以純滯后時間為參變量的根軌跡新性質
2011-01-01 00:00:00董宇
計算技術與自動化 2011年4期
文章編號：1003-6199(2011)04-0023-06
摘 要：文獻［1］得到一組以純滯后時間為參變量的根軌跡性質，但在確定根軌跡穿越虛軸的方向、根軌跡的終止點和根軌跡的漸近線的過程中存在錯誤。本文提出計算根軌跡出射角和入射角的方法，并對文獻［1］中存在的錯誤進行修正。利用根軌跡的性質，可以確定閉環系統的時滯穩定區間。
關鍵詞：根軌跡；純滯后；穩定性
中圖分類號： TP273 文獻標識碼：A
New Root Locus Properties with Respect to Time Delay
DONG Yu
(School of Computer， South China Normal University， Guangzhou 510631，China)
Abstract:A set of root locus properties with respect to the time delay are derived in ［1］. However， there exist mistakes in determining the direction which the root locus crosses the imaginary axis， terminating points of the root loci and asymptotes of the root loci. In this paper， methods to calculate the angles of departure and arrival of the root loci are proposed， also the mistakes found in ［1］ are corrected. Using the root locus properties， the stability delay interval of the closed-loop system is obtained.
Key words:root iocus; time delay; stability
1 引 言
根軌跡法是一種重要的頻域分析方法。而純時滯環節廣泛存在于各種生產過程中。文獻［2， 3］研究了時滯系統的根軌跡作圖法。文獻［1］得到了一組以純滯后時間為參變量的根軌跡性質，但在確定根軌跡穿越虛軸的方向、根軌跡的終止點和根軌跡的漸近線的過程中存在錯誤。本文以文獻［1］的研究為基礎，提出了計算根軌跡出射角和入射角的方法，并對文獻［1］中的錯誤進行了修正。此外，根據根軌跡的性質，還可以確定閉環系統的時滯穩定區間。
2 系統模型
包含時滯的單位反饋控制系統如圖1所示。
圖1 包含時滯的單位反饋控制系統
在圖1中，控制系統的開環傳遞函數為
G0(s)=N(s)D(s)e－τs(1)
其中
D(s)=sn+∑ni=1an－isn－i(2)
an－i(1≤i≤n)為實常數。
N(s)=∑mi=0bisi(3)
bi(0≤i≤m)為實常數，并且bm≠0。
閉環系統的特征方程為
N(s)D(s)e－τs=－1(4)
考慮關于時滯τ的閉環系統的根軌跡，其中0≤τ＜+∞。令s=σ+jω，根軌跡的幅值條件和相角條件如下所述。
‖N(s)D(s)‖e－τσ=1(5)
arg N(s)D(s)－τω=－(2k+1)π(k∈Z)(6)
設點s為復平面上任一非無窮遠點，arg s表示點s的輻角，Args表示點s的輻角主值，并且
－π≤Args＜π(7)
計算技術與自動化2011年12月
第30卷第4期董 宇:以純滯后時間為參變量的根軌跡新性質
如果點s為根軌跡上的單極點，那么在點s處滿足
dτds≠0(8)
此時dsdτ表示根軌跡在點s處的切向量。并且
dsdτ=sD(s)N(s)N′(s)D(s)－N(s)D′(s)－τD(s)N(s)(9)
如果s為根軌跡上的重極點，那么在點s處滿足
