例析二次函數問題解決的基本思想

二次函數問題是同學們初中重點解決的一類函數問題，有范圍限制的二次函數問題（包括換元后可化為二次函數）是高中一類比較重要的函數問題，此類問題比同學們初中遇到的難度要大，因此，同學們經常會感覺處理起來比較難．其實，該類問題的解決還是有一定的規律可以尋找的．例如，其解決的基本思想可以是分類討論和數形結合，一般地，如果是零點問題，通常可以從相應二次方程的判別式分類討論解決，而如果是最值（值域）問題，則通常可以從相應二次方程的對稱軸與有關區間的位置關系分類討論解決，無論是哪一種具體形式，都需要數形結合，以函數圖象來幫助同學們更直觀的理解問題，從而解決問題．

下面，我們從一個具體例子出發，給同學們詳細分析一下解決的基本過程．

例題． 已知函數f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．

（I）證明：方程f(x)=g(x)恒有兩個不相等的實數根；

（II）若函數f(x)在(0，2)上無零點，請你探究函數y=g(x)在(0，2)上的單調性；

（III）設F（x）=f（x）-g（x），若對任意的x∈（0，1），恒有-1

解析：（I）該問題的證明比較簡單，同學們通常會有以下兩個基本思路：

（1）考慮函數方程F(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-1=0的判別式4a2-12(a-1)=4(a-)2+3>0恒成立即可；

（2）考慮二次函數F(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-1開口向上，且F()=-+a-1=-(a-)2-<0恒成立即可．

（II）該問題首先是二次函數零點問題，由此求出參數a的范圍，然后就可以解決函數y=g(x)在(0，2)上的單調性問題了．零點問題的解決有兩個基本思路：正面與反面．

正面：即直接考慮函數f(x)在(0，2)上無零點的情況，該情況可以分下列兩方面．

（1）f(x)在R上無零點，當然就滿足在(0，2)上無零點，此時，參數a>0；

（2）f(x)在R上有零點，但不在(0，2)上，此時，參數a≤0，而且零點為x=±，所以=0或≥2，解得a=0或a≤-12．

由（1）（2）得a≥0或a≤-12．

反面：即先考慮函數f(x)在(0，2)上有零點的參數a的范圍，然后再求出在(0，2)上無零點參數a的范圍．

因為f(x)在(0，2)上有零點，故參數a≤0，而且零點為x=±，所以0<<2，解得-12

在得到了參數a的范圍后，函數y=g(x)在(0，2)上的單調性就比較容易求了．

當a≥0時，如圖1所示，函數y=g(x)在(0，2)上單調遞增；

當a≤-12時，如圖2所示，函數y=g(x)在(0，-)單調遞減，在(-，2)單調遞增．

（III）解決本小題非常重要的一點是理解題中條件“對任意的x∈(0，1)，恒有-1

（1）如圖3，當≤0時，F(x)在(0，1)遞增，所以需F(0)=a-1≥-1，F(1)=2-a≤1，a無解；

（2）如圖4，當≥1時，F(x)在(0，1)遞減，所以需F(0)=a-1≤1，F(1)=2-a≥-1，a無解；

（3）如圖5，當0<<1時，F(x)在(0，)遞減，在(，1)遞增，所以需F(0)=a-1≤1，F(1)=2-a≤1，F()=-+a-1>-1，得1≤a≤2.

綜上（1）（2）（3）得1≤a≤2．

另解：仔細分析上述（1）（2）（3）的解答過程及圖3、圖4、圖5，同學們是否觀察出函數F(x)在(0，1)上的最小值、最大值必是F(0)、F(1)、F()的其中之一呢？所以，我們也可以簡單的這樣求解：

-1≤F(0)=a-1≤1，-1≤F(1)=2-a≤1，F()=-+a-1>-1，解得1≤a≤2．

從上面例題的分析，同學們是否已經有領悟二次函數問題的解決思路了？同學們不妨通過解答下述練習來鞏固一下．請同學們自己先盡可能多的思考解決的思路，然后再與下面的解析比較分析．

