科普大師提出的數(shù)學(xué)趣題

20世紀(jì)下半葉，美國(guó)科普界叱咤風(fēng)云數(shù)十年的三位大師級(jí)人物是艾薩克·阿西莫夫、卡爾·薩根與馬丁·加德納，堪稱(chēng)不分伯仲，各領(lǐng)風(fēng)騷。時(shí)至今日，前面兩位大師均已逝世，唯有加德納先生依然健在并且老當(dāng)益壯，在數(shù)學(xué)傳播領(lǐng)域繼續(xù)發(fā)揮著無(wú)可替代的作用。這位當(dāng)代數(shù)學(xué)科普大師編制的諸多趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，因其令人贊嘆的生活性、靈活性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性而被廣泛流傳，吸引了全世界的數(shù)學(xué)愛(ài)好者的普遍關(guān)注。現(xiàn)向大家介紹其中的幾則經(jīng)典趣題。

一、 電梯事件

第二次世界大戰(zhàn)中德軍占領(lǐng)法國(guó)期間，有一天，巴黎的一家旅館里有四個(gè)人共乘一部電梯下樓。其中一個(gè)是身穿軍裝的納粹軍官；一個(gè)是當(dāng)?shù)氐姆▏?guó)人，是反納粹地下組織的秘密成員；第三個(gè)是一位漂亮的少女；第四個(gè)是一位老婦人。他們相互不認(rèn)識(shí)。突然電源發(fā)生了故障，電梯停住不動(dòng)了，電燈也熄了，電梯內(nèi)漆黑一團(tuán)。這時(shí)發(fā)出了一聲接吻的聲音，隨后是一掌打在臉上的聲音。過(guò)了一會(huì)，電燈又亮了，納粹軍官的一只眼睛下面出現(xiàn)了一塊猩紅的傷痕。

老婦人想：“真是活該！幸虧如今的年輕姑娘們學(xué)會(huì)了如何保護(hù)自己。”

少女尋思：“這個(gè)納粹分子真怪！他沒(méi)有吻我，想必是吻了這位老婦人或者那位漂亮小伙子，真不知道是怎么回事！”

納粹軍官在想：“怎么啦！我什么事情也沒(méi)做，可能是這個(gè)法國(guó)男子想吻這位姑娘，她失手打了我。”這幾個(gè)人的想法是不是很奇怪？那么請(qǐng)你推測(cè)一下電梯里究竟發(fā)生了什么事情？

顯然這是一個(gè)非常有意思的問(wèn)題，因?yàn)閺谋砻嫔蟻?lái)看，接吻是男女之間的事情，可電梯里的兩個(gè)女性都確定自己沒(méi)有被侵犯，這就導(dǎo)致了讀者的疑惑：那一記耳光又是如何而來(lái)的？請(qǐng)注意，如果你也是這樣思考的話，那么你就已經(jīng)陷入到大師巧妙設(shè)置的“陷井”中了，因?yàn)橐龑?dǎo)掉入陷井的路徑正是“強(qiáng)吻→被打”的常規(guī)思維。只要你能跳出定勢(shì)思維的泥沼，從背景等其他因素綜合考慮這個(gè)事件，問(wèn)題就能真相大白，并使你啞然失笑拍案擊節(jié)。

下面我們就根據(jù)當(dāng)事人的想法來(lái)進(jìn)行邏輯推理。首先考慮老婦人的想法，她認(rèn)為是納粹軍官吻了少女而挨了少女的打，這間接說(shuō)明了老婦人沒(méi)有被吻；其次少女認(rèn)為是納粹軍官吻了老婦人或法國(guó)小伙子導(dǎo)致被打，這也間接說(shuō)明少女沒(méi)有被吻；而納粹軍官的想法證明他什么也沒(méi)有做，由此可知老婦人、少女、納粹軍官三人與接吻無(wú)關(guān)。那么唯一可能就是，那吻聲是法國(guó)小伙子自己弄出來(lái)的，而且老婦人和少女都沒(méi)有打納粹軍官，納粹軍官也不可能打他自己，那么只能是法國(guó)小伙子打了納粹軍官。

