一類特殊本原不可冪定號有向圖的local基

張 波，栗 慧，邵燕靈

（中北大學 數學系，太原 030051）

一類特殊本原不可冪定號有向圖的local基

張 波，栗 慧，邵燕靈

（中北大學 數學系，太原 030051）

對一類特殊的含有3個圈的本原不可冪定號有向圖的local基進行了研究.運用“異圈對”、Frobenius集及本原指數等討論圖中是否有相應的SSSD途徑對，得到了這類圖的local基與基.

local基；定號有向圖；本原

將有向圖D（可能含有環）中的每一條弧定義一個符號1或－1所得的圖稱為D的定號有向圖，記為S，D稱為S的基礎有向圖.

定義1［1］如果定號有向圖S中不含SSSD途徑對，則稱S是可冪的；否則，稱S是不可冪的.

定義2［2］設D是一個有向圖，如果存在正整數k，使得對于D的任意頂點vi，vj（可以相同），都有從vi到vj長為k的途徑，則稱D為本原有向圖，最小的k稱為D的本原指數，記作exp（D）.

定義4［1］設S是一個本原不可冪定號有向圖，u∈V（S），若對任意t≥l，從u到任意一點v（v∈V（S））都有長為t的SSSD途徑對，則稱最小的正整數l為頂點u的基，記為lS（u）.

定義5［1］設S是一個本原不可冪定號有向圖，若對任意頂點vi，vj（可以相同），對任意t≥l，從vi到vj都有長為t的SSSD途徑對，則稱最小的正整數l為定號有向圖S的基，記為l（S）.

1 相關引理

引理1［4］如果S是一個本原定號有向圖，那么S不可冪當且僅當S中存在一對圈C1和C2（長度分別為p1和p2），滿足下面2個條件之一：

（A）p1是奇數，p2是偶數，且sgnC2＝－1；

（B）p1和p2都是奇數，且sgnC1＝－sgnC2.

為方便起見，稱滿足（A）或（B）的圈對C1和C2為“異圈對”.容易看到，閉圈對W1＝p2C1和W2＝p1C2有相同的長度p1p2，但符號不同，即

設x，y為本原有向圖D中的有序頂點對，如果任意一個從x到y長度不小于dL（D）（x，y）的途徑都由一些從x到y長為dL（D）（x，y）的途徑W及若干個與W有公共點的圈組成，則稱有序頂點對x，y有唯一途徑性質.

設D為一個本原有向圖，h為非負整數，Rh（x）表示從頂點x出發，所有經過長度為h的途徑能夠到達的頂點的集合.

引理3［3］設D為一個本原有向圖，x，y是D中不同的2個點，且Rh（x）＝｛y｝，即從頂點x出發，長度為h的途徑能夠到達的頂點只有y，則

引理4［3］設S是一個本原不可冪定號有向圖，x∈V（S），r（x）表示最小的正整數k，使得從x到x存在長為k的SSSD途徑對，則

引理5［3］設S是一個本原不可冪定號有向圖，x，y是S中不同的2個點，且Rh（x）＝｛y｝，如果從x到y所有長為h的途徑的符號相同，則

2 主要結果

本研究主要對一類特殊本原不可冪定號有向圖S＊的local基進行了研究，其基礎圖為D＊（見圖1），其中，m＋1與n－2互素，m≥2，且n＞m＋3.

圖1 基礎圖D＊Figure 1 Basic graph D＊

定理 設S＊是一個n階本原不可冪定號有向圖，其基礎圖為D＊，則有

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［6］ Dulmage A L，Mendelsohn N S.Gaps in the exponent set of primitive matrices［J］.Illinois J Math，1964，8：642－656.

Local bases of a special class of primitive non－powerful signed digraphs

ZHANGBo，LIHui，SHAOYanling
（Department of Mathematics，North University of China，Taiyuan 030051，China）

The local bases is studied for a special class of primitive non－powerful signed digraphs with three cycles.The knowledge about“distinguished cycle pair”，Frobenius set and exponent are used to discuss whether there is a pair of related SSSD walks in digraphs，and the local bases and bases are obtained for the class of digraphs.

local bases；signed digraphs；primitive

O157.5

A

1671－1114（2011）02－0016－04

2010－05－07

山西省自然科學基金資助項目（2008011009）

張 波（1983—），男，碩士研究生.

邵燕靈（1963—），女，教授，博士生導師，主要從事組合數學方面的研究.

（責任編校 馬新光）