再談“線段的黃金分割及引申”

本人在2007年第9期的《中學理科》上刊登了“線段的黃金分割及引申”一文，介紹了黃金分割在實際生活中的應用以及數學中的黃金分割點、黃金三角形和黃金矩形.

今天，再看這篇文章，覺得又有新的啟發(fā)和感想，思緒忽然活躍起來，現將想法和大家共同分享.

圖1

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果ACAB=BCAC，那么稱點C為線段AB的黃金分割點.

由黃金分割點可聯想到“黃金分割線”.

類似地，給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果有S1S=S2S1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.

圖2

比如，在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線.

因為D是AB邊的黃金分割點，所以ADAB=DBAD，過點C作CH⊥AB于H，所以

12

CH#8226;AD

12CH#8226;AB=

12CH#8226;DB

12CH#8226;AD

，即

S△CADS△CAB=S△CDBS△CAD

，所以CD是△ABC的黃金分割線.

那么一個三角形還有怎樣的黃金分割線呢？

圖3

其實，如圖3，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊的黃金分割點，則DE也是△ABC的黃金分割線.大家不妨去試著說明一下.

我們不禁會問：一個三角形有多少條黃金分割線呢？

圖4

如圖4，D是△ABC邊AB上的黃金分割點，當我們過點C任作一直線CE交DB于點E，再過點D作DF∥CE交AC于點F，連結EF，則EF也一定是△ABC的黃金分割線.

因為由圖2可知

S△CADS△CAB=S△CDBS△CAD

，而DF∥CE，可得S△CFH＝S△DEH，所以S△CAD＝S△FAE，S△CDB＝S四邊形CFEB，所以S△FAES△CAB=S四邊形CEFBS△FAE，即EF為△ABC的黃金分割線.

因此，一個三角形有無數條黃金分割線.

圖5

如圖5，E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD交AD于點F，顯然，直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線.

你能通過圖4的解題思路，畫出一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經過平行四邊形ABCD各邊的黃金分割點嗎？

生活中的黃金是誘人的，數學中的“黃金”同樣金光四射，愿大家在不斷的追求與探索中，讓這塊“黃金”更加璀璨、輝煌.

(責任編輯 金 鈴）

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