高考數學交匯性試題備忘錄

眾所周知，新課標數學高考命題具有如下特點：（1）在知識網絡交匯處、思想方法的交織線上、能力層次的交叉區內命題；（2）關注數學素養、考查理性思維、凸顯學科能力；（3）綜合測試雙基，重點考查新增內容.從近兩年的新課標高考數學命題來看，高考在考查數學基礎知識的同時，更注重數學學科的內在聯系和知識的綜合性，從而在知識網絡的“交匯點”處設計試題，這些試題運用知識之間的交叉、滲透和組合，是基礎性與綜合性的最佳表現形式．預測2011年數學高考中，這類“交匯”性試題將不會“退出江湖”，依然占“半壁江山”.

一、 平面向量與三角函數的交匯

向量具有代數運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以像數一樣滿足“運算性質”進行代數形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函數是以“角”為自變量的函數，函數值體現為實數，因此平面向量與三角函數在“角”之間存在著密切的聯系.同時在平面向量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰性.

預測題1 設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足（2a+c）#8226;+c#8226;=0.（1）求角B的大小；（2）若b=2，試求#8226;的最小值.

點撥 （1）因為（2a+c）#8226;+c#8226;=0，所以（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，則（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，所以2sinAcosB+sin（C+B）=0，即cosB=-，所以B=.

（2）因為b2=a2+c2-2accos，所以12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4，所以#8226;=accos=-ac≥-2，即#8226;的最小值為-2.

點評 本題主要考查向量數量積運算，三角函數公式和余弦定理的應用．這種將三角函數與平面向量聯袂上演的題目已經成為當今新課標高考的一個極大亮點，這種命題不僅會使問題的綜合性得到進一步的加強，而且有利于培養考生的創造性思維和綜合解決問題的能力．在高考中，這類問題難度不大，屬于容易得分的中檔題.

二、 函數與概率的交匯

函數是高考的主干知識，概率（古典概型和幾何概型）是新課標必修3新增的內容，將新課標新增內容與函數融合在一起，體現新課標高考命題的新穎性和獨創性，這類試題一直受到命題者的青睞.

預測題2 已知函數f（x）=x2+ax+b，（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求不等式f（x）>0的解集為R的概率；（2）若a≤1，b≤1，求方程f（x）=0兩根都為負數的概率.

點撥 （1）滿足條件的不等式共有49個；不等式解集為R的條件是a2-4b＜0.

a=-2時，b=2，3，4； a=-1時，b=1，2，3，4； a=0時，b=1，2，3，4；

a=1時，b=1，2，3，4； a=2時，b=2，3，4； a=3時，b=3，4.

所以滿足等式f（x）>0的解集為R的不等式有20個，故等式f（x）>0的解集為R的概率是.

（2）方程f（x）>0兩根都為負的條件是

-a<0，b>0，a2-4ab≥0，即a>0，b>0，b≤a2，……（*）

滿足a≤1，b≤1點（a，b）組成的區域面積為4；而滿足（*）的區域面積為a2da=，所以方程f（x）＝0兩根都為負的概率P=.

點評 本題第（1）小題屬于古典概型，枚舉法是破解這類問題的基本方法；第（2）小題屬于幾何概型，利用面積之比求概率.這類問題在高考中雖難度不大，但必須謹慎解答，在計算基本事件時不可重復或遺漏.

三、圓錐曲線與平面向量的交匯

圓錐曲線與向量知識交匯在一起的綜合題，以復雜多變、綜合性強、解法靈活，知識覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實踐能力和數學思想方程應用能力.在解題中需要把握住知識間的聯系，注意借助轉化的思想、方程思想等.

預測題3 已知平面上兩定點C（－1，0），D（1，0）和一定直線l：x＝－４，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且（+2）#8226;（-2）=0.

（1）問點P在什么曲線上，并求出曲線的軌跡方程M；

（2）又已知點A為拋物線y2=2px（p>0）上一點，直線DA與曲線M的交點B不在y軸的右側，且點B不在x軸上，并滿足=2，求p的最小值．

點撥 （1）由（+2）（-2）=0，得=2.

