2011年高考數(shù)列命題預(yù)測

廣東近四年對數(shù)列的命題情況是：07年與08年連續(xù)兩年的數(shù)列題都借助于遞推數(shù)列進行設(shè)計，試題排列于試卷的最后一題（即壓軸題），這兩題都無一例外地被考生與老師納入了難題之列.尤其是08年試題，它源于競賽題，確實難度偏大，社會反響不理想.09年有所“降溫”將數(shù)列融入導(dǎo)數(shù)、二次曲線及不等式之中，數(shù)列的性質(zhì)與技能幾乎沒有出現(xiàn).2010年呢？索性退出歷史舞臺，可謂降至冰點.看看2010年全國（理科）其它的18套試卷，沒有數(shù)列解答題的僅有福建、遼寧、北京，而前兩省的解答題只有五道題.展望2011，對于廣東，我們預(yù)測又會開始升溫，可能出現(xiàn)的試題類型如下：

預(yù)測一： 結(jié)合等差數(shù)列的基本性質(zhì)進行設(shè)計

等差數(shù)列是一類特殊數(shù)列，它有多個性質(zhì).對這些性質(zhì)的挖掘與應(yīng)用，始終是各級各類考試命題的熱點.常規(guī)考查方式有三：其一考查等差數(shù)列的通項公式；其二考查等差數(shù)列的前項和公式；其三將通ｎ項公式或前項和公式或其基本性質(zhì)與其它知識結(jié)合，設(shè)計交匯性試題.不過此類題不會是難題，在試卷中的解答題的排列位置應(yīng)該在第三或第四.

樣題1 已知數(shù)列ɑ1，ɑ2，…，ɑ15，其中ɑ1，ɑ2，…，ɑ5是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；ɑ5，ɑ6，…，ɑ10是公差為ｄ的等差數(shù)列；ɑ10，ɑ11，…，ɑ15是公差為ｄ2的等差數(shù)列（ｄ≠０）.

（1）若ɑ10=40，求ｄ；

（2）試寫出ɑ15關(guān)于ｄ的關(guān)系式，并求ɑ15的取值范圍；

（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得ɑ15，ɑ16，…，ɑ20是公差為ｄ3的等差數(shù)列，…，依次類推，猜測ɑ5（n+1)關(guān)于ｄ的關(guān)系式.

解析 （1）ɑ5=5，ɑ10=ɑ5+5ｄ=5+5ｄ=40，∴ｄ=7.

（2）ɑ15=ɑ10+5ｄ2=ɑ5+5ｄ+5ｄ2=5（1+ｄ+ｄ2）=5d++（ｄ≠０），

當(dāng)ｄ∈（－∞，０）∪（０，+∞）時，ɑ15∈［，＋∞）（ｄ≠０）.

（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列ɑｎ，其中ɑ1，ɑ2，…，ɑ15是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)ｎ≥1時，數(shù)列ɑ15，ɑ5ｎ+1，…，ɑ（5ｎ+1）是公差為ｄ ｎ的等差數(shù)列.

依次類推可得ɑ（5ｎ+1）=5（１＋ｄ＋…＋ｄｎ）

＝5×-，ｄ≠１5（ｎ+1）．ｄ＝１

點評 本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，在運算過程中同時考查了函數(shù)的值域、等比數(shù)列前項和公式、類比推理等.值得一提的是在最后一步和求和中，不排除有一些考生因為忽略對ｄ的討論而出錯.

預(yù)測二： 結(jié)合等比數(shù)列的基本性質(zhì)進行設(shè)計

等比數(shù)列是另一類特殊數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的基本性質(zhì)設(shè)計試題，往往都會跳出等比數(shù)列，與其它知識結(jié)合進行小范圍的交匯性設(shè)計.在求解時不僅要擁有等比數(shù)列的基本性質(zhì)與基本技能，還要具備一定的分析能力、探究能力及應(yīng)變能力.當(dāng)然，此類試題難度也是中檔偏上，百分之六十的考生可以做到百分之六十至七十的分?jǐn)?shù).

