基于改進(jìn)粒子群算法的再入飛行器軌跡優(yōu)化

文章編號(hào)：1003-6199(2011)04-0055-05

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摘 要：采用基于距離量度和自適應(yīng)懲罰相結(jié)合的約束處理技術(shù)的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（PSO）應(yīng)用于再入飛行器軌跡優(yōu)化，避免適應(yīng)值函數(shù)中復(fù)雜的罰函數(shù)及罰因子的設(shè)計(jì)，提高優(yōu)化算法的通用性。以高超聲速飛行器最小控制量再入軌跡優(yōu)化為例，并對(duì)飛行器運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化及控制量參數(shù)化。對(duì)兩種不同的高超聲速飛行器模型進(jìn)行優(yōu)化，仿真結(jié)果驗(yàn)證算法的有效性及通用性。



關(guān)鍵詞：再入飛行器；軌跡優(yōu)化；粒子群優(yōu)化算法；多約束處理

中圖分類號(hào)： V412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

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Design of Reentry Vehicle Trajectory Optimization Based on Improved Particle Swarm Optimization Algorithm

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SU Mao， WANG Yongji， LIU Lei， CHANG Songtao

(Department of Control Science and Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Key Laboratory of Image Processing and Intelligent Control， Wuhan 430074，China)

Abstract:A method using Partical Swarm Optimization(PSO) is applied to reentry vehicle trajectory optimization， the method based on distance measures and adaptive penalty functions avoids the complex design for penalty functions and penalty factors， and develops the generality of the algorithm. For the minimum control energy reentry trajectory optimization for hypersonic glide vehicles， model is simplified， control variable is parameterized. Two different hypersonic vehicles are optimized by the method， The effectiveness and generality of the method are demonstrated by simulation results.



Key words:reentry vehicle;trajectory optimization;partical swarm optimization;multiconstrains handling

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1 引 言飛行器再入軌跡優(yōu)化問題是一類最優(yōu)控制問題，傳統(tǒng)的再入軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有基于極大值原理的間接法和基于非線性規(guī)劃理論的直接法等確定性優(yōu)化算法^［1］。由于飛行器運(yùn)動(dòng)方程高度非線性，再入軌跡約束條件多，間接法求解過程較為繁瑣，因此人們更多的采用直接法求解。但是無論是直接法還是間接法，由于均采用傳統(tǒng)的尋優(yōu)方法，對(duì)初值十分敏感，并且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。隨著以遺傳算法和粒子群算法為代表的智能優(yōu)化算法的發(fā)展，已經(jīng)有學(xué)者嘗試采用智能優(yōu)化算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化研究^［2］。

PSO算法是一種基于群體智能的并行全局搜索算法，采用簡(jiǎn)單的速度-位置搜索模型實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)空間的尋優(yōu)操作，具有收斂速度快，算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。近年來，也有學(xué)者將其應(yīng)用于飛行器軌跡優(yōu)化，文獻(xiàn)［3］及文獻(xiàn)［4］研究了粒子群算法在高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化及航跡規(guī)劃中的應(yīng)用。

PSO算法本身是一種無約束的搜索技術(shù)，而飛行器的再入軌跡優(yōu)化問題是一個(gè)多約束問題，因此，設(shè)計(jì)有效的約束處理機(jī)制是設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵。目前廣泛使用的約束處理方法是懲罰函數(shù)法，但罰函數(shù)的設(shè)計(jì)及罰因子的確定較為困難，且對(duì)于不同的問題不具有通用性。為了避免這種困難，本文采用了基于距離量度及自適應(yīng)懲罰的約束處理方法，綜合考慮了目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的關(guān)系，避免了適應(yīng)值函數(shù)中懲罰項(xiàng)權(quán)值的設(shè)置問題，使算法針對(duì)模型的參數(shù)設(shè)置減少，對(duì)于不同的模型更具有通用性。本文以高超聲速飛行器再入軌跡控制量最小優(yōu)化為例，采用了兩種模型，驗(yàn)證了算法的有效性及通用性。

2 飛行器再入軌跡優(yōu)化問題

21 再入運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)地球是一個(gè)均勻球體，以時(shí)間為自變量，考慮地球自轉(zhuǎn)引起的哥氏慣性力和牽連慣性力的影響，飛行器再入段無動(dòng)力滑翔，側(cè)滑角為零，得到如下的極坐標(biāo)下的再入飛行器三自由度運(yùn)動(dòng)方程組^［5］：

drdt=vsinγ

dθdt=vcosγsinψrcos

ddt=vcosγsinψr

dvdt=FDm-gsinγ+ω2ercos(sinγcos-

cosγcosψsin

dγdt=FLmvcosσ-gvcosγ+vrcosγ+

ωe(2sinψcos+wervcos(cosγcos-

sinγcosψsin))

dψdt=FDmsinσcosγ+vrcosγsinψtan+

ωe(ωervcosγsinψsincos-

2(tanγcosψcos-sin))(1)