法一：動點P到定點C（－1，0）的距離與到定直線l：x＝－４的距離之比為常數，所以點P在橢圓上．

由e==，-c==3a=2，b=，c=1. 所以所求的橢圓方程為+=1.

法二：設P（x，y）代入=2，得點P的軌跡方程為+=1.

（2）橢圓的右焦點為D（1，0），點B在橢圓+=1（-2

設B（x0，y0），其中-2

又=1-，∴８p=. 令t=x0+2，則0

即８p==-t+4，∵ 0

又當t=2時，x0=0，B為橢圓與y軸的交點， 故p的最小值為.

點評 由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶．而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新亮點．通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算．這類問題的難度在高考中一般處于中等偏上，也可能以壓軸題的“地位”出現.

四、圓錐曲線與數列的交匯

此類試題主要體現為以解析幾何中的點的坐標為數列，或某數列為圓錐曲線方程的系數，或以直線與圓及圓錐曲線的弦長構成數列等.解答時一般須根據解析幾何的知識確定數列的通項或遞推關系，進而利用數列的知識作答.

預測題4 在直角坐標平面上有一點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…對一切正整數n，點Pn位于函數y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標構成以-為首項，-1為公差的等差數列{xn}．（1）求點Pn的坐標；（2）設拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點為Pn，且過點Dn（0，n2+1），設與拋物線cn相切于Dn的直線斜率為kn，求++…＋；（3）設S={x｜x=2xn，n∈N*}，T={y｜y=4yn，n∈N*}，等差數列{an}的任一項an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數，-265< a10 <-125，求{an}的通項公式.

點撥 （1）∵ xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴ yn=3#8226;xn+=-3n-，∴ Pn（-n-，-3n-）.

（2）∵ cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，∴設cn的方程為y=a（x+）2-，把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，∴ cn的方程為y=x2+（2n+3）x+n2+1．

∵ kn=y′｜x＝０=2n+3，∴ ==

（-），

∴++…＋＝[（-）+（-） +…＋ （-）]=（-）=-=.

（3）∵ S={x｜x=-（2n+3），n∈N，n≥１}，T={y｜y=-（１2n+５），n∈N，n≥１}＝{y｜y=-２（６n+１）－３，n∈N，n≥１}，∴ S∩T，T 中最大數a1=-17．

設{an}公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得-

又∵ an∈T，∴ d=-12m（m∈N*），∴ d=-24，an=7-24n（n∈N*）.

點評 本題是一個解析幾何背景下的數列問題，集直線、拋物線方程、導數和數列通項、數列求和于一體，主要考查考生的綜合能力.這類問題歷來受命題者的追捧，應引起我們的足夠重視.在高考中，這類問題通常以中等偏上或難題的“身份”出現.

五、數列與不等式的交匯

數列與不等式既是高考的主干知識，又是數學高考的重點內容之一，因此數列與不等式的交匯性歷來是高考命題的重中之重，這類試題還往往與導數、函數等知識綜合在一起考查.主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查考生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查考生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能．

預測題5 已知數列{an}和{bn}滿足a1=b1，且對任意n∈N*都有an+bn=1，=.

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）證明:+++…＋

點撥 （1）∵對任意n∈N*都有an+bn=1，=，∴===，∴＝＋１，即-＝１. ∴數列{}是首項為，公差為1的等差數列.∵a１=b１，且a１＋b１＝１，∴a１=b１＝.∴=2+（n-1）=n+1，∴ an=，bn=1-an=.

（2）∵an=，bn=，∴＝，∴所證不等式+++…＋

① 先證右邊不等式: ln（１＋n）<1+++…+.令f（x）= ln（１＋x）-x，則f ′（x）=-1=-. 當x>0時，f ′（x）<0，所以函數f（x）在[0，＋∞）上單調遞減.

∴當x>0時，f（x）

得ln（１＋１）＋ln（１＋）＋ln（１＋）＋…＋ln（１＋）<1＋＋＋…＋.

即ln（１＋１）#8226;（１＋）#8226;（１＋）#8226;…#8226;（１＋）<1＋＋＋…＋.