樣題2 已知數(shù)列{an}是各項均為正的等比數(shù)列，其公比為q．

（1）當(dāng)q＝時，在數(shù)列{an}中： ①最多有幾項在1～100之間？②最多有幾項是1～100之間的整數(shù)？

（2）當(dāng)q＞1時，在數(shù)列{an}中，最多有幾項是100～1000之間的整數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）．

解析 （1）①不妨設(shè)a1≥1，設(shè)數(shù)列{an}有n項在1和100之間，則a1#8226;()ｎ-1≤100．所以，{}ｎ-1≤100．兩邊同取對數(shù)，得（ｎ-1）（lg3－lg2）≤2． 解之，得 n≤12.37．

故n的最大值為12，即數(shù)列{an}中，最多有12項在1和100之間．

②不妨設(shè)1≤a1

又因為16，24，36，54，81是滿足題設(shè)要求的5項，所以當(dāng)q＝時，最多有5項是1和100之間的整數(shù)．

（2）設(shè)等比數(shù)列{aqｎ-1}滿足100≤a1，顯然，q必為有理數(shù)．

設(shè)q=，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，因為aqｎ-1=a（）ｎ-1為整數(shù)，所以a是sｎ-1的倍數(shù)．

令t＝s＋1，于是數(shù)列滿足 100≤a＜a#8226;＜…＜a#8226;（）ｎ-1≤1000．

如果s≥3，則1000≥a#8226;（）ｎ-1≥（s＋１）ｎ-1≥４ｎ-1，所以n≤5．

如果s=1，則1000≥a#8226;２ｎ-1≥100#8226;２ｎ-1，所以n≤4．

如果s=2，則1000≥a#8226;（）ｎ-1≥100#8226;（）ｎ-1，所以n≤6．

另一方面，128，192，288，432，648，972是滿足題設(shè)條件的6個數(shù)，所以當(dāng)q＞1時，最多有6項是100到1000之間的整數(shù)．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式及分析問題的能力，在求解過程中有兩步值得關(guān)注，第一步“不妨設(shè)a1≥1”；第二問“令t＝s＋1”；這兩步的技巧很高，沒有這兩個設(shè)，求解難以繼續(xù)下去.這兩個設(shè)的產(chǎn)生是對題意深刻理解的結(jié)晶.

預(yù)測三： 結(jié)合圖、表進行設(shè)計

圖、表是產(chǎn)生數(shù)列問題的另一個重要“基地”.圖、表構(gòu)造的規(guī)律性與巧妙性是產(chǎn)生難度的基本手段.此類問題的求解，首先要抓住圖、表的特點，其次要注重圖、表中各數(shù)之間的聯(lián)系與表示.特別是對于那些以代數(shù)式或字母替代數(shù)的圖、表問題要更加小心.

樣題3 一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成：第一行依次寫上ｎ（ｎ≥４）個數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推．記數(shù)表中第ｉ行的第ｊ個數(shù)為f（ｉ，ｊ）．

f（１，１） f（２，２）…f（１，ｎ－１） f（１，ｎ）

f（２，１）f（２，２）…f（２，ｎ－１）

f（３，１）…f（３，ｎ－２）

…

f（ｎ，１）

(1)若數(shù)表中第ｉ（１≤ｉ≤ｎ－３）行的數(shù)依次成等差數(shù)列，求證：第ｉ＋１行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；

(2)已知f（１，ｊ）＝４ｊ，求f（ｉ，１）關(guān)于ｉ的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，若f（ｉ，１）＝（ｉ＋１）（aｉ－１），bｉ=，試求一個函數(shù)g（x），使得Sｎ=b1g（1）+b2g（2）+…+bｎg（ｎ）<，且對于任意的m∈（，），均存在實數(shù)，使得當(dāng)ｎ>時，都有sｎ>m.

