2011年高考廣東數學(文科)模擬試題

本試卷共兩部分，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

第一部分選擇題(共40分)

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1． 集合P={-1，0，1}，Q={yy=cosx，x∈R}，則P∩Q＝（）

A． P B． Q C．{-1，1} D．{0，1}

2． 已知向量=(1，1)，2+=(4，2)，則向量，的夾角的余弦值為()

A． B． -

C． D． -

3. 等差數列{an}中，a3+a11=8，數列{bn}是等比數列，且b7=a7，則b6#8226;b8的值為（）

A． 2 B． 4C． 8D． 16

4. 一個算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框中應填入的條件是(）

A． i<5B． i<6

C． i>5D． i>6

5. 設實數x和y滿足約束條件x+y≤10， x-y≤2，x≥4，則z=2x+3y的最小值為()

A． 26B． 24

C． 16D． 14

6． 設a，b是兩條直線，，是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件（）

A． a⊥，b//，⊥B． a⊥，b⊥，//

C． a，b⊥，//D． a，b//，⊥

7. 定義運算：a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3，已知函數f（x）=sinx-11 cosx，則函數f（x）的最小正周期是( )

A． B． C． 2D．4

8. 已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若PF=5，則雙曲線的離心率為( )

A． 2 B． 2 C． D．

第二部分非選擇題(共110分)

二、填空題.（本大題共6小題，每題5分，其中14、15題為選做題，考生只選其中之一作答，如兩題均作答，以14題的分數為準）

（一）必做題：9-13題是必做題，每道試題考生都必須作答．

9. 某校高中年級開設了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機抽取了5名學生的學分，用莖葉圖表示（如右圖）.S1，S2分別表示甲、乙兩班各自5名學生學分的標準差，則S1S2.（填“>”“<”或“＝”）

10． 已知f（x）=

2x，(x≤1)lg(x-1)，(x>1)則f（f（1））=.

11. 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為.

12. 已知函數f（x）為奇函數，且當x>0時，f（x）=log2x，則滿足不等式f（x）>0的x的取值范圍是.

13． 已知圓Ｃ的圓心與點M(1，-2)關于直線x-y+1=0對稱，并且圓Ｃ與x-y+1=0相切，則圓C的方程為 .

（二）選做題：第14、15題是選做題，考生只選做一題，兩題全答的，只計算第14題的得分．

14．（坐標系與參數方程選做題）若直線sin(+)=

，直線3x+ky=1垂直，則常數k= ．

15.(幾何證明選講選做題)如圖，過點D作圓的切線切于B點，作割線交圓于A，C且BD=3，AD=4，AB=2，則BC=．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分12分）

已知函數f（x）=cos2x+sinxcosx．

（1）求函數f（x）的最大值；

（2）在△ABC中，AB=AC=3，角A滿足f(+)=1，求△ABC的面積.

17．（本題滿分13分）

某班同學利用國慶節進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：

（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；

（Ⅱ）從年齡段在[40，50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40，45)歲的概率.

18．（本題滿分13分）

如圖，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB//CD，E，F分別是棱BC，B1C1上的動點，且EF//CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3.

（Ⅰ）證明：無論點怎樣運動，四邊形EFD1D都為矩形；

（Ⅱ）當EC=1時，求幾何體A-EFD1D的體積．

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C:+=1(a>b>0)經過點(0，1)，其右焦點到直線x+y+=0的距離為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C上存在兩點P，Q關于直線l:x=my+1對稱，求實數m的取值范圍.

20.（本小題滿分14分）

已知數列{an}滿足a1=-1，an+1-2an-3=0，數列{bn}滿足bn=log2(an+3).

(1) 求{bn}的通項公式;

(2) 若數列{2n+1bn}的前n項的和為Sn，試比較Sn與8n2-4n的大小.

21．（本小題滿分14分）

已知函數f（x）=x3-x2-2a2x+1(a>0)，

（1）求函數f（x）的極值；

（2）若函數y=f（x）的圖像與直線y=0恰有三個交點，求實數a的取值范圍；

（3）已知不等式f ′（x）

2011年高考廣東數學（文科）模擬試題參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

二、 填空題（每小題5分，共20分，14、15題為選做題）

9． <；10． 0；11． +12；12．(-1，0)∪(1，+∞)；

13．(x+3)2+(y-2)2=8；14． －3；15． .

