特殊化\\類比與普遍化

杜客君老師的題為“由特殊化想到的解題方法” ［1］一文， 讀后很受啟發，并聯想到筆者1987年編的教材《中學數學教材教法》笫二章笫71頁的“嚴謹性與量力性相結合” 中對一道課本題的證法，筆者還想補充幾種證法，以便開闊數學教師與中學生的證題思路.

1 從雜志上的一道題談特殊化、類比與普遍化

文［1］中的例1是:己知abc=1， 求1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1的值， 若將例1特殊化， 從數值特殊化到命題特殊化即可得出例2．

例2 已知ab=1，求1a+1+1b+1=?按特殊化取值a=b=1， 1a+1+1b+1=11+1+11+1=12+12=1.也可得命題的特殊化， 華羅庚教授說的: “要善于退，足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學好數學的一個決竅.”

什么是特殊化呢？ 所謂特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中的一個較小集合， 或僅僅一個對象.［2］ 簡言之， 特殊化是從一般命題過渡到特殊命題的一種思維方法. 普遍化與特殊化是相互聯系， 不可分割的．

又按命題的普遍化得例3

例3已知abcd=1， 求證:1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1.

什么是普遍化呢？普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該較小集合的更大的集合. ［3］

事實上， 從特殊化到一般化是通過類比來實現的.“類比就是一種相似.” 它是從一種特殊到另一種特殊的推理．

要類比， 必須有類比對象(或叫類比概念)， 從已知條件ab=1到abc=1再到abcd=1是類比對象， 而結論的1a+1+1b+1=1到1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1=1再到1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1也是類比對象， 再仔細分析， 要想得到精確的類比， 由兩個分式的和為1再到三個分式的和為1， 再到四個分式的和為1， 最后，就是n個分式的和為1．

但是類比不是證明， “類比就是相似比較.”G#8226;波利亞又說“如果把這種猜測的似真性當作肯定性， 那將是愚蠢的， 但是忽視這種似真的猜測將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢”［4］， 又說“清晰的類比較模糊的相似更有價值”．

波利亞說：“找出一個既有趣又好下手的新問題并不那么容易，這需要經驗、鑒別力和好運氣.但是，當我們成功地解決了一個好問題之后，我們應當去尋找更多的好問題.好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長.找到一個以后，你應當在周圍找找；很可能在附近就有幾個.”

G#8226;波利亞說:“在求解所提出問題的過程中，我們經常可以利用一個較簡單的類比問題的解答;我們可能利用它的方法或者可能利用它的結果，或者可能三者同時利用.”［5］

下面來證明用類比方法來發現的一系列命題．

先看例2的證明.

方法1 (直接通分法)

(b+1)（a+1）(b+1)+(a+1)(b+1)(a+1)

=(b+1)ab+(a+b)+1+(a+1)ab+(a+b)+1

=1+a+b+1ab+(a+b)+1=ab+(a+b)+1ab+(a+b)+1=1.

方法2 (間接通分法)

當第一個分式的分子、分母同時乘以b有間接通分的功能bb(a+1)+1b+1=bab+b+1b+1=b1+b+1b+1=b+1b+1=1．

方法3 第一個分式分母中用ab來替換1， 第二個分式的分子、分母同乘以a，

1a+1+1b+1=1a+ab+1b+1=1a(1+b)+aa(b+1)=a(b+1)a(1+b)=1.

方法4 由已知條件ab=1可推出a=1b，并進行代入，可得

1a+1+1b+1=11b+1+1b=bb+1+1b+1=1．

用類比來思考問題，例1［1］也至少有4種證明方法，在此僅給出提示，詳細證明由讀者完成．

證法1 (直接通分法)留給讀者完成．

證法2 (間接通分法)笫一個分式的分子與分母同乘以c， 第二個分式的分子與分母同乘以ac，第三個分式中的1用abc替換．

證法3: 當已知條件abc=1可推出bc=1a，第二個分式中的bc用1a代替.

