指數標度判斷矩陣的一致性調整方法研究

文章編號：1003-6199(2011)04-0001-04

摘 要：糾正對1-9標度和指數標度之間關系的錯誤理解，并指出現有一致性改進方法的不合理之處。將調整1-9標度判斷矩陣一致性的方法推廣至指數標度判斷矩陣；并提出基于感覺判斷矩陣的新的一致性調整方法。通過實例說明如何使用這兩種方法，并證明這兩種方法的有效性。

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關鍵詞：層次分析法；指數標度； 一致性

中圖分類號： O223 文獻標識碼：A

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Research on Methods for Improving Consistency of Judgement Matrix Based on Exponential Scale



DONG Shuai， WANG Yongji， LIU Lei

(Depontment of Control Science and Engineering， Huazhong University of Science and Technology，

Key Laboratory of Image Rrocessing and Intelligent Contral， Wuhan 430074， China)

Abstract:First point out some mistakes about the relation between 1-9 scale and exponential scale in some papers. Then apply the method of improving consistency of 1-9 scale judgment matrix to exponential scale matrix， and propose a new method based on sensory matrix. At last， illustrate how to use these two methods and justify the validation of them through an example.



Key words:analytic hierarchy process; scale; consistency



1 引 言

層次分析法（Analytic hierarchy process， AHP）自上世紀80年代引入我國以來，引起了學者們的廣泛關注。因為1-9標度存在與人的思維不一致等問題，所以標度問題一直是學者研究的焦點之一。由于指數標度能克服1-9標度的缺點^［1-3］，舒康等^［4］提出的基于指數標度的AHP法得到了呂躍進等的推崇^［5，6］。有人曾給出了指數標度判斷矩陣一致性的檢驗標準和改進方法^［7-9］，但這些改進方法過于繁瑣，且意義不明確，所得結果也不合理，因而沒有引起其他學者的關注。針對1-9標度判斷矩陣的一致性，國外學者提出過多種調整方法^［10-12］，本文將Saaty提出的方法推廣到指數標度，并提出了基于感覺判斷矩陣的調整方法。這兩種方法均能有效地改進指數標度判斷矩陣的一致性，且意義明確，計算量小。

2 指數標度AHP法

與1-9標度AHP的不同，基于指數標度的AHP需要先構造感覺判斷矩陣，再將感覺判斷矩陣轉化為指數標度判斷矩陣。設某屬性支配的下層指標數量為n，則計算這些指標相對于該屬性的重要性排序的步驟為^［4］： 

1)根據表1所示的指數標度，填寫感覺判斷矩陣B=(bij)n×n，其中，bij為指標i與指標j的重要性之差；

2)將感覺判斷矩陣轉化為指數標度判斷矩陣=(ij)(n×n)=kbij，其中，k有多種取值方法，本文取Saaty較為認可的k=89；

3)計算的最大特征根λmax ；

4)按式C.R.=C.I.R.I.計算的一致性指標，其中，C.I.=λmax －nn－1，RI按表2取值^［7］；

5)如C.R.≤0.1，則一致性滿足要求，λmax對應的特征向量即為所求的相對重要性排序；否則需對矩陣B進行調整。



可知，矩陣，B滿足如下條件：

ii=1，i=1，2，…，n(1)

bii=0，i=1，2，…，n(2)

ij=－ji，i，j=1，2，…，n(3)

bij=－bij，i，j=1，2，…，n(4)

如果矩陣完全一致，則存在：

ij=kjki，k=1，2，…，n(5)

bij=bkj－bki，k=1，2，…，n(6)

可相應地認為滿足(2)、(4)和(6)式的感覺判斷矩陣完全一致。

值得注意的是，文獻［6］認為1-9標度判斷矩陣（后文將“1-9標度判斷矩陣”直接簡稱“判斷矩陣”）A=(aij)n×n和指數標度判斷矩陣可以按式

ij=(89)aij－1(7)

直接轉換，并在此基礎上證明了兩種標度的一致性是相互矛盾的。但從指數標度判斷矩陣構造過程可可以看出，兩種標度之間不能直接轉換。例如，假設3個指標的重要性等級分別為1，2，4，則1-9標度判斷矩陣為

A=10.50.25210.5421，

感覺判斷矩陣和指數標度判斷矩陣分別為

B=0－1－310－2320，

=10.75980.43871.316110.57742.27951.73241≠9A－18。

可知，CIA=CI=0。故矩陣A和不存在直接的轉換關系，但他們的一致性是相容的。

另外，文獻［1-3］中例2的判斷矩陣為

A=19149149189－1419－389－129－1493819－189－189129181，

此時，CI=0.0287；調整后，

A=19149189189－1419－149－149－18914119－1891411，

CI=0.0578＞0.0287，即該方法并未改進判斷矩陣的一致性。

3 一致性調整方法

31 1-9標度調整方法的推廣

由(1)、(3)式可知，也是正互反矩陣，適用于1-9標度的一致性調整方法^{［10，11］}，稍加修改后也可用于指數標度。其主要步驟為：

1)計算的主特征向量；

2)計算擾動量εij=ij#8226;j/i（或εij=ij－i/j），得到擾動矩陣E；

3)根據擾動矩陣E確定中擾動量較大的1個或多個元素pq為待調整元素，并依據具體問題來確定調整的元素；

4)令bpq=round(8#8226;log (p/q)9)，bqp=－bpq得到新的感覺判斷矩陣B1，若bqp＞8，則bqp=8#8226;sgn (bqp)；（round為取整運算，sgn為取符號運算）；