練習1． 設f(x)=1-，方程f(x2-2x-a)=0在(0，3)上恒有解，求實數a的取值范圍．

解析：無論是從f(x2-2x-a)的解析式，還是能注意到f(0)=0，同學們基本都能得到x2-2x-a=0，但這里就有同學會忘記是在(0，3)上有解，而不是R上有解．接下去，有兩個解題思路：

（1）判別式分類討論．

判別式△=4+4a，因為方程在(0，3)上有解，所以有兩種情況．

①△=0，a=-1，此時方程有唯一解x=1∈(0，3)滿足題意；

②△>0，a>-1，此時方程有2解，又可能出現兩種情況：

（i）一解在(0，3)內，另一解不在(0，3)內，則函數g(x)=x2-2x-a的圖像如圖6所示，故必須有g(0)=-a≤0，g(1)=-1-a<0g(3)=3-a>0，，解得0≤a<3；

（ii）二解均在(0，3)內，則函數g(x)=x2-2x-a的圖像如圖7所示，故必須有g(0)=-a>0，g(1)=-1-a<0，g(3)=3-a>0，0<1<3，解得-1

由（i）（ii）知-1

綜上①②得-1≤a<3．

（2）對稱軸x=1與區間(0，3)的位置關系分類討論．

因為對稱軸x=1∈(0，3)，故只有一種情形，即x2-2x-a=0在(0，3)要有解，只需g(1)=-1-a≤0，g(3)=3-a>0，得-1≤a<3．

從化歸與轉化的角度看，如果同學們能理解好，則該題還可以有以下兩個解題角度．

角度1：參數a可以看成是函數a=x2-2x在(0，3)的值域，則易得-1≤a<3．

角度2：參數a可以看成是函數y=a與函數y=x2-2x在(0，3)上的圖像有交點時的范圍，如圖8，從作出的圖像上可以看出，-1≤a<3．

顯然，上述兩個解題角度都比較好，但對理解的要求較高，尤其是角度2對解決下列變式問題更具有優越性．

變式1：設f(x)=1-，方程f(x2-2x-a)=0在(0，3)上只有1解，求實數a的取值范圍．

變式2：設f(x)=1-，方程f(x2-2x-a)=0在(0，3)上恒有2解，求實數a的取值范圍．

變式3：設f(x)=1-，方程f(x2-2x-a)=0在(0，3)上無解，求實數a的取值范圍．

從角度2來解題，則直接可以得到變式1、變式2、變式3的答案為a=-1或0≤a<3、-1

練習2． 已知函數f(x)=ax2+4x-2滿足對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f()<成立．（I）探究函數y=f(x)在[-1，1]上的零點個數；（II）對于給定的實數a，有一個最小的負數M(a)，使得x∈[M(a)，0]時，-4≤f(x)≤4都成立，求M(a)的解析式．

解析：根據f()-=-(x1-x2)2<0，得a>0，

（I） 所以函數y=f(x)的判斷式△=16+8a>0，故函數f(x)=ax2+4x-2必與x軸有兩個交點，又對稱軸x=-<0， f(1)=a+2>0， f(-1)=a-6， 所以：

（1）當00，故y=f(x)在[-1，1]上只有一個零點；

（2）當a>6時，f(-1)=a-6>0，f(1)>0，f(0)=-2<0，故y=f(x)在[-1，1]上共有二個零點；

（3）當a=6時，f(x)=6x2+4x-2=6(x-)(x+1)，故y=f(x)在[-1，1]上共有二個零點；

綜上，當0

（II） 因為f(x)=a(x+)2-2-，且對稱軸x=-<0， f(0)=-2<0．

（1）當-2-<-4，即0

（2）當-2-≥-4，即a≥2時，M(a)<-（注：M(a)在對稱軸左邊），所以f[M(a)]=4，令ax2+4x-2=-4，解得x=，故M(a)=．

綜上，M(a)=，０

例題與練習1、練習2的解題告訴同學們，解決二次函數問題的基本思路是分類討論與數形結合．

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學）

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文