解析 (1)數(shù)表中第ｉ +1行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項為f（ｉ+1， ｊ），則由題意可得f（ｉ+1， ｊ+1）-f（ｉ+1， ｊ）=［f（ｉ， ｊ+1）+f（ｉ， ｊ+2）］-［f（ｉ， ｊ）+f（ｉ， ｊ+1）］=f（ｉ， ｊ+2）-f（ｉ， ｊ）=2ｄ(其中ｄ為第ｉ行數(shù)所組成的數(shù)列的公差).

(2)∵ f（1， ｊ）=4 ｊ，∴第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個)都依次成等差數(shù)列.設(shè)第ｉ行的數(shù)公差為ｄｉ，則ｄｉ+1=2ｄｉ，則ｄｉ=ｄ1×2ｉ -1=4×2ｉ -1=2ｉ +1.

所以f（ｉ，1）=f（ｉ-1，1）+ f（ｉ-1，2）=2f（ｉ-1，1）+2ｉ=2［2f（ｉ-2 ，1）+2ｉ-1］+2ｉ=22f（ｉ-2，1）+2×2ｉ=…=2ｉ-1f（1，1）+（ｉ-1）×2ｉ=2ｉ-1×4+（ｉ-1）×2ｉ=2ｉ-1+（ｉ+1）×2ｉ ＝（ｉ+1）×2ｉ.

(3)由f（ｉ，1）=（ｉ+1）（aｉ-1），可得aｉ=+1=2ｉ+1，

所以bｉ===-，令g（ｉ）=2ｉ，則bｉ g（ｉ）=-，所以Sｎ=-<，要使得Sｎ >m，即->m，只要<-m=，∵m∈，，∴0<1-3m<，所以只要２ｎ+1+1>，即只要ｎ>log2-1-1，所以可以令=log2-1-1則當(dāng)ｎ>時，都有Sｎ >m.

所以適合題設(shè)的一個函數(shù)為g（x）=2x.

點評 本題完全建立在數(shù)表的基礎(chǔ)上依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行設(shè)計，第一問的證明較為基礎(chǔ)，只要用好前一行成等差數(shù)列即可.第二問要依據(jù)第一問，第三問依據(jù)第二問.整個三問在層層深入.最后一問具有較大的創(chuàng)新，要我們尋找一個滿足條件的函數(shù)，設(shè)計新穎、獨特.

預(yù)測四： 結(jié)合遞推數(shù)列進行設(shè)計

遞推數(shù)列曾在07、08兩年的廣東高考中紅極一時，這兩年都以壓軸題的形式與考生見面.無論是難度還是技能的覆蓋面都比較理想，起到了一定的選拔作用.實際上，遞推數(shù)列幾乎囊括了數(shù)列（包括等差、等比數(shù)列）的全部基礎(chǔ)知識與基本技能，受命題者關(guān)注是正常的.2011年命題，難度不會太大，難度系數(shù)約為0.55.

樣題4 已知數(shù)列{aｎ}、{bｎ}中，對任何正整數(shù)ｎ都有：a1bｎ+a2bｎ-1+a3bｎ-2+…+aｎ-1b2+aｎb1=2ｎ+1-ｎ-2．

（1）若數(shù)列{aｎ}是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bｎ}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{bｎ}是等比數(shù)列，數(shù)列{aｎ}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由.

解析 （1）依題意數(shù)列{aｎ}的通項公式是aｎ=ｎ，

故等式即為bｎ+2bｎ-1+3bｎ-2+…+（ｎ-1）b2+ｎb1=2ｎ+1-ｎ-2，

同時有bｎ-1+2bｎ-2+3bｎ-3+…+（ｎ-2）b2+（ｎ-1）b1=2ｎ-ｎ-1（ｎ≥2），

兩式相減可得bｎ+bｎ-1+…+b2+b1=2ｎ-1，

可得數(shù)列{bｎ}的通項公式是bｎ=2ｎ-1，

所以數(shù)列{bｎ}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.

