關于x-t圖像坐標意義的探討

唐建勛

(無錫市輔仁高級中學 江蘇 無錫 214123)

x-t圖像(教材中的正式稱謂是位移-時間圖像)，是高一物理“運動的描述”和“勻變速直線運動的研究”兩章中十分重要的知識點.無論是老版人教社教材還是新版普通高中物理課程標準實驗教科書，該知識點都屬于學生必須掌握的A級內容.該圖像對于幫助學生理解物體直線運動的規律有著極其重要的作用.但是筆者卻在教學和使用教材的過程中發現關于x-t圖像坐標意義的矛盾之處，筆者認為將x-t圖像稱為位移-時間圖像，將縱坐標的意義歸屬于位移的做法有待商榷.

圖1

眾所周知，當建立起一個直角坐標系時，該坐標系中的任意一點都反映了縱坐標所代表的因變量隨橫坐標所代表的自變量變化的對應關系.如果將大量的坐標點在坐標系中標出，并將這些點用曲線連接，就能通過曲線的形狀反映因變量隨自變量變化的函數關系.同樣道理，x-t圖像以x(暫且認為是位移)為因變量，以時間t為自變量；圖像所反映出來的也應該是x隨t變化的函數關系.但是若在x-t圖像中取任意一點P,如圖1所示，P點代表的是x0與t0的對應關系，其中t0代表的是某一時刻，那么x0代表該時刻物體的位移嗎？從教材本身對位移概念的闡述來看，答案是否定的.

根據教材對于位移的定義(人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理·必修1》第13頁)，“位移是表示物體位置變化的物理量” ，可知，位移反映了物體在某段時間內從初始位置到終點位置的變化情況，說明位移是物體從一個位置運動到另一個位置的過程中發生的，應該是一個過程量.既然位移是過程量，那么對應的應該是某一段時間間隔.但是在x-t圖像中,P點橫坐標所代表的卻是時間軸上的某一時刻，而時刻對應的必定是狀態量，因此如何能用橫坐標代表的某一時刻來對應縱坐標所代表的某過程的位移呢？這樣的對應違反過程量與狀態量本身的定義，所以P點縱坐標的意義歸結為位移實為不妥，但令人遺憾的是教材始終沒有注意到這一點.

再看教材，在人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理·必修1》第40頁上提到“……圖描述了物體對于出發點的位移隨時間的變化情況，這個圖像稱為位移-時間圖像.”教材中提到的“對于出發點的位移”就是位移嗎？能夠用位移代替x-t圖像的縱坐標的意義嗎？大學普通物理教材中研究質點運動時引入了表示物體位置的物理量——位置矢量r(也稱位矢或矢徑), 位矢是表示質點在空間的位置的矢量，位矢是從坐標原點O指向質點所在處P的有向線段[1]，可以表達如下

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

由表達式可以發現，位矢是由時間所對應的一個狀態函數，應該是一個狀態量.在高中階段研究直線運動時，由于所討論的空間是一維的，所以位矢表示為

r=x(t)

方向可以根據所規定正方向加正負號來確定.

基于上面的分析不難發現，所謂“對于出發點的位移”其實并非位移，真正所指應該是位矢.

同樣的問題在人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理·選修3-4》“機械振動”一章中又被提及，“為了研究彈簧振子的運動規律，我們以振子的平衡位置為坐標原點，沿著它的振動方向建立坐標軸……兩個坐標軸分別代表時間t和小球位移x，因此它就是小球在平衡位置附近往復運動時的位移-時間圖像，即x-t圖像.”除了現在所使用的教材， 在各年度使用的教材中，這一章內容都或多或少、或明或暗提到了本章中的“位移”特指振動質點相對于平衡位置的位移，而這些所謂的“位移”實質上也都是位矢.

