“特殊化法”速解高考選擇題

“特殊化法”，通常是指在研究一般情況比較困難時，往往從問題的特殊情形(特殊值、特殊位置、特殊圖形、特殊函數、特殊數列等)出發，為一般情況的解決提供正確方向的一種解題策略. 特殊與一般的關系是，一般寓于特殊之中.“命題在一般情況下為真，則在特殊情況下也為真”，“命題在特殊情況下為假，則在一般情況下也為假”.為此，可以在高考選擇題中大膽運用“特殊化法”， 為后面的大題的解答贏得時間.

一、取特殊值

例1． 等差數列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則前3m項的和為（）

A． 130B． 170 C． 210D． 260

解析：取特殊值m=1，則a1=S1=30，a1+a2=100，a2=70，a3=110，

于是S3=a1+a2+a3=210， 選C.

點評：這里，若構建關于首項a1和公差d的方程組，要涉及到比較復雜的運算，花時較多，易錯；若根據Sm、S2m-Sm 、S3m-S2m成等差數列構建方程要熟記“Sm、S2m-Sm、S3m-S2m也成等差數列”這一重要性質; 而運用了特殊化法，通過取m的特殊值1，并根據 “在一般情況下成立，則在特殊情況下也成立”，使問題迅速獲解. 特殊化法體現了思維的簡縮性和快捷性，應該提倡.

二、取特殊位置

例2． 若動點P、Q在橢圓9x2+16y2=144上，且滿足OP⊥OQ，則中心O到弦PQ的距離OH必等于（）

A. 6 B. 5 C. 2 D.

解析：由于本題的四個選項都是給出OH的一個唯一的值，這就表明互相垂直的OP、OQ不論在什么位置上，OH的值都應有同一個結果，于是我們可以選一個特殊位置（如圖）.令OP、OQ分別在長、短正半軸上，由a2=16， b2=9得，OP=4，OQ=3，則OH=.根據“在一般情況下成立，則在特殊情況下也成立” 可知，答案為C.

點評：本題若直接求解，必須設動弦OP或OQ的一般式方程，并經歷解方程組和相關變形的過程，費時較多.而運用“特殊化法”，解題過程十分簡捷、明快.

三、取特殊圖形

例3． 從空間一點O出發的三條射線OA、OB、OC兩兩所成的角都是60°，則二面角B-OA-C的余弦值為()

A. B. - C. D. -

解析：在射線OA、OB、OC上分別截取OA1、OB1、OC1，使OA1=OB1=OC1.

由于OA、OB、OC兩兩所成的角都是60°，得三棱錐A1-OB1C1是正四面體.易求得二面角B-OA-C的余弦值為.選C.

點評:這里，不規則四面體的二面角B-OA-C的余弦值不易求出，根據條件取特殊圖形正四面體，則問題立即轉化為求正四面體中兩個面所成二面角的余弦值，使問題快速獲解.在立幾選擇題中， 取特殊圖形是我們的常用方法 .

四、取特殊函數

例4． 定義在R上的函數f(x)既是奇函數，T又是周期函數，T是它的一個正周期．若將方程f(x)=0在閉區間[-T，T]上的根的個數記為n，則n可能為（）

Ａ． 0 Ｂ． 1Ｃ． 3 Ｄ． 5

解析：因正弦函數符合題中條件，在[-2，2]上，方程sinx=0有5個根，所以n可能為5， 選答案D.

點評: 這里將抽象函數f(x)具體化（sinx），使一個復雜的問題被輕松、簡單地解決了.熟練掌握一些基本函數的特征是解決問題的關鍵.

五、取特殊數列

例5． 一般地，我們把各項的倒數成等差數列的數列叫做調和數列.若x，y，z是調和數列，且有ax=bx=cx（a，b，c為正數），則a，b，c()

A． 成等差數列 B． 成等比數列

C． 成調和數列 D． 各項平方成等差數列

解析：取特殊數列1，，顯然其倒數1，2，3成等差數列1，，是調和數列.于是所以成b=a2，c=a3，a，a2，a3等比數列.選答案B.

點評: 這里根據調和數列1，，，a，b，c的定義，取一個特殊數列的關系立即明朗化，避免了復雜的推理.

以下幾題供大家練習：

1． 設{an}為各項都是正數的等比數列，Sn是{an}的前n項和，則（ ）

A. =B. ＞

C. ＜ D. ≤

2． 設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則與的數量積為（）

A. B. - C. 3 D. －3

3． △ABC 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，=m（++），則實數的值為()

A． -1 B． 1 C． －2 D． -3

參考答案：

1． 解析：取等比數列的公比q是特殊值1，則a4=a1，S4=4a1，a6=a1，S6=6a1，

于是=，=，所以＞. 答案為B.

2． 解析：對動直線AB，取其垂直于x軸的特殊位置，即線段AB為拋物線的通徑(如圖1). 由于焦點F的坐標為（，0），則A（，-1）、B（，1），于是OA#8226;OB= （，-1）#8226;（，1）=-1=-.根據“在一般情況下成立，則在特殊情況下也成立”可知，答案為B.

3． 解析：考慮特殊圖形，不妨設△ABC 是∠A=90°的直角三角形，則O為BC的中點，H為A點，此時由已知得==m，而≠0，所以m=1，故選B.

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校徐國堅

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