5)根據B1求取新的1；

6)判斷1的一致性，如不滿足要求，重復1)~4)步。

32 基于感覺判斷矩陣的方法

3.1節中的方法是根據來確定待修正的元素，那是否可以直接由B來確定呢？的一致性決定于B的一致性，且的正互反特性也對應于(2)、(4)式，所以可以直接由B來確定待修正元素。

設指標i的重要性等級為wi，則

=w1－w1w1－w2…w1－wnw2－w1w2－w2…w2－wnwn－w1wn－w2…wn－wn(8)

為完全一致的感覺判斷矩陣。加入擾動量后的感覺判斷矩陣為

B=+ε=(wi－wj+εij)n×n(9)

可得

∑nj=1bij=n#8226;wi－∑ni=1wi+∑nj=1εij(10)

對（10）式兩兩相減可得

wi－wj=－εi－εjn+bi－bjn(11)

其中，εi=∑nj=1εij， bi=∑nj=1bij。當B不一致時，可以認為其所有元素都存在擾動量，即擾動量近似均勻分布于各個元素。則

εij=bij+εi－εjn－bi－bjn

≈bij－bi－bjn(12)

由(12)式可得擾動矩陣E為

E=(εij）n×n≈0ε12ε13…ε1nε210ε23…ε2nε31ε320ε3nεn1εn2εn3…0

=0Δ0－Δ0(13)

E是關于主對角線對稱的，故可只考慮其上三角陣Δ。若Δ中絕對值較大的一個或幾個元素為εpq，則可選擇bpq和bqp為待調整元素。令bpq=bpq－εpq，bqp=－bpq，即減去擾動量，得到新的感覺判斷矩陣B。

由上述推理過程可得到基于感覺判斷矩陣的一致性改進方法：

(1)計算擾動矩陣E=(εij)n×n，其中，εij=bij－∑nk=1bik－∑nk=1bjkn；

(2)選取擾動量較大的一個或多個元素bpq作為確定待修正的元素；

(3)令bpq=bpq－εpq，bqp=－bpq得到新的感覺判斷矩陣B，若bqp＞8，則bqp=8#8226;sgn (bqp)；

(4)判斷調整后的一致性指標是否滿足要求，如不滿足，重復（1）~（3）步。

4 實例分析

隨機產生感覺判斷矩陣

B=0230－2－20503－3－508000－808230－80，

則

=11.7322.28010.5770.57713.94810.4390.4390.253191110.111191.7322.28010.1111，

=0.3640.4250.6190.4630.297′。

此時，CI=0.9095，CR=1.2632＞0.1，原始判斷矩陣的一致性非常差，需要進行調整。

方法一：

按照εij=ij#8226;j/i計算擾動矩陣

E1=12.0223.8751.2700.4710.49515.7491.0880.3070.2580.17416.7260.4800.7870.9190.14915.7832.1223.2602.0830.1731。

ε13，ε23，ε34，ε45明顯較其他元素大，故初步選定13，23，34，45及其對稱位置的元素為待調整元素。

按3.1節方法先單獨調整34和43，有

B1=0230－2－20503－3－501000－108230－80。

此時，CI1=0.4099，CR1=0.5693＞0.1。判斷矩陣一致性指標得到改善，但仍不滿足要求。現對4組元素都進行調整，有

B2=02－20－2－20－10－32101000－102230－20

此時，CI2=0.0535，CR1=0.0743＜0.1，一致性滿足要求。

方法二：

根據（8）~（11）式，計算3.2中算例擾動矩陣得

E2=01.42.4－0.6－3.2－1.4050－3.6－2.4－508－0.60.60－807.43.23.60.6－7.40

同樣可初步確定b23，b25，b34，b45及其對稱元素為待修正元素。若只調整擾動量最大的b34和b43，可得調整后的CI3=0.3749，CR3=0.5207＞0.1；若對4組元素均進行調整，則CI5=0.0590，CR5=0.0819＜0.1，一致性滿足要求。

由計算結果可知，兩種方法均能有效地改善指數標度判斷矩陣的一致性。但由于計算過程存在近似、取整和限幅等運算，會使誤差積累，可能導致兩種方法均不能達到要求。因此在初步確定待調整元素后，可以依次選擇調整元素和調整幅度進行嘗試，選取效果最好的調整方案。此外，還要考慮待決策問題的實際情況和決策者的判斷。例如，當εpq相對較大時，如果決策者對于指標p和指標q的關系非常確定，則可能是在構造矩陣B時出現邏輯錯誤。由(12)式可知，矩陣B(或)的一致性越高，對于擾動越敏感，即所得到的擾動量越精確，調整效果會越好。

5 結 論

本文所討論的兩種方法，均是根據擾動量來選擇調整的元素。二者區別在于前者是利用指數標度判斷矩陣來選擇，后者則是直接根據感覺判斷矩陣來選擇。兩種方法均能有效改善一致性指標，但調整元素和幅度的確定沒有嚴格的標準，需要決策者根據待決策問題背景進行具體分析。

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收稿日期：2011-10-18

基金項目：國家自然科學基金項目(60975058，61075095)；康復機器人863項目(2008AA04Z207)；湖北省自然科學基金項目(2010CDB01904)；2010航天支撐技術基金項目；華中科技大學國防自主創新研究基金項目；教育部重點實驗室基金項目

作者簡介：董 帥（1986—），男，湖北天門人，博士研究生，研究方向：飛行器制導控制與軌跡優化(E-mail：dongshuai1986@smail.hust.edu.cn)；王永驥（1955—），男，江西吉安人，教授，博士生導師，研究方向：飛行器制導控制與軌跡優化，康復機器人。