也即ln（２×××…×）<1＋＋＋…＋. 即ln（１＋n）<1＋＋＋…＋.

② 再證左邊不等式: ＋＋＋…＋

令f（x）=ln（１＋x）-，則f ′（x）=-＝.

當x>0時，f ′（x）>０，所以函數f（x）在[0，＋∞）上單調遞增.

∴當x>0時，f（x）>f（0）=0，即ln（１＋x）>. 分別取x=1，，，…，.

得ln（１＋１）＋ln（１＋）＋ln（１＋）＋…＋ln（１＋）>＋＋…＋.

即ln（１＋１）#8226;（１＋）#8226;（１＋）#8226;…#8226;（１＋）>＋＋…＋.

也即ln（２×××…×）>＋＋…＋. 即ln（１＋n）>＋＋…＋.

∴+++…＋

點評 本題主要考查導數及其應用、數列、不等式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識，難度較大.在高考中往往以壓軸題的形式出現.

六、函數與導數的交匯

高考對導數的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函數相結合.其主要考點：（1）考查利用導數研究函數的性質（單調性、極值與最值）；（2）考查原函數與導函數之間的關系；（3）考查利用導數與函數相結合的實際應用題.

預測題6 已知函數f（x）＝+aln（x+１），其中n∈N*，a為常數.（1）當n=2時，求函數f（x）的極值；（2）當a=1時，若b1，b2，…，bk均非負數，且b1+b2+…+bk=1，求證：f（b1）+f（b2）+…＋f（bk）≤k+1.

點撥 （Ⅰ）由已知得函數f（x）的定義域為{x|x＞-1}，當n=2時，f（x）＝+aln（x+１），所以f ′（x）= .

（1）當a＞0時，由f ′（x）＝0，得x1=-1+＞-1，x2=-1-＜-1，此時f ′（x）=. 當x∈（1，x1）時，f ′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（x1，+∞）時，f ′（x）＞0，f （x）單調遞增；

（2）當a≤0時，f ′（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值.

綜上所述，n=2時，當a＞0時，f（x）在x=-1+處取得極小值，極小值為f（-1+）=（1+ln）.當a≤0時，f（x）無極值.

（Ⅱ）先證明當x≥0時，f（x）≤x+1，只要設g（x）=x+1-f（x），則g ′（x）=1+-=+>0（x≥0），∴ g（x）在[0，＋∞）是增函數，∴ g（x）≥g（0）＝０. 而b1，b2，…，bk均非負數，且b1+b2+…+bk=1，所以f（b1）+f（b2）+…＋f（bk）≤k+1.

點評 本題考查導數運算、解二次不等式、研究函數單調性及極值、分類討論思想、導數應用、靈活的運用所學知識處理問題得能力.是一道要求較高，難度較大的能力題.

預測演練

1． 已知向量=（1，sin（ωx+）），=（2，2sin（ωx-）），（其中ω為正常數）

（1）若ω=1，x∈[，]，求∥時tanx的值；

（2）設f（x）＝#8226;－２，若函數f（x）的圖像的相鄰兩個對稱中心的距離為，求f（x）在區間[0，]上的最小值.

（答案: （１）tanx==2+；（2）當x=-時，f（x）取最小值-）

2． 已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（１，０），Ｍ為圓上一動點，點P在AＭ上，點N在CＭ上，且滿足=2，#8226;＝０，點N的軌跡為曲線Ｅ．

（1）求曲線Ｅ的方程；

（2）若直線y=kx+與（1）中所求點N的軌跡Ｅ交于不同兩點F、H，O是坐標原點，且≤#8226;≤，求△FOH的面積的取值范圍.

（答案：（1）曲線E的方程為+y2=1；（2）≤Ｓ≤）

3． 已知函數f（x）=ax--2lnx，f（1）=0.

（1）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）的圖像在x= 1處的切線的斜率為0，且an+1=f ′（）-nan+1．

①若a1≥3，求證：an≥n+2；

②若a1= 4，試比較+++…+與的大小，并說明你的理由．

（答案：（1）a的取值范圍為a≥1或a≤0；（2）①（提示：用數學歸納法證明），②+++…+<）

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文