（2）設(shè)等比數(shù)列{bｎ}的首項為b，公比為q，則bｎ=bqｎ-1，從而有：bqｎ-1a1+bqｎ-2a2+bqｎ-3a3+…+bqaｎ-1+baｎ=2ｎ-1-ｎ-2，

又bqｎ-2a1+bqｎ-3a2+bqｎ-4a3+…+baｎ-1=2ｎ-ｎ-1（ｎ≥2），

故（2ｎ-ｎ-1）q+baｎ=2ｎ+1-ｎ-2， aｎ=×2ｎ+×ｎ+，

要使aｎ+1-aｎ是與ｎ無關(guān)的常數(shù)，必需q=2.

即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bｎ}的公比q=2時，數(shù)列{aｎ}是等差數(shù)列，其通項公式是aｎ=；

②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bｎ}的公比不是2時，數(shù)列{aｎ}不是等差數(shù)列.

點評 此題入手簡單、思路常規(guī)，但有點“曲徑通幽”的感覺.第一問還算輕松，第二問，就算是有了第一問的思路基礎(chǔ)，但想產(chǎn)生正確結(jié)論，并非易事，分類討論是必須的，少了它，至少是解答不完善.

預(yù)測五： 結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行設(shè)計

數(shù)列是特殊函數(shù)，在數(shù)列問題中隱藏著函數(shù)是常有的.將數(shù)列中的一些問題（比如：最大項與最小項、遞增與遞減、存在性問題）類比函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、方法，進行分析、求解或借助于某些特殊函數(shù)處理數(shù)列問題都是十分普遍的，高考圍繞借助函數(shù)的思想方法對數(shù)列進行設(shè)計也時有出現(xiàn).

樣題5 已知數(shù)列{aｎ}滿足a1=2，前ｎ項和為Sｎ，aｎ－1＝paｎ+ｎ-1， （ｎ為奇數(shù)）-aｎ-2ｎ．（ｎ為偶數(shù)）

（Ⅰ）若數(shù)列{bｎ}滿足bｎ=a２ｎ＋a２ｎ＋１（ｎ≥１），試求數(shù)列{bｎ}前ｎ項和Ｔｎ；

（Ⅱ）若數(shù)列{cｎ}滿足cｎ=a２ｎ，試判斷{cｎ}是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)p=時，問是否存在ｎ∈N*，使得（S2ｎ+1-10）c2ｎ=1，若存在，求出所有的ｎ的值；若不存在，請說明理由.

解析 （Ⅰ）據(jù)題意得bｎ=a2ｎ+a2ｎ+1=-4ｎ，所以{bｎ}成等差數(shù)列，故Ｔｎ=-2ｎ2-2ｎ.

（Ⅱ）由cｎ+1=a2ｎ+2=pa2ｎ+1+2ｎ=p（－a2ｎ－４ｎ）＋２ｎ＝－pcｎ－４pｎ＋２ｎ，

那么＝－p＋，于是，當(dāng)p＝時，數(shù)列{cｎ}是首項為1，公比為－等比數(shù)列；當(dāng)p≠時，數(shù)列{cｎ}不成等比數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)p＝時，a2ｎ＝cｎ＝（－）ｎ－1，a2ｎ＋１＝bｎ－a2ｎ＝－４ｎ－（－）ｎ－1 .

因為S２ｎ＋１=a１＋b１＋b２＋…＋bｎ＝-2ｎ2－２ｎ＋２（ｎ≥１） .

∵（S２ｎ＋１－１０）c２ｎ＝１，∴４ｎ２＋４ｎ＋１６＝４ｎ .設(shè)f(x)=4x-4x2-4x-16（x≥２），則g（x）＝f ′（x）=4xln4-8x-4， ∴ g ′（x）＝（ln4）２4x-8＞０（x≥２），即g（x）在區(qū)間［２，＋∞）上是增函數(shù).而g（2）＝42ln4－２０＞０，于是x∈［２，＋∞）時，f ′（x）＝g（x）＞０，∴ f ′（x） 在［２，＋∞）遞增.又f ′（３）＝０， ∴僅存在唯一的ｎ=3使得（S２ｎ＋１－１０）c２ｎ＝１成立.