綜合上述分析可還原事件的真相：法國(guó)小伙子是反納粹地下組織的秘密成員，當(dāng)然仇恨納粹軍官，于是停電時(shí)，他先親自己的手臂一下，然后狠狠打了納粹軍官一個(gè)耳光，用這個(gè)巧妙方法既解心頭之恨又毫無(wú)破綻。由此可見(jiàn)，法國(guó)小伙子才是耳光事件的策劃和操作者。

二、 誰(shuí)講真話

湯姆老師到一所新學(xué)校去應(yīng)聘，在面試時(shí)被問(wèn)到這樣的一則趣題：假若您到一所教室里，發(fā)現(xiàn)教室里有10個(gè)同學(xué)，他們每人都和您講了一句話。學(xué)生1：我們10個(gè)人中只有1人講假話；學(xué)生2：我們10個(gè)人中只有2人講假話；學(xué)生3：我們10個(gè)人中只有3人講假話；學(xué)生4：我們10個(gè)人中只有4人講假話；學(xué)生5：我們10個(gè)人中只有5人講假話；學(xué)生6：我們10個(gè)人中只有6人講假話；學(xué)生7：我們10個(gè)人中只有7人講假話；學(xué)生8：我們10個(gè)人中只有8人講假話；學(xué)生9：我們10個(gè)人中只有9人講假話；學(xué)生10：我們10個(gè)人講的全是假話。請(qǐng)你判斷這10個(gè)人中，究竟誰(shuí)講的是假話？(當(dāng)然我們假定這10個(gè)人的話在邏輯上都是站得住的，即不存在自相矛盾。)

該題頗有新意，人物眾多，敘述方式都有相近之處，僅有一字之差，但相互間的聯(lián)系很難弄清，極易產(chǎn)生思維混亂和理解障礙，讓人不知從何下手。而事實(shí)上此題的難度并不大，只要采用反向理解否定結(jié)論的方法來(lái)推斷，就能輕而易舉地順利解答。

根據(jù)題意敘述，我們知道10個(gè)人所說(shuō)的話各不相同，那么講真話的只能有1人。明確了這一點(diǎn)，那么就可以沿著學(xué)生講話線索順藤摸瓜，得到最終結(jié)果。如果學(xué)生1講的 “我們10個(gè)人中只有1人講假話”為真，也就是說(shuō)共有9人說(shuō)真話，那么除了學(xué)生1的這句真話，在剩下的九個(gè)人中還應(yīng)有8人也講真話，而這與起初“講真話的只能有1人”的判斷矛盾，所以學(xué)生1講真話的假設(shè)應(yīng)予否定。同樣道理，學(xué)生2、學(xué)生3、學(xué)生4、學(xué)生5……等人講真話的可能性都被類(lèi)似一一排除，只有學(xué)生9所說(shuō)的話“我們10個(gè)人中只有9人講假話”，即只有1人說(shuō)真話，此人就是學(xué)生9自己，與原命題判斷沒(méi)有矛盾，可以成立，所以可判定學(xué)生9講的是真話。

這則趣題由于它風(fēng)格非常獨(dú)特，令人有耳目一新之感，所以給廣大讀者留下了深刻的印象。值得一提的是該題的解題思想就叫“反證法”，這種解題思想已為人們廣泛接受和運(yùn)用。你是否學(xué)會(huì)了這種證明方法了呢？