三、解答題

16.（本小題滿分12分）

解：（1） f（x）=cos2x+sinxcosx

=+sin2x…………………2分

=(sin2x+cos2x)+

=sin（2x+）+.………… 4分

∵ -1≤sin（2x+）≤1，

∴ f（x）的最大值為+．…………6分

（2）∵ f（+）=1，

∴sin[2(+)+]+=1. …7分

即sin(A+)=，

∴ cosA=.…………………9分

∵ A為△ABC的內角，

∴ sinA=． …………………10分

∵ AB=AC=3，

∴ △ABC的面積S=×AB×AC×sinA=．

…………………12分

17.(本題滿分13分)

解：（Ⅰ）第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高為=0.06．頻率直方圖如下：

…………………2分

第一組的人數為=200，頻率為0.04×5=0.2，所以n==1000．

由題可知，第二組的頻率為0．3，所以第二組的人數為1000×0.3=300，所以p==0.65．

第四組的頻率為0.03×5=0.15，所以第四組的人數為1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．……5分

（Ⅱ）因為[40，45)歲年齡段的“低碳族”與[45，50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30=2:1，所以采用分層抽樣法抽取6人，[40，45)歲中有4人，[45，50)歲中有2人.………………8分

設[40，45)歲中的4人為a、b、c、d，[45，50)歲中的2人為m、n，則選取2人作為領隊的有(a，b)、(a，c)、(a，d)、(a，m)、(a，n)、(b，c)、(b，d)、(b，m)、(b，n)、(c，d)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)、(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40，45)歲的有(a，m)、(a，n)、(b，m)、(b，n)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)，共8種.……………………10分

所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40，45)歲的概率為P=. ……………………12分

18． 解：

（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1//CC1，∵EF//CC1，∴EF//DD………2分

又∵平面

ABCD//平面

A1B1C1D1，平面

ABCD∩平面EFD1D=ED，平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1，∴ED//FD1，∴四邊形EFD1D為平行四邊形，……………………………………4分

∵側棱DD1⊥底面ABCD，又DE平面ABCD內，

∴DD1⊥DE，∴四邊形EFD1D為矩形.…………6分

（Ⅱ）證明：連結AE，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，∴側棱DD1⊥底面ABCD，又AE平面ABCD內，∴DD1⊥AE.…………8分

在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，則AE=2，

…………………………………9分

在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，則DE=，

…………………………………10分

在直角梯形中ABCD，AD==，∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥ED.又∵ED∩DD1=D，

∴AE⊥平面EFD1D. …………12分

由（Ⅰ）可知，四邊形EFD1D為矩形，且DE=，DD1=1，∴矩形EFD1D的面積為S=DE#8226;DD1=，

∴幾何體A-EFD1D的體積為:V=S#8226;AE=××2=．………………14分

19.解：（1）∵橢圓過點（0，1），∴b=1.

設右焦點為F(c，0)，則=2，∴c=.

……………………………………………3分

故a2=b2+c2=1+2=3，所求橢圓C的方程為+y2=1.…………………………………………5分

（2）設直線PQ的方程：y=-mx+n，代入C：

y=-mx+n，+y2=1(3m2+1)x2-6mnx+3n2-3=0.……7分

由△=36m2n2-12(3m2+1)(n2-1)>0n2<3m2+1

………………………①………9分

∴=，=-m#8226;+n=+n=.將點(，)代入l：=+12mn=3m2+1…………②

由①②得(3m2+1)2<4m2(3m2+1)3m2+1<4m2，

∴m2>1m∈(-∞，-1)∪(1，+∞).………………13分

20. 解: (1)由an+1-2an-3=0，有an+1+3=2(an+3)，

∴an+3=(a1+3)2n-1=2n，…………………4分

∴bn=log22n=n.…………………………6分

(2)∵Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1， …… ①

①×2得2Sn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2，……②

①-②得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2=-n×2n+2，

∴Sn=4+(n-1)×2n+2. ……………………………9分

Sn-(8n2-4n)=4+(n-1)×2n+2-8n2+4n

=(n-1)×2n+2-4(2n+1)(n-1)

=4(n-1)[2n-(2n+1)].

當n=1時，Ｓn-(8n2-4n)=0，即Sn=8n2-4n；…10分

當n=2時，Sn-(8n2-4n)=4×(22-5)=-4，即Sn<8n2-4n； ………………………………………11分

當n=3時，Sn-(8n2-4n)=4×2×(23-7)=8，即Sn>8n2-4n；………………………………………12分

當n>3時，由指數函數的圖像知總有2n>(2n+1)，

∴n>3時有Sn>8n2-4n. …………………………13分

21． 解：（1）∵ f ′（x）=x2-ax-2a2，令f ′（x）=x2-ax-2a2=0，則x=-a或x=2a．

∴ f ′（x）=x2-ax-2a2>0時，x<-a或x>2a，

∴ x=-a時，f （x）取得極大值f ′（-a）=a3+1，x=2a時，f （x）取得極小值f （2a）=-a3+1.

（2）要使函數y=f （x）的圖像與直線y=0恰有三個交點，則函數y=f （x）的極大值大于零，極小值小于零；由（1）的極值可得:a3+1>0，-a3+1<0，解之得a>=.

（3）要使f ′（x）

即x2-ax-2a2

x>對任意a∈(1，+∞)都成立，則x大于的最大值.

∵=-=-[2(a-1)++4]，

由a∈(1，+∞)，a-1>0，∴2(a-1)+≥2，當且僅當a=1+時取等號，

∴≤-(2+4)，故x>()max=-(4+2).

（作者單位：陳興旺，深圳市光明新區高級中學；劉會金，光明新區教育科學研究管理中心）

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文