點評 本題第一、二兩問，只要用好分段的遞推式，難度不大，容易產(chǎn)生結(jié)論.第二問判斷{cn}是否為等比數(shù)列設(shè)計得相當(dāng)好.第三問函數(shù)的應(yīng)用非常棒，通過兩次引入函數(shù)，充分利用導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性產(chǎn)生最后結(jié)果.想一想09年的試題，也有相似之處.

預(yù)測六： 結(jié)合不等式性質(zhì)進行設(shè)計

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不等問題的求解是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點所在.兩則結(jié)合產(chǎn)生的問題，具有抽象程度高、求解靈活性大的特點.在解法上沒有固定模式可套，且對解題者的數(shù)學(xué)技能及創(chuàng)新意識的考查具有獨到之處.因而，它成了數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的難點和高考命題的熱點.看看2010年各地試題，19套理科試題中有10道數(shù)列題與不等式相關(guān)，可見結(jié)合不等式性質(zhì)進行設(shè)計可能性大小.

樣題6 對ｎ∈N*，不等式x>0，y>0，y≤-ｎx+2ｎ所表示的平面區(qū)域為Dｎ，把Dｎ內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠(yuǎn)排成點列：（x1，y1），（x２，y２），（x３，y４），…，（xｎ，yｎ）．

（1）求xｎ，yｎ；

（2）數(shù)列{aｎ}滿足a１＝x１，且ｎ≥２時aｎ＝y(tǒng)ｎ２（＋＋…＋）．證明：當(dāng)ｎ≥２時，－＝；

（3）在（2）的條件下，試證明：（１＋）#8226;（１＋）#8226;（１＋）#8226;…#8226;（１＋）<4．

解析 （1）因為-ｎx+2ｎ>0x<2，又x>0且x∈N*，所以x=1．

故Dｎ內(nèi)的整點都落在直線x=1上且y≤ｎ，其整點按其到原點的距離從近到遠(yuǎn)排成的點列為（１，１），（１，２），（１，３），…，（１，ｎ）所以有xｎ＝１，yｎ＝ｎ．

（２）當(dāng)ｎ≥２時，由aｎ＝y(tǒng)１２（＋＋…＋），得＝＋＋…＋，

即＝＋＋…＋……① ，得＝＋＋…＋……②

由②-①，有-=，得證．

（３）當(dāng)ｎ=１時，１＋＝２<4；當(dāng)ｎ=2時，（１＋）（１＋）＝２×<4，

由（2）知，當(dāng)ｎ≥２時，＝=，

所以，當(dāng)ｎ≥３時，

（１＋）#8226;（１＋）#8226;（１＋）#8226;…#8226;（１＋）＝#8226;#8226;……

＝#8226;#8226;#8226;……#8226;（１＋aｎ）

＝２#8226;#8226;#8226;#8226;…#8226;#8226;aｎ＋１

＝２１＋＋＋…++．

∵<=-（ｎ≥２），

∴上式<2１＋（１－）＋（－）＋…＋（－）＝２（２－）＝４－<４，

所以，有（１＋）#8226;（１＋）#8226;（１＋）……（１＋）<4．

點評 線性規(guī)劃一般在選擇或填空題里出現(xiàn)，而設(shè)計在解答題的一個環(huán)節(jié)里頗具特色．本題的第一問與第二問難度不大，第三問在利用條件構(gòu)造乘積式子時技巧較高，在利用不等式進行放縮時靈活性也較大.因此，本題想完整地解出來并非易事.

數(shù)列，連接中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一座橋梁.在2011年高考中到底如何命題，就讓我們再等兩個月吧！也許本文會給你一個驚喜.

(作者單位：中山市小欖鎮(zhèn)花城中學(xué))

責(zé)任編校 徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文