式中包括六個(gè)狀態(tài)變量：r 為飛行器之心距地心的徑向距離；θ為經(jīng)度；φ為緯度；v為速度；γ為航跡傾角；ψ為航跡偏角；控制變量為攻角α和傾側(cè)角σ。m為飛行器質(zhì)量，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，F(xiàn)D表示氣動(dòng)阻力，F(xiàn)L表示氣動(dòng)升力，其表達(dá)式分別為：

FD=12ρv2CDS FL=12ρv2CLS (2)

式中S為有效面積，CD(α，Ma)和CL(α，Ma)分別為阻力和升力系數(shù)，取決于攻角α和馬赫數(shù)Ma。大氣密度模型為

ρ=ρ0exp (－r－r0hs)(3)

其中ρ0是海平面的密度，r0是地球平均半徑，hs為標(biāo)量高度系數(shù)。

22 再入軌跡優(yōu)化問題描述

再入軌跡優(yōu)化問題可以表述為一個(gè)高度非線性、帶有控制約束、終端約束以及軌道約束的最優(yōu)控制問題。通常認(rèn)為攻角α是馬赫數(shù)Ma的函數(shù)，則軌跡優(yōu)化問題就歸結(jié)求解為以傾側(cè)角σ為控制變量，使得飛行器沿著平滑的軌跡到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，且滿足各種嚴(yán)格的過程約束和終端約束的可行軌跡使某個(gè)性能指標(biāo)最優(yōu)。

23 模型處理

為了保證問題求解的方便，首先引入無量綱替代變量將該三自由度運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為無量綱方程組，引入變量：

R=rr0，V=vg0r0，g=g0r20r2，ω=ωer0g0(4)



同時(shí)定義無量綱阻力加速度和升力加速度

D=FD/mg0， L=FL/mg0(5)

引入積分替換變量

e=1R－V22(6) 

得到：

dedt=1r0/g0(VD0－VφV3)(7)

則飛行器運(yùn)動(dòng)模型微分方程組(1)可改寫為：

dRde=Vsin γ(VD0－VφV3)－1 

dθde=Vcos γsin ψR(shí)cos φ(VD0－VφV3)－1 

dφde=Vcos γcos ψR(shí)(VD0－VφV3)－1 

dVde=－D－sin γR2+φV3(VD0－VφV3)－1 

dγde=1VLcos σ+V2－1Rcos γR+φγ3  +φγ4］(VD0－VφV3)－1

dψde=1VLsin σcos γ+V2cos γsin ψtan φR－φψ3

+φψ4］(VD0－VφV3)－1(8)

其中D0=ρV2CDr0S2m

φV3=ω2Rcos φ(sin γcos φ－cos γsin φcos ψ)

φγ3=2ωVcos φsin ψ

φγ4=ω2Rcos φ(cos γcos φ－sin γcos ψsin φ)

φψ3=2ωV(tan γcos ψcos φ－sin φ)

φψ4=ω2cos γsin ψsin φcos φ

轉(zhuǎn)化后方程的積分區(qū)間為 ［e0，ef］，從而更適合于優(yōu)化數(shù)值算法求解；且根據(jù)關(guān)系式(6)，其終端速度和高度只需滿足其中一個(gè)，另一個(gè)自然滿足，即終端約束更容易滿足，終端收斂速度更快。這樣處理降低了求解的難度。

24 再入約束條件

飛行器在再入過程中面臨著嚴(yán)重的氣動(dòng)受熱、動(dòng)壓及過載問題，即受到動(dòng)壓約束、過載約束和氣動(dòng)加熱約束。另外，要保證飛行器再入過程中平滑再入飛行，避免再入軌道出現(xiàn)大的跳躍，要考慮平衡滑翔約束。

高超聲速飛行器的升阻比大，再入機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，對(duì)再入段終端狀態(tài)有嚴(yán)格要求。其終端處的軌道高度、地理經(jīng)度、地理緯度、速度、航跡傾角和航跡偏角（Rf，θf，φf，Vf，γf，ψf）均嚴(yán)格受約束。即：

Rf－ΔRdown≤R(ef)≤Rf+ΔRup

θf－Δθdown≤θ(ef)≤θf+Δθup

φf－Δφdown≤φ(ef)≤φf+Δφup

Vf－ΔVdown≤V(ef)≤Vf+ΔVup

γf－Δγdown≤γ(ef)≤γf+Δγup

ψf－Δψdown≤ψ(ef)≤ψf+Δψup

式中ΔRdown、Δθdown、Δφdown、ΔVdown、Δγdown、Δψdown、ΔRup、Δθup、Δφup、ΔVup、Δγup、Δψup分別為軌道終端約束值的下限值和上限值。

