從實驗題的解答看中學物理教學對誤差的認識偏差

林輝慶

(杭州市余杭高級中學 浙江 杭州 311100)

誤差是物理實驗教學的重要內容.讓學生理解誤差概念，并在具體實驗中初步分析誤差，是中學物理實驗教學的重要目標之一.然而，在中學物理實驗的實際教學中(包括各種考試)，卻普遍存在著對誤差的認識偏差.現通過對一個典型的電學實驗題解答的分析，揭示中學物理教學中對誤差的認識偏差，并提出糾正的方法.

1 一個典型的電學實驗題

【原題】一只大小約為3 kΩ的電阻Rx，現要測量它較為準確的阻值，實驗室可以提供的器材有：

A.電流表A1，量程為300 μA，內阻RA1=100 Ω

B.電流表A2，量程為1 mA，內阻RA2約為5 Ω

C.電壓表V，量程為15 V，內阻RV約為10 kΩ

D.電阻箱R1，阻值范圍為0～9 999.9 Ω

E.電阻箱R2，阻值范圍為0～99.9 Ω

F.滑動變阻器R3，最大阻值為10 Ω

G.滑動變阻器R4，最大阻值為10 kΩ

H.電源E，電動勢3 V，內阻約0.5 Ω

I.單刀單擲開關，導線若干

請選擇合適的元件，設計出測量電阻Rx阻值的電路，要求測量盡可能準確，畫出電路圖(圖中的元件用題目中相應的字母標注)；寫出用測量值表示的Rx的表達式.

這是某地高考模擬試卷中的實驗題.歸納試卷的參考答案和學生的解答，在中學物理的知識范圍內，有以下三類測量方法.

方法1伏安法

題目中電壓表的量程比電源電動勢大得多，用電壓表測電壓，指針偏角較小，誤差較大.但仍能用兩個電流表和一個電阻箱根據伏安法的原理設計出圖1、圖2兩種測量電路.對圖1電路，把R1調到約為6 kΩ，對圖2電路，把R1調到約為1.5 kΩ，電流表A1,A2的指針能同時有較大的偏角.

圖1

圖2

電流表A1,A2的讀數分別用I1,I2表示，則圖1中，被測電阻Rx兩端的電壓

U=I1(R1+RA1)

電流

I=I2-I1

由

得到

(1)

對圖2電路，同理可得到

(2)

方法2半偏法

圖3

(3)

(4)

由(3)、(4)兩式得到

Rx=R1-RA1

(5)

方法3等效替代法

用等效替代的思想設計出圖4、圖5兩種電路.

對圖4電路，接通電路前，變阻器R4的滑動觸頭置于最右端.S2斷開，閉合S1和S3，把R4的滑動觸頭逐漸向左移動，使A1的指針偏轉到滿刻度I1m處,然后把R1調到最大，斷開S3，閉合S2，逐漸減小R1直到A1的指針偏轉到滿刻度I1m處，讀出R1的值，則被測電阻

Rx=R1

用圖5電路的測量方法相似.

圖4

圖5

試卷的參考答案給出的是圖1，圖2所示的伏安法，學生的解答中，還提出了圖3的半偏法和圖4，圖5的等效替代法.大多數中學物理教師認為，答案應該是上述的伏安法和等效替代法，因為它們的實驗原理是完善的，所以測量結果是準確的；而圖3所示的半偏法不夠準確，因為在斷開S2后P,Q之間的電壓略有增加，測量存在著系統誤差.

2 三種測量方法的誤差分析

題目要求“測量盡可能準確”，對于上述中學物理普遍認同的答案，需要進一步搞清兩個問題：

一是實驗原理完善，測量結果是否就準確；

二是實驗原理都完善的不同測量方法，測量結果的準確程度是否相同.

為回答這兩個問題，就要進行定量的誤差分析.

對任何一個實驗，都有多個因素引起誤差.除了實驗原理、實驗方法的因素外，實驗儀器的準確度，實驗者操作和觀察的細致程度，還有其他干擾因素，都會產生和影響誤差.

中學物理實驗常用的磁電式電表，準確度等級一般都是2.5級，表示指針在任何位置時示值與真實值之差與滿刻度值的百分比不超過2.5%.例如對于滿刻度電流為Im的電流表，指針在任何位置最大示值誤差均為ΔI=Im×2.5%.在下面的分析中，認為電表的準確度等級是2.5級.

中學物理實驗常用的電阻箱，準確度等級一般為0.1級，表示電阻箱的電阻不確定度為

ΔR=0.1%R+0.005(N+1) Ω

式中R為實際取用的電阻，N為實際使用的十進電阻盤個數.當取用的電阻較大時，第二項可以忽略.在下面的分析中，認為電表的準確度等級是0.1級.

2.1 伏安法的測量誤差

用圖1、圖2的電路測電阻Rx，考慮了電流表A1的內阻RA1，確實消除了與實驗原理相關的系統誤差，但電流表和電阻箱的示值不準仍然會產生測量誤差.下面計算圖1電路的測量誤差.

