一類時間可逆系統的首次積分問題

桑 波，劉文健，朱思銘

（1.聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059；2.中山大學 數學與計算科學學院，廣州 510275）

推論2 系統（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

證明 由定理，系統（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關，由于z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內解析，函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區間J上線性相關，而函數組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區間J上線性相關的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推論得證.

一類時間可逆系統的首次積分問題

桑 波1，劉文健1，朱思銘2

（1.聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059；2.中山大學 數學與計算科學學院，廣州 510275）

對于一類時間可逆解析系統建立了首次積分的系數遞推公式.利用此遞推公式得到其具有給定形式首次積分的充要條件.為了說明所得結論，對于一類時間可逆三次系統，利用系數遞推公式給出了其六次多項式首次積分.

時間可逆系統；三次系統；首次積分；Darboux多項式

在常微分方程定性理論中，確定可積系統的首次積分問題是一個經典難題.對于可積的多項式微分系統，構造首次積分的主要方法有達布方法［1－3］、Prelle－Singer方法及其擴展方法［4－5］、李對稱性方法［6］、Lax pair方法［7］等.這些方法的構造性都比較強，比較適用于具體系統首次積分的構造，因而難以建立某類系統具有確定形式首次積分的充要條件.

時間可逆微分系統在力學、物理學問題中有廣泛的應用，因而研究其首次積分問題是比較重要的.文獻［8］給出了時間可逆系統的首次積分空間的性質.對時間可逆多項式微分系統而言，多項式首次積分的構造是比較重要的，這是因為如果該首次積分在實數域內是可分解的，分解式中的Darboux多項式對系統性態的確定具有重要作用.

本研究考慮一類時間可逆解析微分系統的首次積分問題.通過建立解析首次積分的系數遞推公式，給出這類系統具有指定形式首次積分的充要條件，并確定該首次積分的解析區域；在此基礎上，對一個實例構造六次多項式首次積分.

考慮時間可逆實微分系統

而式（14）成立的充要條件是函數組1，2A（x）＋a（x），（2A（x）＋a（x））2＋2B（x）在開區間I內線性相關，這也是系統（1）存在形如式（4）的首次積分的充要條件；另一方面，若系統（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y），由式（11—13），（8）及解析函數的性質可知，u0（x），u1（x），u2（x），u3（x）在開區間I內解析，從而首次積分F3（x，y）在區域I×R內解析.

令z1＝1，z2＝2A（x）＋a（x），z3＝（2A（x）＋a（x））2＋2B（x），則有如下定理.

定理 系統（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關；若此首次積分F3（x，y）存在，則它在區域I×R內解析.

推論1 系統（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）的 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I.

證明 由定理，系統（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關；考慮到z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內解析，由 Wronsky判別準則［9］，函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關的充要條件是其 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I，由此推論得證.

推論2 系統（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

證明 由定理，系統（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關，由于z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內解析，函數組z1（x），z2（x），z3（x）在開區間I內線性相關的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區間J上線性相關，而函數組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區間J上線性相關的充要條件是函數組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推論得證.

［1］ Ginoux J.Differential Geometry Applied to Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2009.

［2］ Christopher C，Li C Z.Limit Cycles of Differential Equations［M］.Berlin：Birkh?user Verlag，2007.

［3］ Dumoriter F，Llibre J，Artés J.Qualitative Theory of Planar Differential Systems［M］.Berlin：Springer，2006.

［4］ Prelle M，Singer M.Elementary first integrals of differential equations［J］.Trans Amer Math Soc，1983，279（1）：215－229.

［5］ Avellar J，Duarte L，Duarte S，et al.Determining Liouvillian first integrals for dynamical systems in the plane［J］.Computer Physics Communications，2007，177：584－596.

［6］ Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equations［M］.New York：Springer，1986.

［7］ Goriely A.Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2001.

［8］ Matveyev M V.Reversible systems with first integrals［J］.Physica D，1998，112：148－157.

［9］ Jeffrey A，Dai H H.Handbook of Mathematical Formulas and Integrals［M］.San Diego：Academic Press，2008.

［10］ 克拉斯諾夫 МЛ，基謝列夫АИ，馬卡林科ГИ.常微分方程解題指南［M］.李明曙，楊守昌，譯.合肥：安徽省數學學會，安徽大學數學系，1987.

First integral problem for a class of time－reversible systems

SANGBo1，LIUWenjian1，ZHUSiming2
（1.College of Mathematics Science，Liaocheng University，Liaocheng 252059，Shandong Province，China；
2.College of Mathematics and Computational Science，Sun Yat－Sen University，Guangzhou 510275，China）

For a class of time－reversible analytic systems，coefficients’recurrence formulae of first integral are obtained，by which some necessary and sufficient conditions for the systems to have prescribed first integral are reached.To illustrate the results，six degree polynomial first integral of a cubic time－reversible system is obtained by the coefficients’recurrence formulae.

time－reversible systems；cubic systems；first integral；Darboux polynomial

O175.12

A

1671－1114（2011）02－0009－03

2010－05－20

國家自然科學基金資助項目（10871214）

桑 波（1976—），男，副教授，博士，主要從事常微分方程定性理論方面的研究.

（責任編校 馬新光

）