兩重性，當學生業已掌握的知識、技能妨礙或干擾學習新知識、新技能時，形成所謂負遷移。如果學生對一類問題已形成了思維定勢和思維習慣，這時若出現與這類問題性質不同的問題，就會掉入“陷阱”。
　　例如：設，求f＇（0）
　　一般解法是：用公式法，先求導數函數為：
　　導數的定義在求極限、求導數的計算中都有著重要的甚至是不可替代的作用。
　　講完上題后，緊接著給學生下面問題：
　　講最大利潤問題時，我們先做這樣一個題，某廠每月生產x噸產品的總成本為（萬元），每月銷售這種產品的價格
　　P=100-x（萬元/噸），問每月的產量是多少時收入最大？
　　經計算得出：R（x）=x（100-x），R＇（x）=100-2x
　　令R＇（x）=100-2x=0
　　x=50R＂（50）=-2＜0，所以月產量為50噸時收入最大。
　　問：月產量為11噸還是50噸時利潤最大？
　　很多學生不假思索答：50噸時利潤最大!問：對嗎？請同學們驗證一下。驗證的結果使學生發現了問題，反思思維立即展開，對問題的再探索也就成為必然。
　　利用這些“陷阱”題，教師給予適當的指正和鞏固練習，讓學生深刻理解新、舊知識之間的聯系和區別，防止生搬硬套的錯誤發生，使學生印象深刻又培養了思維能力。
　　3.利用“正向”思維巧設“陷阱”，培養思維的獨創性和廣闊性
　　就心理學角度考慮，一個人只習慣于正向思維，而不習慣于迂回思維，在解題中，只習慣于正向運用定義、公式，法則等，而遇到需要靈活處理的問題時仍按正向思維處理，就會掉入陷阱。
　　例如：求
　　分析：我們知道本題顯然不能用直接積分法（不能直接套不定積分的公式）和變量置換法（題目不含有根號），經過考察也不能用湊微分法，只能用分部積分法求解。
　　用分部積分法積分的關鍵是確定u和dv。
　　師：本題的u和dv可以直接看出來嗎？
　　眾生：不能。
　　師：該怎么辦？
　　眾生：先湊微分。
　　師：對。怎樣湊？誰來說？
　　生1：在湊微分環節，可以把xdx湊成
　　師：這個同學湊微分的方法對嗎？
　　眾生：對
　　師：誰來接著做下去？
　　生2：
　　接下來不知道做了。
　　師：誰能繼續做下去？
　　生3：還需要繼續用分部積分法進行積分。
　　在本題的教學中，先讓學生思考用什么方法解決問題，在選對分部積分方法之后，在湊微分時又有講究，當用正向思維不能解決問題時，應及時改變思維方向，另選突破口，這樣讓學生經過多次的思考與探索，學生的思維品質才能得到更大的提高。
　　三、怎樣把學生拉出“陷阱”
　　首先，教師幫助學生分析掉入“陷阱”的原因，讓他們先“醒”過來；其次是要“慢慢”地把他們拉出來，教師要抓好教學過程中數學思想方法的滲透，在數學知識的質變（往往是重點）過程中，幫助學生實現思維活動的轉折，排除思維活動的障礙（往往是難點），渡過思維操作的“關卡”，以實現思維發展，讓他們從中“悟”出一些道理；再次，要鋪設一些“臺階”讓學生自己爬起來，教師要注意結合學生的心理特點和認識水平從不同角度、不同層次、不同側面有目的、有針對性地不斷設計組編一些探索型、開放型、判斷改錯型、歸納與綜合型等題目，為學生提供多種類型的思維訓練素材，留給學生足夠的時間訓練；最后，教師可以對學生的思維進行測評，測評方法可小型多樣，應根據課堂內容及學生實際情況而定，如選編一些口答、搶答、限定時間解答等題型對學生進行思維品質單項測評或多項綜合測評。學生可先自我評價，體驗成功的樂趣。在測評中，教師要注重把握學生思維的過程和特點，了解其弱點，既不輕易放過學生出現的問題，也不盲目地下結論，而應以此為契機認真研究優生與差生的心理特征與思維特征，探索優生“見微知著”的跨越性思維的奧秘和差生產生思維障礙的原因，從思維學和心理學的角度出發，通過變化教學結構、設計思維層次、調控思維節奏，對學生進行有效的思維訓練，促進學生良好思維品質的形成，提高課堂教學質量。
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