由式(1)，電阻箱的示值不準引起的誤差

(6)

把R1調到約6 kΩ，I1，I2為電流表A1，A2的滿偏電流，得到

ΔRx1≈2.6 Ω

設電流表示值不準，引起的電阻測量誤差為ΔRx2，根據式(1)有

(7)

其中

代入式(7)得到

|ΔRx2|≥3 kΩ×6.1%≈180 Ω

準確度等級為2.5級的電表，讀數誤差小于示值誤差.例如，量程0～3 A的電流表，刻度盤上每小格為0.1 A，估讀產生的誤差取較大的值0.05 A，也小于示值誤差0.075 A.

綜合上述分析，圖1電路測量誤差的主要來源是電流表的示值不準，電阻測量誤差約有180 Ω.

對圖2電路，同樣可以估算出電阻測量誤差約有180 Ω.

2.2 半偏法的測量誤差

先計算圖3中斷開S2，P和Q之間電壓的變化引起的系統誤差有多大.在S2閉合，A1滿偏時，P，Q之間的電壓U=I1m(Rx+RA1)=0.930 0 V.設這時變阻器P,Q之間的電阻為R0，則有

代入數據，解出R0=3.257 4 Ω.

這時P,Q之間的電壓

再來計算由于電流表的示值不準，引起的電阻測量誤差.根據式(4)，由誤差理論得到

(8)

由(4)、(5)和(8)三式得到

則

|ΔR1|≈(Rx+RA1)×10%≈310 Ω

由式(5)得到R1=Rx+RA1≈3 100 Ω，電阻箱的示值誤差約為0.1%R1≈3.1 Ω，可以忽略.綜合以上分析得到半偏法的電阻測量誤差

|ΔRx|≈|ΔR1|≈310 Ω

2.3 等效替代法的測量誤差

等效替代法測電阻，等效替代后，電流表的示值與原來相同，但真實電流不一定與原來相同，從而會引起電阻箱的阻值R1與被測電阻Rx的偏差.

對圖4電路有

(9)

根據式(9)由誤差理論得到

(10)

由(9)、(10)兩式得到

(11)

|ΔRx|≈|ΔR1|=250 Ω

對圖5電路，式(11)仍然成立，只是式中的E應該是Q，P之間的電壓E′

E′=I1m(Rx+RA1)=0.93 V

代入式(11)得到

|ΔR1′|=77.5 Ω

如果忽略電阻箱的示值誤差3 Ω，用圖5電路測量Rx的誤差

|ΔRx|≈|ΔR1′|=77.5 Ω

通過上面的定量分析知道，即使實驗原理完善，由于測量儀器不準確等因素，仍可能產生很大的測量誤差；實驗原理都完善的不同測量方法，測量結果的準確度也不一定相同.對于實驗題的上述各種測量方法，用圖5所示的等效替代法測量最準確.

3 中學物理教學對誤差的認識偏差

在中學物理教學中，由于普遍地不重視實驗操作，教師只在黑板上講實驗，學生只通過做題“練實驗”，這種以“理論”的方式進行的實驗教學，必然忽視或無視實驗儀器不準確、實驗者操作和觀察不細致及其他干擾因素產生的誤差.另外，以紙筆形式進行的考試(包括高考)，只能對實驗知識和能力進行“理論性”的考查；對誤差分析，基本上只考查它的“理論性”來源，即實驗原理和實驗方法不完善引起的誤差.在這樣的教學環境和實際考試下，中學物理教學對誤差的認識產生了偏差，以為實驗原理完善，實驗方法精確，測量結果就是準確的；實驗原理都完善的不同測量方法，測量結果的準確程度是相同的.

對該電學實驗題，人們往往以為圖1、圖2所示的伏安法和圖3、圖4所示的等效替代法實驗原理是完善的，所以測量是準確的，不會想到電表的示值不準會產生幾十、幾百歐的測量誤差，也不會想到其測量的準確程度不同；以為圖3所示的半偏法因為實驗原理不完善會產生測量誤差，而沒有想到其實這種誤差是微不足道的，反而由于電流表的示值不準，會產生310 Ω之大的測量誤差.

4 通過實驗克服對誤差的認識偏差

實驗測量的精髓是控制和減小誤差.中學物理實驗教學應該使學生形成全面的、正確的誤差概念，具有從誤差角度考慮實驗問題的意識和能力.雖然中學階段，不要求定量分析和計算誤差，也不可能通過如上的定量分析讓學生理解各種誤差的大小，但可以通過更有效的方法，即實驗觀察的方法，使學生理解各種誤差的存在和大小.例如，對于圖3所示的半偏法，讓學生在實驗中觀察，調節電阻箱的“×1 kΩ”旋鈕，電流表A1的指針偏角有明顯的變化；調節電阻箱的“×100 Ω”旋鈕，調節范圍小于300 Ω，幾乎觀察不到指針偏角的變化；而調節“×10 Ω”及以下的旋鈕，指針偏角根本不會發生可見的變化.根據觀察到的現象，學生就會對由于電流表的靈敏度和準確度的限制產生的誤差，有深切的感受和理解.對同一個電阻，讓不同學生去測量，然后交流各自的測量值，則能從不同的測量結果中理解實驗者操作和觀察產生的誤差.