三、 完美握手

有一天，一位先生這樣說(shuō)道：“前些日子，我同我太太一起參加了一個(gè)宴會(huì)，酒席上還有另外4對(duì)夫妻。大家見(jiàn)面時(shí)相互問(wèn)候，親切握手。當(dāng)然，沒(méi)有人和自己的太太握手，自己也不會(huì)同自己握手。另外我發(fā)現(xiàn)，大家與一個(gè)人握過(guò)手之后，都沒(méi)有再和他（或她）進(jìn)行第二次握手。當(dāng)彼此之間的握手全部結(jié)束之后，喜歡鉆牛角尖的我好奇地詢(xún)問(wèn)在座的各位先生和女士，當(dāng)然也包括我太太在內(nèi)，每人各握過(guò)幾次手？使我驚奇的是，每個(gè)人報(bào)出的握手次數(shù)竟完全不一樣，這非常奇特。因?yàn)樗鼱可娴较旅嫖乙獑?wèn)的一個(gè)問(wèn)題：我太太同別人共握了幾次手？你從我的敘述中發(fā)現(xiàn)線索了么？如果暫時(shí)還沒(méi)有，那么請(qǐng)?jiān)试S我增加一些說(shuō)明，一是為了使這個(gè)問(wèn)題不至于產(chǎn)生歧義，二是使之更加嚴(yán)密讓你摸不著頭腦。請(qǐng)聽(tīng)好：①甲與乙握手，在計(jì)算握手次數(shù)時(shí)，甲算一次，乙也算一次。②握手并不要求一個(gè)都不漏，可握也可不握。就是這些，請(qǐng)您開(kāi)動(dòng)腦筋解決這個(gè)問(wèn)題吧!”

首先從整體上分析：既然宴會(huì)上共有5對(duì)夫妻合計(jì)10人，任何人都不同自己握手，也不同自己的配偶握手，所以，任何一個(gè)人握手的次數(shù)最多只能等于8。由于這位先生已問(wèn)其他的9人，得知他們每人握手的次數(shù)都不一樣，可見(jiàn)這9個(gè)人的握手次數(shù)必定是0、1、2、3、4、5、6、7、8，這是一個(gè)容易得出的結(jié)論。

其次從細(xì)節(jié)入手：顯然握手次數(shù)為8的那一位同除了自己的配偶以外的每個(gè)人都握過(guò)了手，所以只有這個(gè)人的配偶才有可能是握手次數(shù)為0的人。換句話說(shuō)，握手次數(shù)是8和握手次數(shù)是0的是一對(duì)夫妻。這下把8、0排除后，接著類(lèi)似可以推定，握手次數(shù)是7和握手次數(shù)是1的是一對(duì)夫妻，握手次數(shù)是6和握手次數(shù)是2；握手次數(shù)是5和握手次數(shù)是3的是一對(duì)夫妻。最后只剩下握手次數(shù)為4的人，可以斷定，此人肯定是提出問(wèn)題的那位先生的太太。

問(wèn)題終于解決了，現(xiàn)在讓我們?cè)賮?lái)回顧一下這道被許多評(píng)論家們譽(yù)為“完美”的題目。評(píng)論家之所以有這樣極端的觀點(diǎn)，并不是出于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中專(zhuān)業(yè)美的推崇和渲染，而是從一個(gè)普通人的角度來(lái)審視判定得出的，因?yàn)樵谌粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡臄?shù)學(xué)思維如對(duì)稱(chēng)性、遞歸性、消去法都在這道題的解答中得到充分的展示。難怪對(duì)數(shù)學(xué)普及極為重視的評(píng)論家們發(fā)自?xún)?nèi)心地贊嘆：這樣的數(shù)學(xué)題目，真是太“藝術(shù)化”了。

看出來(lái)了嗎？在加德納的巧思妙想中，一個(gè)個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得生動(dòng)活潑趣味盎然。難怪他的數(shù)學(xué)科普作品具有全球范圍內(nèi)的巨大吸引力，精巧得讓人愛(ài)不釋手，品味良久，甚至令許多數(shù)學(xué)家也為之著迷。事實(shí)上，很多青少年正是因?yàn)榧拥录{的趣味數(shù)學(xué)題才對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣，甚至有家庭主婦因其而成為趣味數(shù)學(xué)專(zhuān)家的事例。正由于加德納在數(shù)學(xué)科普領(lǐng)域取得的巨大成功，人們尊稱(chēng)這位在美國(guó)家喻戶(hù)曉的傳奇人物為“數(shù)學(xué)傳教士”，堪稱(chēng)眾望所歸，名符其實(shí)。