開啟思維的鑰匙——一題多解

一題多解能夠開闊視野、鍛煉能力、啟迪智慧，從而開啟思維的天窗.

“換個角度，開啟思維的天窗，發現數學的美”正是我們追求的最高境界.

下面將通過幾個例子來體會一題多解這把鑰匙的妙處.

【問題1】 設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0(x∈R)，已知直線l不經過第二象限，則a的取值范圍為_________.

學生拿到題目就覺得很簡單，轉化成斜截式就能求出結果.

解法1：將l的方程化為y=-(a+1)x+a-2，

∴-(a+1)≥0，a-2≤0，∴a≤-1.

綜上可知，a的取值范圍為a≤-1.

注：這確實是最直接的解法，但可進一步尋求其他解法.

解法2:將l的方程化為(x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R)它表示過l1:x+y+2=0與l2:x-1=0的交點(1，-3)的直線系(不包括x=1).

由圖像可知斜率-(a+1)≥0時，l不經過第二象限，∴a≤-1.

當思維展開后，學過的知識也就有機地結合起來，利用數形結合思想解題，學生能從中找到成就感.

【問題2】 若sinαcosβ=12，則cosαsinβ的取值范圍為_________.

解法1:設cosαsinβ=x，

∴sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=12+x，

∴-1≤12+x≤1，

∴-32≤x≤12.①

sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=12-x，

∴-1≤12-x≤1，

∴-12≤x≤32.②

由①②取交集，∴-12≤x≤12，

∴cosαsinβ的取值范圍是-12，12.

注：通過角的變換，溝通已知和未知，這是角變換的方向，明確了這個方向，問題也就隨之解決.

解法2:設t=cosαsinβ，

又∵sinαcosβ=12，∴sinαcosβcosαsinβ=12t，

即sin2αsin2β=2t.

∵｜sin2αsin2β｜≤1，∴2｜t｜≤1，-12≤t≤12.

∴cosαsinβ的取值范圍是-12，12.

注：這種解法的優點在于考慮到了正、余弦函數的有界性，利用常規思維，發現解題捷徑.

解法3:由sinαcosβ=12知sin2αcos2β=14，

則cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=1-(sin2α+cos2β)+sin2αcos2β=54-(sin2α+cos2β)≤54-2sin2αcos2β=14.

∴-12≤cosαsinβ≤12，

∴cosαsinβ的取值范圍是-12，12.

注：切實掌握公式間的內在聯系，善于對公式進行變通，體現了一個“活”字.

【問題3】 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若c滿足（a-c）（b-c）=0，則｜c｜的最大值是_________.

求向量模的最值，可以直接根據數量積求模，可以根據幾何意義求模，也可以建立坐標系通過坐標運算求模.

解法1:∵｜a｜=｜b｜=1，a#8226;b=0，

展開(a-c)（b-c）=0得

｜c｜2=c#8226;（a+b）.

由于a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，故｜a+b｜=2.

設〈a+b，c〉=θ，則｜c｜2=c#8226;(a+b)=｜c｜｜a+b｜#8226;cosθ，

即｜c｜=｜a+b｜cosθ=2cosθ≤2.

∴｜c｜的最大值為2.

注：按向量數量積的運算法則展開，利用a=b=1，a#8226;b=0化簡后解決，這是最直接的方法，還有其他方法嗎？

解法2:設｜c｜=r，a=(1，0)，b=(0，1)，｜c｜=(rcosθ，rsinθ)，則（a-c）(b-c)=0，

即(1-rcosθ，-rsinθ)#8226;(-rcosθ，1-rsinθ)=0，

即-rcosθ+r2cos2θ-rsinθ+r2sin2θ=0.

∴r2=r(sinθ+cosθ).

當r≠0時，r=sinθ+cosθ=2sinθ+π4≤2，

即c的最大值為2.

注：設出單位向量的坐標和c的坐標，再轉化為函數的最值，利用“數”來探究，通過向量與三角知識的聯姻，運用方程的思想，開闊了學生的眼界.

解法3:設a=(1，0)，b=(0，1)，c=（x，y），

則(a-c)(b-c)=0，

即（1-x，-y）#8226;(-x，1-y)=0，

∴x2+y2-x-y=0，

即（x-12）2+(y-12)2=12，

這是一個圓心坐標為（12，12），半徑為22的圓，所求的問題等價于這個圓上的點到坐標原點的最大距離，根據圖形特征知這個最大距離為22.

∴所求的最大值為2.

注：把問題轉化為坐標平面內曲線上的問題，根據曲線的幾何意義解決花費的時間較少.這個做法簡捷、生動，凝聚了智慧的結晶！

解法4:把三個向量的起點放在一起，如右圖所示，c的終點必須在以線段AB為直徑的圓上，這個圓上的點到點O的最大距離為2，這就是所求的最大值.

注：(a-c)(b-c)=0，即(a-c)⊥(b-c)，根據向量減法的幾何意義解決非常巧妙.把問題轉化為平面幾何中“形”的問題來解決，既出其不意，又在情理之中.所以理清知識間的聯系，多一點聯想，好方法也就隨之產生.

當思維縱橫馳騁，各種方法技巧便油然而生，根據題目給出的信息，把握知識間的內在聯系，選擇恰當的方法，問題便迎刃而解，而思維的天窗也被一題多解這把鑰匙悄然開啟了.

（責任編輯 金 鈴）

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