復合函數求導法的教與學

【摘要】復合函數求導一直是數學教學中的重點和難點， 本文通過對復合函數教學中一些問題進行了討論， 指出了復合函數求導過程中可能會遇到的困難， 并指出相對應的辦法及相關的教學技巧。

復合函數求導的知識點學生難以理解和記憶， 不僅僅難在瑣碎的記憶上， 更重要的是如何引入一些中間變量，把復雜的復合函數求導分解成簡單的函數求導。若老師僅僅讓學生去死記幾種題型的解法及一些求導公式， 學生不容易理解和接受， 教學效果較差。然而復合函數求導法在整個求導的運算中以及在解決一些現實問題上都處于非常重要的地位， 能夠熟練地掌握和運用復合函數求導的運算規則是衡量一個學生求導及解決現實問題能力的重要標志之一。然而求復合函數的導數對于學生來說是既不容易掌握也極容易出錯， 它是導數這部分的難點之一。因此， 把握好復合函數的難點和重點， 把比較復雜的函數分解成簡單的函數， 將成為學好復合函數求導的關鍵， 也是教師需要關注的。

1 復合函數求導的難點和重點

微積分的系統性主要表現在各個部分知識是相互聯系、不可分割的。教師在復合函數教學的準備階段， 既要認真鉆研復合函數導數的基礎又要把握好導數這部分的總體結構， 需要明確各知識點之間的聯系， 并且弄清學生難以掌握的具體原因， 這是突破難點的關鍵。由于復合函數在實踐中被廣泛的應用， 因此也是整個數學教學中極為重要的基礎知識。而復合函數求導法是由一元函數求導發展而來的， 是學習高等數學及重積分的基礎。從多年的教學經驗中， 筆者總結了學生難以掌握復合函數求導的原因：①復合函數求導所涉及的函數關系比較復雜而且多變。②復合函數的概念前后交錯。③復合函數求導的中間變量不容易準確的設出， 即使能夠設出， 在計算的過程中也往往容易出現丟項落項的現象， 這使得學生難以掌握復合函數求導。通過分析， 筆者覺得突破這一難點的關鍵有： ①認清函數的復合關系。②在復合函數求導數時， 需要通過增加中間變量來解決復合函數的求導。在復習初等函數時， 要使學生熟練地掌握六類最基本的初等函數， 需要學會分析初等函數， 從而弄清復合函數之中復合的關系， 然后要教會學生在對復合函數設出其中的中間變量的基礎上， 同時要明確復合函數求導中三個最基本的規則： ①需要明確分析函數中的復合關系， 且要恰當地設置之間的變量， 把復合函數分解成一些基本初等函數， 以便最終達到求導的目的。②要明確鏈式法則的適用條件。③在采取鏈式法則時， 一般需要由最外層開始設變量， 先使用法則，最后使用一元函數的導數的基本公式， 一層一層的進行求導， 在一個復合函數求導過程中， 需要牢記在求導的過程是誰對誰求導數， 注重求導的任何一個環節， 這樣才不容易遺忘求導的項。

2 復合函數求導的幾點技巧

2.1 用例證辦法引出復合函數的概念

可以通過例如函數y=sin（x2+4） 引出復合函數的概念。分析： 在學習復合函數求導之前我們只僅僅討論過形如y=sinx 的三角函數， 對于其性質、圖象以及求導都比較熟悉， 而對于函數y=sin（x2+4）， 單單從結構上來看， 區別于函數y=sinX， 這時就可以單從結構上去引導學生將函數y=sin（x2+4） 進行分解， 將函數分解成為y=sint 以及t=x2+4 的這樣兩個函數， 然而這兩個函數分別有著不同的求導法則， 這樣就會讓學生初步地了解， 同樣是含有三角符號的函數， 僅函數y=sin（x2+4） 的結構有了一定的變化，那么求導的過程和結果會不會有什么變化呢?類似于這樣結構的函數又叫什么函數呢？ 由此可以引出復合函數的概念。

2.2 善于引導學生分析函數復合關系

在學生掌握了復合函數概念的基礎上， 需要進一步去引導學生準確地分析復合函數的中的復合關系。對于這個問題可以采用從外向內層層剝的辦法， 將復合函數進行分解。這就需要對于已給的復合函數進行一定的觀察， 首先要確定將哪部分函數看成一個整體。如果所求導的復合函數的結構恰好是某一個基本初等函數， 將其設為第一個中間變量， 可以采用一個基本初等函數來表示它， 然后再對第一個中間變量的函數進行觀察， 再把那個函數視為一個整體， 這時這個函數在結構上也應該是某一個基本初等函數， 就可將其視為整體的函數， 將其看成第二個中間變量，用另外一個基本初等函數來表示它， 從而可以剝到最后一個簡單函數進行求導。

例如： y=（lnsinx2） 2 令t=lnsinx2則： y=t2， 令u=sinx2則t=lnu 令=x2則u=sin 則整個函數y 可以看成是y=t2；t=lnu； u=sinμ； =x2復合而成這樣就使得整個題目變得簡單明了。

3 結論

通過上面的論述， 我們可以看出在復合函數教學中，讓學生去分析復合函數中自變量以及函數由什么初等函數組成的是非常重要的， 我們應該去引導學生去發現問題，解決問題， 這樣復合函數導數教學也會變得容易， 學生也會容易接受相關的知識點， 從而提高教學質量。

【參考文獻】

［1］ 張二艷.冪指函數的導數計算方法的改進與應用［J］.宜春學院學報， 2002 （6） .

［2］ 吳贛昌.微積分［M］.北京： 中國人民大學出版社，2009（7） .