位矢與位移是有區別的，位矢是某時刻相對坐標原點的位置矢量，而位移是在某一段時間過程內相對初始位置的位置變化矢量.對于相對靜止的不同坐標系來說，位矢依賴于坐標系的選擇，而位移則與所選取的坐標系無關.若取初始位置為坐標原點才能夠使兩者一致，但也僅僅是大小的相等和方向的相同，其本質意義還是有差別的，因為位矢是隨時間t變化的狀態函數，所以位矢對應的是某一時刻，而位移對應的則是某段時間間隔，其實它們的關系在教材中已經被提到了. 在人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理·必修1》第14頁寫道:物體在時刻t1處于位置x1，在時刻t2處于位置x2，那么物體的位移等于兩個位置的坐標變化，即

Δx=x2-x1

在力學教材中位移的表達式如下

Δr=r(t+Δt)-r(t)

在一維空間里表達式則變為 Δx=x2-x1

對照上面的分析可以發現，高中教材中所提到的位置x1和x2就是一維空間里的位矢，而Δx即位矢的變化才是位移.

通過上述分析，筆者認為x-t圖像的縱坐標x應該是位矢而不是位移;縱坐標必須賦予位矢的意義才能使x-t圖像縱坐標的狀態量和橫坐標的時刻一一對應起來，才能將x-t圖像斜率就是物體速度這一結論解釋得更加滴水不漏.

但令筆者感到困惑不已的是，通過解讀人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理·必修1》第14頁的內容，發現教材的編者已經注意到了介紹位矢和位移的區別與聯系；但是在人教版高中物理課程標準實驗教科書《物理》從高一到高三各冊中，編者始終沒有明確指出位矢概念與位移概念的區別；在對x-t圖像的認識上，也是始終統稱為位移-時間圖像.這明明是科學性錯誤，為何教材的編者始終沒有糾正？筆者姑且認為是教材的編者過多地考慮到高中生認知能力的局限性，擔心高一學生剛接觸矢量概念，本身位移的概念已經打破了學生對于物理量認識的常規，若是再來一個和位移概念相近的位矢概念，學生可能會在這兩個概念的理解上出現模糊和混淆，于是索性用“相對于原點的位移”來替換位矢.誠然，這樣的做法符合對于科學的認識應該呈螺旋形上升的趨勢的做法，在初學某理論時可以用雖然略有科學性錯誤,但對初學者而言卻是更淺顯易懂的方法來闡述，以后可以再逐漸詳細討論.可是筆者通過教學實踐卻發現情況并非如此.

圖2

首先，常會遇到這樣的問題：甲、乙兩個物體相對于同一參考系的x-t圖像如圖2所示，下列說法正確的是

A.甲、乙兩物體的運動快慢相同

B.甲、乙兩物體由同一地點出發

C.t1時刻甲、乙兩物體位移相等

D.t1時刻甲、乙兩物體在同一位置

在該題目中，學生對于選項C,D的認識存在困難，因為教師平時在課堂上所講的位移概念都是有初末位置對應的，而選項C中突然問學生某時刻的位移，學生往往對此無所適從，教師不得不告知學生此位移特指相對于原點的位移，但學生又會疑惑，為什么要硬性規定相對于原點呢？尤其是乙的位移為何不是相對于初始位置而是非要相對于原點呢？其實出題者的本意問的就是t1時刻甲、乙兩物體的位矢是否相等，若教師能夠介紹位矢概念，明確x-t圖像的縱坐標x是位矢的話，學生就不難理解C,D選項均是正確的.但是教師若過多糾纏于將位矢自圓其說成位移的話，會引發很多問題;這就種下了學生概念理解上的潛在危險.所以教材的編者雖然想用“相對于原點的位移”來淡化位矢概念，但結果卻適得其反，學生反而會在x-t圖像的認識上產生混淆.

其次，筆者通過在教學實踐的嘗試中發現，索性揭開位矢的神秘面紗，將位移和位矢概念加以區別，只要將位矢r的概念在一維情況下簡化為位置x;再根據正方向賦予正、負號，表示位置的方向，結合教材中所提及的位移Δx=x2-x1，學生還是能夠輕松接受位矢概念的.有了位矢概念的基礎，學生就不難理解x-t圖像的縱坐標應該表示位置，x-t圖像應該稱為位置-時間圖像，學生對于位移的概念反而更加清晰，對x-t圖像的應用掌握得更加扎實.

綜上所述，筆者建議在教材中應介紹位矢概念;在一維情況下可用坐標軸位置來體現，摒棄“某時刻的位移”和“相對于原點的位移”的稱法，用位矢(位置)來替代，將x-t圖像的稱謂由“位移-時間圖像”改為“位置-時間圖像”.

參考文獻

1 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1997.31