dτds=0(10)
此時點s處的dsdτ無定義。
3 根軌跡的出射角
定理1［1］:以τ為參變量的根軌跡在有限遠處的起始點為方程D(s)+N(s)=0的根。
定理2:設sa為根軌跡的起始點，r為其重數。以sa為起始點的第k條根軌跡分支的出射角為αk，那么
αk=1r{2kπ+Arg［－saD(sa)A(sa)］}
(k=0，1，…r－1)
其中A(s)為關于s的多項式，并且(s－sa)rA(s)=D(s)+N(s)。
證明：由已知條件
αk=arg lim s→sadsdτ(11)
將(9)式代入(11)式得
αk=arg lim s→sa［sD(s)N(s)N′(s)D(s)－N(s)D′(s)］(12)
αk=arg lim s→sa［1(s－sa)r－1］
+arg ［－saD(sa)A(sa)］+2k1π(k1∈Z)(13)
注意到
arg lim s→sa［1(s－sa)r－1］
=－(r－1)αk+2k2π(k2∈Z)(14)
將(14)式代入(13)式整理得
αk=1r{2kπ+arg ［－saD(sa)A(sa)］}
(k=k1+k2)(15)
(15)式可簡化為
αk=1r{2kπ+Arg［－saD(sa)A(sa)］}
(k=0，1，…r－1)(16)
特別地，若r=1，設此時的根軌跡出射角為α，那么由(16)式得
α=Arg［－saD(sa)A(sa)］(17)
例1：設系統的開環傳遞函數為
G0(s)=1(s+1)(s+2)e－τs(18)
則根軌跡的起始點為
s1，2=－3±j32(19)
設根軌跡的出射角為α1，2，由(17)式得
α1，2=±π3(20)
例2：設系統的開環傳遞函數為
G0(s)=1s2+2se－τs(21)
則根軌跡的起始點為
s(0)1=s(1)1=－1(22)
設根軌跡的出射角為α(0)1和α(1)1，由(16)式得
α(0)1=－π2(23)
α(1)1=π2(24)
4 根軌跡穿越虛軸的方向
文獻［1］采用以下的方法計算根軌跡穿越虛軸的方向。
設s=jω0為根軌跡在虛軸的穿越點，計算ddω‖N(jω)D(jω)‖2s=jω0的值。如果值為正，說明根軌跡向右穿越虛軸；如果值為負，說明根軌跡向左穿越虛軸；如果值為零，說明根軌跡與虛軸相切。
上述方法是不正確的。以下是一個反例。
例3：設系統的開環傳遞函數為
G0(s)=2s+1e－τs(25)
根軌跡在虛軸的穿越點為
s1，2=±j3(26)
由于根軌跡關于實軸對稱，所以根軌跡在j3處和－j3處的穿越方向是相同的。
但是
ddω‖N(jω)D(jω)‖2s1=j3=－32(27)
ddω‖N(jω)D(jω)‖2s2=－j3=32(28)
(27)式和(28)式說明，根軌跡在j3處和－j3處的穿越方向是相反的。存在矛盾。因此文獻［1］提出的方法是不正確的。
正確的計算方法如下所述。
設s=jω0為根軌跡的穿越點，并且s為單極點。考慮穿越點處的根軌跡切向量的實部Re (dsdτ)s=jω0。如果值為正，說明根軌跡向右穿越虛軸；如果值為負，說明根軌跡向左穿越虛軸；如果值為零，說明根軌跡與虛軸相切。
對于例3給出的開環傳遞函數，可得
Re (dsdτ)s1，2=±j3=3(τ+1)2+3τ2＞0(29)
其中
τ=33(kπ－π3)(k=1，3，5…)
(29)式說明，在±j3處，根軌跡向右穿越虛軸。
5 時滯穩定區間
根據上節中計算根軌跡穿越虛軸方向的方法，可以確定閉環系統的時滯穩定區間。下面通過一個例子來說明。
例4：設系統的開環傳遞函數為
G0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e－τs(30)
根軌跡在虛軸的穿越點為
s1，2=±j(31)
s3，4=±j3(32)
經計算得
Re (dsdτ)s1，2=±j＜0 (33)
(33)式說明在±j處，根軌跡向左穿越虛軸。穿越時相應的時滯值為
τ(k)1=(2k+1)π(k=0，1，2…) (34)
