一道網(wǎng)上廣為流傳的數(shù)學(xué)題

這是一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，也是網(wǎng)上廣為流傳的一道熱題。此題之所以吸引眾多網(wǎng)民的關(guān)注和興趣，最為直接的原因是它作為小學(xué)生的作業(yè)首先難倒一大幫家長(zhǎng)，接著難住一大批被求助的高材生，甚至是一些理科的研究生。大家在QQ中經(jīng)過熱烈討論，大多給出的卻是錯(cuò)誤的解答和結(jié)果，即便有個(gè)別人得出了正確結(jié)果，卻不能同時(shí)給出詳細(xì)簡(jiǎn)潔具有說服力的分析，所以才導(dǎo)致眾說紛紜、莫衷一是的局面，由此得出的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)則為：如今的小學(xué)數(shù)學(xué)題難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們想象，成人尚且如此為難，小學(xué)生豈能應(yīng)付。這個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)問題真的有這么難嗎？請(qǐng)看題目：

甲乙兩人在鐵路旁邊以同樣的速度沿鐵路方向相向而行，恰好有一列火車開來，整個(gè)火車經(jīng)過甲身邊用了18秒，2分鐘后又用了15秒從乙身邊開過，已知火車速度是甲速度的11倍，問火車經(jīng)過乙身邊后，甲乙兩人還需要多少時(shí)間才能相遇？

本題常規(guī)思路是根據(jù)火車行駛和甲乙兩人行走的示意圖直觀判斷，解答的關(guān)鍵在于求出火車完全經(jīng)過乙時(shí)甲乙之間的路程。按照題意原始敘述畫出一般圖形(如圖1)，從圖中可以看出，火車從追上超過甲到迎面遇到乙，共花了2分18秒即138秒。與此同時(shí)，甲也向乙的方向行走了138秒，假如這段時(shí)間內(nèi)甲行走的距離A’C’為1份，由于火車速度是行人的11倍，所以這段時(shí)間內(nèi)火車行駛的距離A’B’為11份，則火車與乙相遇時(shí)甲乙之間的路程就是11-1=10份，這10份的距離是由甲乙兩人相向而行完成。因?yàn)樾凶?份用時(shí)138秒，所以10份共用時(shí)間為1380秒，而甲乙兩人行走速度相同，所以兩人只需1380÷2=690秒就能能走完這段路程。而問題要求的是火車經(jīng)過乙身邊后，甲乙兩人還需多少時(shí)間相遇。根據(jù)題意條件可知，火車再經(jīng)過乙身邊還需要15秒，所以正確結(jié)果應(yīng)該是690-15=675秒。

而最為簡(jiǎn)潔的解答應(yīng)該是，既然所求是火車經(jīng)過乙身邊后的時(shí)間，那么對(duì)應(yīng)參照的就應(yīng)該是火車完全經(jīng)過甲時(shí)的情形。從圖中可以看出，火車完全經(jīng)過甲后，花了2分15秒即135秒完全經(jīng)過乙，與此同時(shí)，甲也向乙的方向行走了135秒。假如這段時(shí)間內(nèi)甲行走的距離AC為1份，由于火車速度是行人的11倍，所以這段時(shí)間內(nèi)火車行駛的距離AB為11份，則火車離開乙時(shí)甲乙之間的路程就是11-1=10份，這10份的距離是由甲乙兩人相向而行完成。因?yàn)樾凶?份用時(shí)135秒，所以10份共用時(shí)間為1350秒，而甲乙兩人行走速度相同，所以兩人只需1350÷2=675秒就能相遇。

弄清了這兩種正確解答思路，就不難發(fā)現(xiàn)各種錯(cuò)解的癥狀和錯(cuò)因。不外乎是把常規(guī)解答中缺少減去15秒這最后一步、少算了火車車長(zhǎng)和多算了火車車長(zhǎng)這三類，大家不妨自行對(duì)照比較。

可以看出，此題并沒有人們想象的那么復(fù)雜難解，甚至合理分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)，題意條件中還有不止一處的多余條件，比如“火車經(jīng)過甲身邊用的18秒”就是間接多余條件，可以用也可以不用；而如果這個(gè)條件不多余的話，那么“火車速度是甲速度的11倍”就是隱性多余條件，證明如下：假設(shè)火車的車長(zhǎng)為單位1，火車速度為V火，甲乙的速度為V人，火車用時(shí)18秒經(jīng)過甲是追及問題，則數(shù)量關(guān)系為V火-V人= ①；而火車遇到經(jīng)過乙是相遇問題，則數(shù)量關(guān)系為V火+V人= ②，利用和差問題解答公式可得V火

V人=，顯然V火=11V人，所以說，畫出問題示意圖是本題直觀理解和分析的關(guān)鍵，一旦突破此關(guān)鍵，解答不僅沒有難度甚至可以說一目了然。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文