巧用對勾函數 y=x+p/x(p＞0)圖像性質解題

所謂的對勾函數，是形如y=ax+（a#8226;b＞0）的函數(本文重點研究對勾函數y=x+（p＞0），因為y=ax+=a（x+），都能化為y=x+（p＞0）形式)，函數y=x+（p＞0）的圖像形似兩個中心對稱的對勾“√”，故名“對勾函數”.對勾函數是一種教材上沒有，但考試經常考的函數，以它為模型的題型新穎、綜合性強，解法靈活多樣.近幾年高考試題中，對勾函數部分占有相當大比重，是高考的熱點內容之一.本文舉例巧用對勾函數y=x+（p＞0）圖像、性質，運用數形結合的方法，達到快速準確解題目的.

一、對勾函數 y=x+（p＞0）圖像和主要性質(性質的證明略)

（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；

（2）值域是(-∞，-2]∪ [2，+∞)；

（3）對勾函數是奇函數；

（4）在（-∞，-]和[，+∞）上為增函數，在[-，0)和（0，]上為減函數；

（5）若定義域是(0，+∞)，則函數在x=處，取得最小值2；若定義域是(-∞，0)，則函數在x=-處，取得最大值-2；

（6）圖像以y=x及y軸為漸近線，形似兩個中心對稱的對勾，兩個對勾頂點的橫坐標是x=±.

把函數的數與形結合來研究，使數與形相輔相成，相互印證，主要熟悉y=x+（p＞0）的圖像及兩個對勾頂點的橫坐標是x=±，就能熟練利用圖像性質解題.

二、對勾函數y=x+（p＞0）的巧用

1. 解決函數的最值問題.

例1． 求函數y=+（0 ＜x＜）的最小值.

錯解：∵ 0 ＜x＜ ，∴ 0 ＜sinx≤1，y=+≥2=2，∴ ymin=2.

注：應用基本不等式時，等號成立的條件是sinx=2與0＜sinx≤1矛盾，所以結果錯誤.

正解：y=（+）+，∵ 0 ＜x＜， ∴ 0 ＜sinx≤1，≥，

y＝（+）+≥2+=，當且僅當sinx=1且=，即sinx=1時，此時x=等號成立，∴ ymin=.

注：以上解法采取對原式變形，湊成符合條件的式子，再使用基本不等式，但需要很高的技巧，不易操作.若采用對勾函數y=x+（p＞0）的圖像、性質就很容易解決.

巧解：∵ 0 ＜x＜， ∴ 0 ＜sinx≤1，y=+.令t=sinx∈（0，1]，y=+=（t+）.

畫出對勾函數y1=t+圖像，對勾頂點的橫坐標是t=2，由圖像可知，y1=t+在（0，1]為單調遞減，∴ y=+=（t+）在（0，1]為單調遞減，所以當t=1，即sinx=1，x=時，∴ ymin=（1+）=.

點評：若應用基本不等式求最值時等號成立的條件不在該函數的定義域內，此時正確的作法是結合對勾函數y=x+（p＞0）的圖像，利用單調性去求該函數的最值.

類題練習：1. 求函數y=的最小值. 2. 求y=sin2x+的最小值.

1. 答案：. 提示：t=，由x2+4≥4，得t≥2，原函數化為y=t+，t≥2.

2. 答案：5. 提示：t=sin2x，則t∈（0，1].

2. 解決不等式中恒成立問題.

例2． 定義在R上的函數f（x）.既是奇函數，在[0，+∞）上是減函數，且當∈（0，）時，有 f（cos2+2msin）+ f（-2m-2）＞0恒成立，求實數m的取值范圍.

解析：∵ f（x）在R上為奇函數，且在[0，+∞）上是減函數，∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數.

∵f（cos2+2msin）+ f（-2m-2）＞0，∴f（cos2+2msin）＞- f（-2m-2）= f（2m+2），

∴ cos2+2msin＜2m+2，∴ 2m＞=sin-1++2，令sin-1=t，t∈（-1，0），

∴ 2m＞t++2，即2m＞t++2在t∈（-1，0）上恒成立，即求g（t）=t+在t∈（-1，0）上的范圍.

畫出對勾函數g（t）=t+的圖像，對勾頂點的橫坐標是t=-，由圖像可知，g（t）=t+在（-1，0）為單調遞減，所以t++2＜-1.

∴ 2m≥-1，即m≥-，

∴ m的取值范圍為[-，+∞）.

點評：若由 f（cos2+2msin）＞- f（-2m-2）= f（2m+2），得到cos2+2msin＜2m+2，化為sin2-2msin+2m+1＞1，把它看成sin的二次函數，進行分類討論，這對同學們來說有些難度.本題解法通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，通過換元后巧妙地轉化為“對勾函數”，從而求得最值，避免了冗長、繁瑣的分類討論.利用這種方法可以順利解決許多含參數不等式的恒成立下的參數范圍問題.