又得
Re (dsdτ)s3，4=±j3＞0 (35)
(35)式說明在±j3處，根軌跡向右穿越虛軸。穿越時相應的時滯值為
τ(k)2=33［((2k+1)π－arctg3313］
(k=0，1，2…) (36)
注意到τ(k)1為等差數列，首項為π，公差為2π；τ(k)2為等差數列，首項為33(π－arctg3313)，公差為233π。
為了分析方便，給出下述引理。
引理3：設x為非負實數，定義［x］表示不大于x的最大非負整數，那么
［x+1］＞［x］
引理4：設x，y為非負實數，并且x＞y，那么
［x］≥［y］
上述引理的成立是顯然的。
對于任意給定的時滯τL，向右穿越虛軸的極點個數為
M=2［τL－33(π－arctg3313)233π］(37)
向左穿越虛軸的極點個數為
N=2［τL－π2π］ (38)
如果閉環系統是不穩定的，那么
M＞N (39)
由引理3和4，為使(39)式成立，只需下式成立
τL－33(π－arctg3313)233π＞τL－π2π+1(40)
由(40)式得
τL＞8.0636 (41)
8.0636可以看作是臨界時滯的上界。進一步的分析可得：閉環系統的時滯穩定區間為(0，1.5943)∪(3.1416，5.2219)。
當τ=1.5943、3.1416和5.2219時的閉環系統輸出響應如圖2所示。
（a) τ=1.5943時的輸出響應
(b) τ=3.1416時的輸出響應
(c) τ=5.2219時的輸出響應
6 根軌跡的終止點
定理5［1］：以τ為參變量的根軌跡終止于坐標原點，位于左半平面的開環零點和位于右半平面的開環極點。
在定理5中，“根軌跡終止于左半平面的開環零點和右半平面的開環極點”這一結論是正確的，但“根軌跡終止于坐標原點”這一結論不正確。以下是一個反例。
例5：采用例4中的開環傳遞函數
G0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e－τs (42)
由例4的分析，當τ→+∞時，根軌跡的終止點位于右半平面。由于不存在位于右半平面的開環極點，根據定理5，根軌跡從右側終止于坐標原點。即當τ→+∞時，有
σ→0+ (43)
因此
eτσ＞1 (44)
將(44)式代入根軌跡的幅值條件得
‖N(0)D(0)‖＞1 (45)
根據系統的開環傳遞函數，(45)式是不成立的。因此“根軌跡終止于坐標原點”這一結論不正確。
根軌跡的終止點由下述定理給出。
定理6：根軌跡終止于左半平面的開環零點，右半平面的開環極點以及虛軸。
證明：顯然，無窮遠點不是根軌跡的終止點。
考慮(6)式所描述的相角條件。當τ→+∞時，只需令k→+∞，即可滿足要求。
左半平面的開環零點和右半平面的開環極點都滿足(5)式所描述的幅值條件，所以它們都是根軌跡的終止點。除去左半平面的開環零點和右半平面的開環極點，虛軸以外的點都不滿足幅值條件。另一方面，根軌跡有無窮多個終止點，而開環零極點的總數為有限多個，因此必有無窮多個終止點位于虛軸上。
由幅值條件，容易得到下述兩個定理。
定理7：如果τ→+∞時閉環系統包含無窮多個不穩定極點，那么虛軸上滿足‖N(jω)D(jω)‖＞1的點為根軌跡的終止點。
定理8：如果τ→+∞時閉環系統包含無窮多個穩定極點，那么虛軸上滿足‖N(jω)D(jω)‖＜1的點為根軌跡的終止點。
繼續例5的討論。由定理6和定理7，虛軸上滿足1＜ω＜3的點為根軌跡的終止點。此外，開環零點－13也是根軌跡的終止點。
7 根軌跡的入射角
下述定理給出了確定根軌跡入射角的方法。
定理9：若sb≠0為根軌跡的終止點，相應的入射角為β，那么β=Arg(sb)；若sb=0為根軌跡的終止點，那么相應的入射角為任意值。
證明：令t=1τ，根據閉環系統的特征方程，計算s對t的導數得
dsdt=－st#8226;D(s)N(s)t［N′(s)D(s)－N(s)D′(s)］－D(s)N(s)(46)
根軌跡的入射角由下式確定
β=arg lim s→sbdsdt (47)