3 最小控制量再入軌跡優(yōu)化

在方程組(8)中，變量R，V及γ描述的是飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，控制變量攻角α是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，通過分析可知，飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)僅與傾側(cè)角的大小有關(guān)，因此可將飛行器的軌跡分為縱向和側(cè)向軌跡分別設(shè)計(jì)。縱向軌跡采用PSO算法確定傾側(cè)角σ的大小；橫向軌跡采用一維搜索的方法尋找兩個(gè)最優(yōu)反轉(zhuǎn)點(diǎn)，將終端橫程和航跡偏角限定在一定范圍之內(nèi)^［6］。

31 約束處理

飛行器在飛行過程中需要滿足過程約束及終端約束，其中過程約束為一組不等式約束，終端約束為一組等式約束，以最小控制量軌跡優(yōu)化為例，可將問題描述為：

Minimize f(x)

s.t: gi(x)≤0，i=1，2，…，lhi(x)=0，i=l+1，…，mx=(x1，x2，…，xn)，xmin i≤xi≤xmax i，i=1，2，…，n(10)

其中，xmini和xmaxi為每維控制變量的上下限，f(x)為目標(biāo)函數(shù)，gi(x)和hi(x)分別為Rn上的n元函數(shù)，gi(x)≤0為第i個(gè)不等式約束條件，hi(x)=0為第i-l個(gè)等式約束條件。

為了避免傳統(tǒng)處理約束方法中的罰函數(shù)設(shè)計(jì)，本文采用了文獻(xiàn)［7］中描述的距離量度及自適應(yīng)懲罰函數(shù)相結(jié)合的處理約束方法。

一般來說，先將等式約束轉(zhuǎn)換為不等式約束來處理，根據(jù)式(9)的描述，將終端約束表示成不等式約束，即：

h(x)－δ≤0(11)

由于目標(biāo)函數(shù)值與約束值的數(shù)量級(jí)不同，為了同時(shí)考慮這兩個(gè)指標(biāo)，需要將其進(jìn)行歸一化操作，歸一化的目標(biāo)函數(shù)值為：

(x)=f(x)－fmin fmax－fmin (12)

其中，fmax 和fmin為當(dāng)前種群中目標(biāo)函數(shù)值的最大值和最小值。

個(gè)體的違反約束程度可以定義為：

v(x)=1m∑mi=1ci(x)cmax i

其中：

ci(x)=max(0，gi(x)) if i=1，2，…，l

max (0，hi(x)－δ) if i=l+1，…，m (14)

cmaxi為種群中，第i維約束的最大值。

定義目標(biāo)距離量度如下：

d(x)=v(x) if rf=0v2(x)+2(x) otherwise(15)

其中：rf為當(dāng)前種群中可行解的比例。

定義自適應(yīng)懲罰函數(shù)如下：

p(x)=(1－rf)X(x)+rfY(x) (16)

其中：

X(x)=0 ifrf=0

v(x) otherwise；

Y(x)=0 if x可行

(x) otherwise

新的目標(biāo)函數(shù)可以定義為：

F(x)=d(x)+p(x) (17)

采用以上的約束處理方法，具有以下的優(yōu)點(diǎn)：①在種群進(jìn)化初期，可行解比例較小，新的目標(biāo)函數(shù)有助于種群朝著可行域方向移動(dòng)；②有可行解的情況下，目標(biāo)函數(shù)小，約束違反程度低的個(gè)體占優(yōu)；③所有個(gè)體都是可行解的時(shí)候，目標(biāo)函數(shù)小的個(gè)體占優(yōu)。④約束值與目標(biāo)值均進(jìn)行了歸一化操作，避免了復(fù)雜的罰函數(shù)設(shè)計(jì)及罰因子確定，增加了算法的通用性。

32 粒子群算法設(shè)計(jì)

標(biāo)準(zhǔn)的粒子尋優(yōu)公式如下：

vid(t+1)=w×vid+c1×rand()×(pid(t)－

xid(t))+c2×rand()×(pgd(t)－xid(t))(18)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)(19)

其中c1，c2為正常數(shù)，稱為加速因子；rand() 產(chǎn)生［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性因子。迭代中若是某一維 xid或vid 超過邊界則取邊界值。粒子群初始速度和位置隨機(jī)產(chǎn)生，然后按照公式(18)和公式(19)進(jìn)行迭代，直至滿足停止條件。

在整個(gè)優(yōu)化過程中，慣性因子按自適應(yīng)變化取值：

w=wmin +(wmax－wmin)*(Niter－niter)/Niter (20)

