商品售價與包裝內商品數量的函數關系探討

付麗娜，李寶毅，張 馳

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

商品售價與包裝內商品數量的函數關系探討

付麗娜，李寶毅，張 馳

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

通常商品最小包裝內的數量不同時其售價不同，通過對這類商品售價的市場調查，從利潤角度對售價與包裝內商品數量間的關系進行定性分析，建立了商品售價與包裝內相對數量間的函數關系.以某品牌堿性5號電池的實際數據為例，通過最小二乘擬合估計參數，得到售價函數，并利用包裝費對售價進行校正，通過計算理論與實際相對銷售單價的相對誤差平方和，確定了售價函數.本研究結果有助于商家對多包裝商品進行合理定價，從而使其獲得較高利潤.

相對數量；相對單價；售價函數；利潤

通常同種商品有大小不同的包裝，傳統觀念往往認為商品的售價與包裝內商品數量的關系為正比例函數.然而實際中一般大包裝（數量多）商品比小包裝（數量少）商品的相對單價（售價與包裝內商品數量的比）略低，即當商品數量按一定比例增加時，商品售價不是同比例增加的，相對單價也不是同比例降低的，這無疑是商家的一種價格策略［1］.有研究已經對這類商品的定價現象進行了定性分析.文獻［2］從提升消費者效用感知角度解釋了多包裝商品的售價現象，即商家為了擴大市場占有份額和提高消費者的購買欲，采取不同數量的包裝形式進行銷售，從而增加總利潤.文獻［3］從包裝成本大小對售價和利潤的影響角度，解釋了大包裝商品比小包裝商品相對單價略低的原因.文獻［4］從需求價格彈性等角度進行了定性分析.本研究用數學方法定量計算這種售價與包裝內商品數量間的函數關系，并以某品牌堿性5號電池為例，利用包裝費校正前后的售價函數給出了一些新的包裝形式（按數量多少）的理論售價和利潤值，為商家制定多種包裝形式商品的售價提供參考.

1 理論模型的建立

1.1 符號說明及模型條件

設包裝內數量最少時的商品為相對單包裝商品，記此時包裝內商品的相對數量為單位1，其他商品包裝內的數量以此相對單包裝商品的實際數量的倍數x為相對數量.設F（x）是相對數量為x時商品的售價，p為相對單包裝商品的實際售價，C為相對單包裝商品的相對銷售成本系數，則Cp為相對單包裝商品的銷售成本，R（x）為包裝內商品相對數量為x時的商品利潤函數.F（x）應滿足的條件為：

2）商品利潤函數R（x）＝F（x）－Cxp關于x嚴格單調上升.

1.2 模型的理論推導

根據模型滿足的條件推測商品售價與相對數量x的函數關系為

2 參數估計與應用

2.1 參數估計與誤差分析

對某大型超市某品牌堿性5號電池的售價進行調查，得到具體數據，見表1.

表1 堿性5號電池包裝內的實際數量與實際售價（元）Table 1 Real quantity and selling price（yuan）of alkaline aa batteries in packing

其中i＝1，2，3，4，5，為方便，以2粒電池為單位1，此時單包裝售價p為4.9元.其他包裝內的相對數量為xi＝x′i／2，相對銷售 單價為yi＝y′i／4.9xi.由表1可得表2.

表2 堿性5號電池包裝內的相對數量與相對銷售單價Table 2 Relative quantity and selling unit price of alkaline aa batteries in packing

由式（1）得相對銷售單價為y＝C＋（A＋Bx）－α.利用表2數據對待定參數進行估計.

1）第一次搜索.將相對銷售單價變形為

顯然，成本C必小于最小的相對銷售單價0.812 93且大于0，而α∈（0，1］，即對在范圍內給定的（C，α），就可得到一個確定的u.在Matlab軟件［5］中利用最小二乘法，進行u關于x的線性擬合，以xi，ui的相似度的最大值為目標函數，在精度10－4下搜索，確定參數如下：

2）第二次搜索.對第一次搜索得到的參數A＊，B＊，C＊，α＊，在其±30%鄰域內重新搜索，計算實際與理論相對銷售單價的相對誤差平方和，以其最小值為目標函數，即

易得相對單包裝商品的銷售成本Cp≈3.15元.于是相對銷售單價函數為

圖1 相對銷售單價與相對數量散點及函數關系Figure 1 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity

下面考慮包裝費對售價的影響，在式（1）基礎上考慮包裝費校正后的售價函數關系：

其中，A，B，C，α為待定參數，p為相對單包裝商品的實際售價，Dx為包裝內商品相對數量為x時的包裝費.由式（7）得含包裝費的相對銷售單價為

實際調查5號電池知2粒、4粒、6粒裝的電池的外包裝硬紙殼大小相同（見圖2（a）），實際長a約為11.7cm，寬b約為8.1cm，可得面積為S＝94.77cm2.

圖2 堿性5號電池兩種包裝形式尺寸示意圖Figure 2 Graphic representation of sizes of two packing manners of alkaline aa batteries

圖2（a）中豎放區域可放2粒或4粒，而在豎放4粒電池上面再加固2粒電池后得6粒裝的電池，它們僅是固定的外塑料殼有微小差別，則有D1≈D2≈D3.8粒、12粒裝電池外包裝的長a′約為17.9cm，寬b′約為8.1cm，面積為S′＝144.99cm2.具體尺寸見圖2（b），有S′≈1.53S.8粒包裝的電池是在橫放區域Ⅰ與Ⅱ分別橫放4粒，再在4粒上面分別加固2粒就得12粒包裝的電池.固定8粒裝電池的外塑料殼約為4粒裝電池的2倍大小，則綜合面積關系近似有D4≈D6≈1.6D1.