證法 笫一個分式的分子、分母中的1用abc替換， 笫三個分式的分母中的ac用1b替換， 而c用1ab來替換．

再來看上述例3的證法，在此僅給出提示，詳細由讀者完成.

證法1 (直接通分法)留給讀者完成．

證法2 (間接通分法)各分式中笫一個分式分母中的abcd=1替換， 笫三個分式乘以ac，笫四個分式乘以abc．

證法3: 用替換d=1abc，cad=1b，cd=1ab．

所以原式是成立的．

2從思維發散性還可以得出的新的命題

例4 已知abc=1，證明aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1．

從思維發散性看， 條件相同， 結論不同的數學題是發散的， 即不可能是唯一的. 用特殊化思維來看， 令a=b=c=1時， 例4的發現及證明是顯然的. 若令a=2，b=1，c=12也是滿足題設所要求的， 讀者可自己驗證一下.

驗證兩遍， 甚至于100遍也不等于證明， 類比方法可以幫助我們探索到證明的方法.

從特殊化到一般化是通過類比來實現的.“類比就是一種相似.” 它是從一種特殊到另一種特殊的推理. 建立類比概念是從特殊命題到一般命題(或從一般命題到特殊命題)的關鍵.已知條件ab=1到abc=1再到abcd=1是類比對象， 而結論的aa+1+bb+1=1到aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1再到aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1也是類比對象，

從兩個分式之和為1到三個分式之和為1再到四個分式之和為1，最后到n個分式之和為1也都是類比概念. “清晰的類比較模糊的相似更有價值”

簡述例4的證明，詳細步驟讀者自己完成．

證法1 (直接通分法)留給讀者完成．

證法2 (間接通分法) 笫一個分式中的1可用abc替換， 則笫一個分式中的分母有公因式a， 又有公因式bc+b+1， 這恰恰是第二個分式的分母， 再觀察笫三個分式， 只要分子、分母同乘以b， 也可以達到三個分式間接通分的目的．

證明3:(間接通分法)bc=1a，c=1ab，第二個分式中bc用1a替換，第三個分式中c用1ab替換，就能得到證明.

根據“具體問題要具體分析”， 類比還可以得出幾種證明方法， 讀者不妨自己試試看．

試問， 用特殊化還可以得出什么命題呢？

例5 已知ab=1， 求證:aa+1+bb+1=1.

證法1 (直接通分法) 略.

證法2 (間接通分法)第一個分式中的1用ab替換aa+1+bb+1=aa+ab+bb+1=1.

看來間接通分法比直接通分法簡潔、漂亮.

證法3 用1b替換a，aa+1+bb+1=a1b+1+bb+1=abb+1+bb+1=ab+b.b+1=1.

無論是用ab替換1， 或者是用1b替換a， 都是間接通分， 它都比直接通分法是具有創造性， 什么是創造性思維呢？是新穎的、獨特的、有價值的(智力價值、理論價值、經濟價值) 的思維才是創造性思維. 對學生來說， 一般不是對某種新東西的發現、發明與創造的成就， 而只是對已知東西的再發現， 如上面的間接通分也可以看作是創造性思維．

創造性思維是思維活動的一種， 它對問題的思考不是直接從頭腦中已有的思維形式和思維方法去找答案， 而是從問題的本身去進行分析， 進行一系列探索性思維活動， 將已有的思維形式和思維方法去大跨度地遷移， 從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的新辦法．

例6已知abcd=1，求證:aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1．

證明2 (間接通分法) 證明中笫一個分式中的1用abcd替換， 笫三個分式乘以ab， 第四個分式乘以abc，aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1

=aabc+ab+a+abcd+bbcd+bc+b+1+abcabcd+bcd+bc+b+abcdab2cd+ab.cd+b2c2+bc

=aa(bc+b+1+bcd)+bbcd+bc+b+1+abc.a(acdb+bcd+bc+b)+abcda(bcd+bc+b+1)

=1bc+b+1+bcd+bbcd+bc+b+1+bcbcd+bc+b+1+bcdbcd+bc+b+1=1.