類題練習：已知函數f（x）=｜x2-4x-5｜，若在區間[-1，5]上，y=kx+3k的圖像位于函數 f（x）的上方，求k的取值范圍.

答案：k＞2.提示：本題等價于一個不等式恒成立問題，即對于x∈[-1，5]，kx+3k＞-x2+4x+5恒成立，式子中有兩個變量，可以通過變量分離化歸為求函數的最值問題.對于x∈[-1，5]，kx+3k＞-x2+4x+5恒成立k＞對于x∈[-1，5]恒成立，令y＝，x∈[-1，5]，設x+3＝t，t∈[2，8]，則y＝-（t+）+10，t∈[2，8]，當t=4，即x=1時ymax＝2，∴ k的取值范圍是k＞2.

3. 解決實際應用優化問題.

生活上經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，這些問題通常建模化歸，利用對勾函數解決.

例3． 進入2007年以來，豬肉價格上漲，養豬所得利潤比原來有所增加，某養殖戶擬建一座平面圖（如圖所示）是矩形且面積為200平方米的豬舍養殖生豬，由于地形限制，豬舍的寬x不少于5米，不多于a米，如果該養殖戶修建豬舍的地基平均每平方米需投入10元，房頂（房頂與地面形狀相同）每平方米需投入15元，豬舍外面的四周墻壁每米需投入20元，中間四條隔墻每米投入10元，問：當豬舍的寬x定為多少時，該養殖戶投入的資金最少，最少是多少元？

解析：設該養殖戶投入資金為y元，由題意易知豬舍的長為米，所以y=200×10+200×15+（2x+2×）×20+4x×10＝80（x+）+5000（5≤x≤a），畫出對勾函數y1＝x+圖像，對勾頂點的橫坐標是x＝10，由圖像可知，因為x＝10不知是否在定義域[5，a]內，所以應對a進行討論，

（１）當a≥10時，由圖像可知，當x＝10時，y1min＝10+=20， ∴ ymin=6600；

（２）當5≤a＜10時，10[5，a]，由圖像可知，y1=x+在[5，a]為減函數，所以當x=a時，y1min＝a+， ∴ ymin＝80（a+）+5000.

綜上可知當a≥10米時，豬舍的寬定為10米，該養殖戶投入的資金最少，是6600元；當5≤a＜10時，豬舍的寬度為a米，該養殖戶投入的資金最少，是80（a+）+5000元.

點評：因為y1=x+≥20，當且僅當x＝10時取等號，但x＝10不知是否在定義域［5，a］內，所以應對a進行討論，當a≥10時，10∈［5，a］，等號可取，故由基本不等式知當x＝10時ymin=6600，但當5≤a＜10時，10［5，a］，此時若仍用基本不等式法求最值就錯了.

傳統方法會分開運用不同方法去解決:當等號成立的條件滿足定義域時用基本不等式求最值；當等號成立的條件不在定義域內時則用函數的單調性求最值.這樣就會加大運算量且容易出錯及需用較強的數學思維能力. 本例解法巧用對勾函數的圖像性質，把兩種情況轉化為同一種方法解決，化繁為簡、化難為易.

類題練習：某水產養殖場擬造一平面圖為距形且面積為160平方米的水產養殖網箱，為了避免混養，箱中要安裝一些篩網，平面圖(如圖)，如果網箱四周網衣(圖中實線部分)建造單價為每米長112元，篩網(圖中虛線部分)的建造單價為每米長96元，網箱底面建造單價為每平方米100元，網衣及篩網厚度均忽略不計.

（1）把建造網箱的總造價y（元）表示為網箱的長x的函數，并求出最低總造價.

（2）若要求網箱的長與寬都不能超過15米，則當網箱的長與寬各為多少米時，可使總造價最低.（精確到0.01米）

答案: （1）y=320（x+）+16000，最低總造價為26240元．

（2）網箱的長為15米與寬為10.67米時總造價最低.

提示：（1）y=112（2x+×2）+96（x+×3）+100×160=320（x+）+16000．當x=16時，ymin=320×32+16000=26240元.

（2）x≤15，≤15，（x＞0）∴ 10≤x≤15，y1=x+在[10，15]單調遞減，y1=x+在x＝15時，y1=x+有最小值，從而y有最小值，此時網箱的寬為＝10≈10.67米.

從以上的例子可以看出， 函數的最值、不等式恒成立條件下的參數范圍、實際應用優化問題等題型.若能設法將它們轉化為對勾函數y=x+（p＞0）的模型，巧用對勾函數y=x+（p＞0）圖像性質，運用數形結合的方法來解決，則變得簡單快捷.

（作者單位：開平市第一中學）

責任編校 徐國堅