圖3 包裝費校正后的相對銷售單價與相對數量散點及函數關系Figure 3 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity regulated with packing charges

2.2 模型應用

下面根據包裝費校正前后的售價函數關系，給出一些新的包裝形式（數量不同）的理論售價F（x）及（x）.

根據實際包裝的尺寸（圖2（b）），橫放區域長5.7cm，寬5.1cm，實際測量兩區域之間距離為0.9cm，在圖2（b）的基礎上寬度不變，增加一個橫放區域，見圖4（a），長度增加5.7＋0.9＝6.6cm，包裝總長度為17.9＋6.6＝24.5cm.此時在橫放區域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ上分別橫放4粒電池，在每4粒電池上可再加固2粒包裝成14粒、16粒、18粒裝的電池.此時面積S1＝198.45cm2≈2.1S，考慮包裝固定的外塑料殼，則有包裝費

在圖2（b）的基礎上長度不變，增加兩個橫放區域，見圖4（b），寬增加0.9＋5.1＝6cm，寬為8.1＋6＝14.1cm，在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ區域中可分別固定5粒、6粒電池做成20粒、24粒的電池，此時面積S2≈252.4cm2≈2.7S，考慮包裝外塑料殼，則有包裝費D10≈D12≈2.8D1≈0.25.綜合圖4（a）和（b），長度不變，為24.5cm，寬為14.1cm，此時有6個區域固定電池，見圖4（c），可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，其余的固定4粒，也可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，Ⅲ，Ⅳ固定5粒，Ⅴ，Ⅵ固定4粒，等，故可構成28粒、30粒、32粒、34粒、36粒裝的電池.S3＝345.45cm2≈3.65S，考慮外塑料殼后有包裝費

類似可以設計更多新包裝形式的電池.

圖4 堿性5號電池的3種新包裝形式尺寸示意圖Figure 4 Graphic representation of sizes of three new packing manners of alkaline aa batteries

由式（6）和（10）及包裝費計算一些新包裝形式電池的具體售價見表3.

表3 堿性5號電池一些新包裝形式的理論售價（元）Table 3 Theoretic selling price（yuan）of alkaline aa batteries of some new packing manners

由表3可看出，理論售價隨包裝內數量增多而逐漸增大，但是增加的幅度卻逐漸降低.商家在制定具體售價時可遵循自身的價格策略并根據包裝的具體大小微調售價，從而有利于銷售.消費者可根據需求購買不同數量包裝的電池，從而得到實惠.

下面根據商品利潤函數R（x）＝F（x）－Cxp＝（A＋Bx）－αxp計算在上述售價關系下的利潤.即

根據式（11）—（12）計算包裝費校正前后的部分電池理論利潤值R（x）與~R（x），見表4.

表4 堿性5號電池不同數量包裝時銷售的理論利潤（元）Table 4 Theoretic profits（yuan）of alkaline aa batteries of different numbers in packing

由表4可知，利潤隨包裝內數量的增多而逐漸增大.

3 結語

商場中其他多包裝商品也有與堿性5號電池的上述售價函數相類似的售價與數量關系，因此以上研究模型得到的具體售價函數可應用到其他商品的售價制定中，為消費者提供更多包裝形式的商品選擇，從而有利于提高商場的利潤和市場地位.另外，還考慮了形如F（x）＝［C＋（A＋Bxα）－1］px的售價函數，利用上述堿性5號電池的數據及相同的參數估計方法，得到相對單包裝商品的相對銷售成本系數C≈0.336 86，則相對單包裝商品的銷售成本Cp≈1.65元，而實際售價為4.9元，此時Cp過小，與實際銷售成本不符，因此這種售價函數不合理.

［1］ 劉東山.超市競爭中價格策略研究［J］.黃岡職業技術學院學報，2009，11（4）：96－97.

［2］ 王欣，胡正明.價格促銷中的消費者效用感知研究［J］.山東社會科學，2010（3）：141－143.

［3］ 姜興武.商品單價的數學模型［J］.吉林商業高等專科學校學報，2000（1）：49－50.

［4］ 馬衛東，游玲杰.需求價格彈性、銷售收益和企業利潤的關系研究：基于成本策略［J］.經濟研究導刊，2010（4）：55－56.

［5］ 王家文，王皓.MATLAB7.0編程基礎［M］.北京：機械工業出版社，2005.

［6］ 姜啟源，謝金星.數學模型［M］.北京：高等教育出版社，2005.

Research on function relationship between selling price and number of commodity in packing

FULina，LIBaoyi，ZHANGChi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The selling prices of commodity are usually different according to the quantity of commodity in the smallest package.By the investigation of the selling price of this kind of commodity and the qualitative analysis of the relationship between the selling price and the quantity of commodity in the view of profit，a concrete function between the selling price and the relative quantity in the package is defined.Take a certain brand of alkaline aa batteries'real statistics for example，the parameters in the function by least squares method are estimated and the function of the selling price is obtained.Then the selling price is regulated using the batteries'packing charge，and the function of the selling price is gained by calculating the sum of squares of the relative error of the theoretical and practical relative selling unit price.The results can help the market make reasonable pricing for the commodity and make much higher profits.

relative quantity；relative unit price；function of selling price；profit

F224

A

1671－1114（2011）03－0017－05

2010－10－18

付麗娜（1986—），女，碩士研究生.

李寶毅（1963—），男，教授，主要從事常微分方程定性理論及其應用方面的研究.

（責任編校 馬新光）