式中Niter為最大迭代次數(shù)，niter為當(dāng)前迭代次數(shù)，wmin為最小慣性因子，wmax為最大慣性因子。其它參數(shù)的調(diào)整要避免可能使得粒子陷入局部最優(yōu)解和粒子收斂緩慢兩種不利情況。

對(duì)于最小控制量軌跡優(yōu)化，性能指標(biāo)選取控制量σ的變化率最小。由再入飛行特性分析可知，從再入點(diǎn)到第一個(gè)平衡點(diǎn)即dr/dv=0宜采用最大攻角和零傾側(cè)角飛行。因此控制量σ優(yōu)化宜從第一個(gè)平衡點(diǎn)開始，而不是從再入點(diǎn)開始。由于PSO算法不能直接用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化，需先采用參數(shù)化方法。本文根據(jù)積分變量等分優(yōu)化區(qū)間，只離散化控制量σ，則軌跡優(yōu)化指標(biāo)為：

f=∑N－1i=0(σi+1－σi)2 (21) 

粒子群算法用于搜索滿足飛行器縱向飛行時(shí)控制量σ的大小，需要滿足等式約束即終端性能指標(biāo)。過程約束動(dòng)壓、過載、熱流可以轉(zhuǎn)化為軌跡同飛行走廊下界的關(guān)系，只要飛行軌跡不越過走廊的下邊界即滿足約束；此外，加入平衡滑翔條件作為軟約束，以上的等式、不等式約束及軟約束采用3.1節(jié)描述的約束處理方法，同式(21)描述的性能指標(biāo)一起構(gòu)成新的適應(yīng)值函數(shù)。

從平衡點(diǎn)到再入段結(jié)束點(diǎn)按反值能量e等分成L段，取節(jié)點(diǎn)處的傾側(cè)角值對(duì)應(yīng)PSO算法每個(gè)粒子的D個(gè)維度值，粒子數(shù)取P，迭代次數(shù)為M。得到優(yōu)化的傾側(cè)角大小后，通過一維搜索確定傾側(cè)角的翻轉(zhuǎn)點(diǎn)和位置，可滿足經(jīng)緯度和航跡偏角等側(cè)向運(yùn)動(dòng)的約束。

4 仿真算例與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證算法的有效性及通用性，本文采用了兩種不同的模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

第一種飛行器模型X-33的初始狀態(tài)為［r0，θ0，φ0，v0，γ0，ψ0］= ［120000，0，0，7800，0，30］，PSO參數(shù)：粒子維數(shù)D=14，粒子個(gè)數(shù)P=20，迭代次數(shù)M=100，c1=c2=2。其優(yōu)化曲線與控制量變化曲線分別如圖1和圖2所示。

第二種飛行器模型的初始狀態(tài)為［r0，θ0，φ0，v0，γ0，ψ0］= ［55000，0，0，5049.5，0，90］，PSO參數(shù)設(shè)置同第一個(gè)模型相同，其優(yōu)化之后的飛行軌跡及控制量變化曲線如圖3和圖4所示。

采用兩種模型優(yōu)化后的終端性能指標(biāo)如表1所示：

仿真結(jié)果表明：本文所采用的PSO算法得到的優(yōu)化軌跡能夠滿足航程，終端高度、速度、航跡傾角及航跡偏角等終端約束，同時(shí)滿足熱流、動(dòng)壓及過載等過程約束。針對(duì)兩個(gè)模型的優(yōu)化結(jié)果可以驗(yàn)證該算法的通用性及有效性。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)粒子群算法在飛行器軌跡優(yōu)化方面的應(yīng)用進(jìn)行了研究，采用了基于距離量度和自適應(yīng)懲罰函數(shù)的約束處理方法，避免了復(fù)雜的罰函數(shù)與罰因子設(shè)計(jì)，增強(qiáng)了算法的通用性，針對(duì)不同的模型，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少，與模型特性無關(guān)，并采用兩種不同的模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，本文的方法可以在較短的時(shí)間內(nèi)生成一條滿足過程約束及終端約束的的最小控制量三自由度飛行器再入優(yōu)化軌跡，是一種具有較好工程使用價(jià)值的方法。

參考文獻(xiàn)

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收稿日期：2011-10-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60975058）;2010航天支撐基金項(xiàng)目;湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2010CDB01904);華中科技大學(xué)國(guó)防自主創(chuàng)新研究基金項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：蘇 茂（1988—），男，湖北武漢人，碩士研究生，研究方向：飛行器的軌跡優(yōu)化

(E-mail：sumao1988@hotmail.com)； 王永驥（1955—），男，江西吉安人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：飛行器制導(dǎo)控制與軌跡優(yōu)化，康復(fù)機(jī)器人。