一類二階非線性微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性

張紅玲，裴新年，李寶毅

（1.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387；2.中共天津市委黨校 基礎(chǔ)課教研部，天津 300191）

一類二階非線性微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性

張紅玲1，裴新年2，李寶毅1

（1.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387；2.中共天津市委黨校 基礎(chǔ)課教研部，天津 300191）

研究一類二階非線性微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性，證明了該系統(tǒng)所有正半軌都是正向有界的，從而得到該系統(tǒng)零解全局漸近穩(wěn)定的一些條件.推廣了相關(guān)文獻的某些結(jié)論，之前較多結(jié)果都可由本研究結(jié)果推出.

二階非線性微分方程；零解；全局漸近穩(wěn)定性；正半軌；正向有界

1 引言及主要結(jié)論

考慮一類二階非線性微分方程

零解的全局漸近穩(wěn)定性，其中函數(shù)φ，F(xiàn)，k，h，ω，g都是R上的連續(xù)函數(shù)，且滿足一定的條件以保證柯西初值問題解的存在唯一性.當k（y）≡1時，系統(tǒng)（1）變?yōu)?/p>

文獻［1］給出了系統(tǒng)（2）零解全局漸近穩(wěn)定的一些條件.系統(tǒng)（1）可看作廣義Liénard型方程的進一步推廣.關(guān)于Liénard型方程解的定性問題已有很多研究，包括解的周期性、振蕩性、有界性、穩(wěn)定性和中心等問題［2－3］.本研究在已有成果的基礎(chǔ)上對文獻［1］進行推廣，得到如下結(jié)論：

定理1 設則系統(tǒng)（1）的零解全局漸近穩(wěn)定.

定理2 設

2 主要結(jié)論的證明

下面通過3個引理得到以上結(jié)論.

引理1 設系統(tǒng)（1）滿足如下條件1），2），3）或1），2），3′）.

考慮由曲線Γ1和直線x＝x1組成的區(qū)域Ω1（見圖1），可知從點（x0，y0）出發(fā)的正半軌線永遠停留在區(qū)域Ω1內(nèi)，因此解（x（t），y（t））是正向有界的，故由巴爾巴辛－克拉索夫斯基定理知方程的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

圖1 G（＋∞）＝＋∞，G（－∞）＜∞時的曲線Figure 1 Curve when G（＋∞）＝＋∞，G（－∞）＜∞

圖2 G（＋∞）＜∞，G（－∞）＝＋∞時的曲線Figure 2 Curve when G（＋∞）＜∞，G（－∞）＝＋∞

考慮由曲線Γ3和直線x＝x1，x＝x2組成的區(qū)域Ω3（見圖3），可知從（x0，y0）出發(fā)的正半軌線永遠停留在區(qū)域Ω3內(nèi)，因此解（x（t），y（t））是正向有界的，結(jié)論成立.

圖3 G（＋∞）＜∞，G（－∞）＜∞時的曲線Figure 3 Curve when G（＋∞）＜∞，G（－∞）＜∞

情況2 條件1），2），3′）成立.

當φ（±∞）發(fā)散或至少有一個收斂時，同理可以證明結(jié)論成立.

引理2 設系統(tǒng)（1）滿足如下條件1），2），3）和式（4）或1），2），3′）和式（5）.

證明 情況1 條件1），2），3）和式（4）成立.

考慮系統(tǒng)（1）從（1，y0）出發(fā)的解曲線（x（t），y（t）），可以證明對一切t＞0，（x（t），y（t））落在直線y＝M之上且不與y＝M相交.否則，存在t1＞0，使得y（t1）＝M，y（t）＞M，t∈［0，t1），于是?t∈［0，t1），有

［1］ Zhao L Q.On global asymptotic stability of trivial solution for a class of second order differential equations［J］.Advances in Mathematics，2006，35：378－384.

［2］ 李惠卿.Liénard方程零解全局漸近穩(wěn)定的充要條件［J］.數(shù)學學報，1988，31（2）：26－32.

［3］ 劉正榮.Liénard方程全局穩(wěn)定性的條件［J］.數(shù)學學報，1995，38（5）：614－620.

［4］ Zhou J.Boundedness and convergence of a second order nonlinear differential system［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，256：360－374.

［5］ 趙麗琴.一類微分方程零解全局弱吸引和全局吸引的充要條件［J］.數(shù)學物理學報，2009，29A（3）：529－537.

［6］ 張芷芬，丁同仁.微分方程定性理論［M］.北京：科學出版社，1985.

［7］ 高素志.二階非線性微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性［M］／／焦善慶.數(shù)學、物理、力學高新技術(shù)研究進展.成都：西南交通大學出版社，1996：6－7.

［8］ 嚴平，蔣繼發(fā).Liénard系統(tǒng)零解的全局漸近穩(wěn)定性［J］.安徽師范大學學報：自然科學版，1999（2）：16－18.

［9］ Wang D S，Tan Y S.Asymptotic stability in the large of zero solution of second order nonlinear differential equations［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2001，16（2）：13－16.

Global asymptotic stability of zero solution for a class of second order nonlinear differential equations

ZHANGHongling1，PEIXinnian2，LIBaoyi1
（1.College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；
2.Department of Basic Courses，Party School of CPC Tianjin Municipal Committee，Tianjin 300191，China）

The global asymptotic stability of the zero solution for a class of second order nonlinear differential equations is studied.Some sufficient conditions and a necessary condition are obtained by proving that all the positive semi－orbits of the system are positively bounded.Some results of relevant literatures are extended and some previous results can be obtained from this paper's results.

second order nonlinear differential equations；zero solution；global asymptotic stability；positive semiorbit；positivelybounded

O175.1

A

1671－1114（2011）03－0013－04

2010－09－30

張紅玲（1986—），女，碩士研究生.

李寶毅（1963—），男，教授，主要從事常微分方程定性理論及其應用方面的研究.

（責任編校 馬新光）