證明3 用替換d=1abc，bcd=1a，acd=1b，cd=1ab.

aabc+ab+a+1+b1a+bc+b+1+c1b+1ab+c+1+1abc1c+1bc+1abc+1

=aabc+ab+a+1+ababc+ab+a+1+abca+1+abc+ab+1abc+ab+a+1

=a+ab+abc+1abc+ab+a+1=1

所以原等式成立

綜上所述， 我們引出了創造性思維的定義， 既從特殊化、類比和普遍化中可發現很多命題， 又從發散性思維中構造出很多命題， 既開闊了教師的思維， 更開闊了學生的思維， “類比不但有發現真理、認識真理的認識論基礎，而且還有證明真理的方法論意義.”又說“客觀事物之間的相似性和差異性是類比推理的邏輯基礎，相似性的存在提供了類比的可能性，而差異性的存在又限制著類比的范圍.如果強調了事物之間的相似性而忽視其差異性，那么就會把類比視為萬能的“法寶”到處亂用;反之，如果片面地強調事物之間的差異性而忽視其相似性，那么就會陷入“不可知論”的泥坑.［6］”

首先我們看歷史上類比在科學研究上起什么作用， 荷蘭物理學家與數學家惠更斯在比較聲與光現象之后， 證明了這兩種現象具有一系列相同的性質: 聲與光都具有一種直線傳播規律， 反射規律， 折射規律和干擾規律， 使他從聲波的概念用類比思想方法推理而獲得光波的概念， 用類比思維和數學計算發現海王星的科學家開普勒稱類比是自己“最好的老師” 和“自然秘密的參加者” 哲學家康德說:“每當理智缺乏可靠的論證的思路時， 類比這方法往能指引我們前進.”數學家拉普拉斯說:“甚至在數學里， 發現真理的主要工具也是歸納與類比.”

其次， 數學的創造， 發現過程， 有兩個方面的精髓: 內容與結果; 思想與方法. 高斯說:“凡有自尊心的建筑師， 在瑰麗的大廈建成之后， 決不會把腳手架留在那里.” 這就是說結果留下， 方法如同腳手架要拆走， 恰恰是類比的思想方法要留在學生的腦子里. 類比的思想方法就是腳手架， 素質教育要培養開拓型， 創新型人才， 必須學會類比的思想方法.G#8226;波利亞也說過類似的話:“解答的最終形式會被記下來， 可是原來那個善變的方案和有利或不利的證據多半或完全被忘掉了. 人們可以看得見留下來的是建立起來的大廈， 但是建立大廈所需要的腳手架都被搬走了” 為了使學生知其然， 又知其所以然， 一定要在教學過程中， 再現腳手架， 它是數學本質， 數學實質的再現．

參考文獻

［1］ 杜客君. 由特殊化想到的解題方法［J］. 中學數學雜志，2011，(8)：51．

［2］ G#8226;波利亞.怎樣解題［M］.北京：科學出版社，1982:190．

［3］ G#8226;波利亞.怎樣解題［M］. 北京：科學出版社，1982:107．

［4］ G#8226;波利亞.怎樣解題［M］. 北京：科學出版社，1984:43．

［5］ G#8226;波利亞.怎樣解題［M］. 北京：科學出版社，1982:43．

［6］ 傅世球.中學數學教學的藝術［M］.長沙:湖南教育出版社，19895∶73．

作者簡介：傅世球，1941年3月生， 湖南省麻陽縣人，1963年8月畢業于貴州大學數學系， 曾任懷化學院數學系副主任、退休后曾任吉首大學特聘教授. 1993年被評為全國教育系統勞動模范， 同年享受國務院特殊津貼，1994年獲曾憲梓教育基金三等獎. 出版《中學數學教學的藝術》、《初等數論》、《構造法解數學題》、《數學教學藝術導論》、《中學數學思維策略與解題技巧》等26部書. 在《課程. 教材. 教法》、《數學通報》、《數學教育學報》、《中學數學雜志》等全國39家雜志社發表數學教研論文140篇.