根軌跡上的點滿足
D(s)N(s)≠0 (48)
由(46)、(47)和(48)式得
β=arg lim s→sbst (49)
若sb≠0，由(49)式得
β=arg (sb) (50)
(50)式可簡化為
β=Arg(sb) (51)
若sb=0，由(51)式，β的值為任意值。
例6：采用例4中的開環傳遞函數
G0(s)=3s+1(s+1)(s+2)e－τs (52)
虛軸上滿足1＜ω＜3的根軌跡終止點的入射角為π2；虛軸上滿足－3＜ω＜－1的根軌跡終止點的入射角為－π2；終止點－13的入射角為－π。8 τ→0+時根軌跡的漸近線
定理10［1］：當τ→0+時，有無窮多條根軌跡起始于無窮遠點。
文獻［1］中的定理5和定理6描述了τ→0+時根軌跡的漸近性質。在證明這些定理的過程中，使用了這樣的關系：當s→+∞時，令
s=σ+jω (53)
由于復變量s在∞點處的實部和虛部無意義，因此(53)式不成立，從而定理5和定理6的證明過程不成立。
討論根軌跡的漸近性質需要采用復分析方法。下面給出τ→0+時根軌跡的漸近性質。
定理11：假設m≠n。當τ→0+時，根軌跡的漸近線是水平線。
證明：令
s=1z (54)
設當τ→0+時，根軌跡漸近線的傾斜角為γ，那么
γ=arg lim z→0dzdτ (55)
將(54)式代入閉環系統的特征方程，可得
dzdτ=zA(z)［(n－m)z+τ}A(z)+z2B(z) (56)
其中
A(z)=P(z)Q(z)
B(z)=P(z)Q′(z)－P′(z)Q(z)
P(z)=∑n－1i=0aizn－i+1
Q(z)=∑mi=0bizm－i
將(56)式代入(55)式得
γ=arg (1n－m) (57)
如果n＞m，那么
γ=2kπ(k∈Z) (58)
如果n＜m，那么
γ=(2k+1)π(k∈Z) (59)
綜上所述，當τ→0+時，根軌跡的漸近線是水平線。
定理12：假設m=n。定義
B(z)=zpF(z)
其中p為非負整數。設當τ→0+時，根軌跡漸近線的傾斜角為γ，那么
γ=1p+2［2kπ+ArgA(0)F(0)］
(k=0，1，…p+1)
證明：如果m=n，由(56)式得
dzdτ=zA(z)τA(z)+zp+2F(z) (60)
將(60)式代入(55)式得
γ=arg lim z→0z－(p+1)+arg A(0)F(0)+2k1π
(k1∈Z) (61)
注意到
arg lim z→0z－(p+1)=－(p+1)γ+2k2π
(k2∈Z) (62)
將(62)式代入(61)式并整理得
γ=1p+2［2kπ+arg A(0)F(0)］
(k=k1+k2) (63)
(63)式可簡化為
γ=1p+2［2kπ+ArgA(0)F(0)］
(k=0，1，…p+1) (64)
9 結束語
本文獲得了一系列以純滯后時間為參變量的根軌跡新性質。利用這些性質，可以確定根軌跡的出射角和入射角、根軌跡穿越虛軸的方向、時滯穩定區間、根軌跡的終止點和根軌跡的漸近線。這些性質可看作是文獻［1］所做研究的修正和補充。
參考文獻
［1］ 劉洪源， 左志強， 金一晶. 以純滯后時間為參變量的根軌跡研究［C］// 第二十五屆中國控制會議論文集. 2006: 50-55.
［2］ YEUNG K S， WONG W T. Rootlocus plots of systems with time delay［J］. Electronic Letters， 1982， 12(5): 480-481.
［3］ HONG I， BIEN Z. A Rootlocus technique for linear systems with time delay［J］. IEEE Trans. on Automatic Control， 1982， 27(2): 205-208.
收稿日期：2011-08-31
作者簡介：董 宇(1974—），男，廣東廣州人，講師，博士，研究方向：計算機控制(E-mail：dongwl@scnu.edu.cn)。
