例析Matlab融入電磁學教學課堂*①

呂良軍 郝振莉

(黃河水利職業技術學院 河南 開封 475004)

鄭海務 尹國盛

(河南大學物理與電子學院 河南 開封 475004)

1 引言

目前，在我國許多大學、中小學都已普及了以電子教案為基體、計算機為主體的多媒體教學.教師們大量地采用自編的或公開出版的電子教案教學，與傳統的“粉筆黑板”式的教學相比，有多方面的優越性，但多以Powerpoint為主,而物理學中的許多最終結果和運動難以用Powerpoint軟件完成.鑒于上面的原因,物理仿真已引起了大家的普遍關注與研究[1～4].

電磁學歷來被國內外大學生公認為大學物理中難度較大的課程之一,其較深的數學理論和場的抽象性使得學生在學習中往往有恐懼心理,容易產生畏難情緒.如果按照傳統的課堂教學方式,必然會面對大量復雜繁瑣的數學推導和難以繪制的三維圖形,很難引起學生的學習興趣.Matlab是近些年來較為流行的一種可視化科學計算軟件,其計算與畫圖功能強大，編程簡單，將其引入電磁場的課堂教學中,可以把抽象的場可視化,讓教師和學生從繁瑣的數學推導運算中解放出來,將更多的精力放到對概念的理解和專業知識的獲取上.本文通過幾個典型例子介紹如何利用Matlab進行電磁學的輔助分析及可視化教學.

2 典型案例

2.1 帶電粒子在電磁場中的運動仿真

既有電場又有磁場的情況下，運動的帶電粒子q在此區域內所受到的作用力應為

F=FE+FM=qE+qυ×B

上式通常被稱為洛倫茲力公式.因此，可以利用外加的電場和磁場，來控制帶電粒子流的運動[5].在Matlab中只要采用不同的初始條件和參量就可以觀察到不同的現象.下面程序是q=1.6×10-2、m=0.02的帶電粒子在B=2、E=1的均勻電磁場中的運動仿真程序和運動軌跡.

clc；clear；[t,y]=ode45(′ode45_fun4′,[0:0.1:20],[0 0.01 0 6 0 0.01]);

plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5),′linewidth′,2); %畫運動軌跡

grid on；hold on；n=length(y);

for k=1:n

h=plot3(y(k,1),y(k,3),y(k,5),′.′);

set(h,′color′,[1 0 0],′markersize′,28); %定義帶電粒子的顏色與大小

M(k)=getframe; %獲取單幀

end

movie(M,1) %播放動畫

程序運行完畢，效果如圖1所示.

圖1 帶電粒子在電磁場中的運動軌跡

2.2 電偶極子電場和等勢線的分布圖繪制

在電磁理論中，電偶極子是指由間距遠比場點到它們的距離小得多的兩個等量異號電荷組成的系統， 其等位線和電場線的繪制就是課程中較難把握的內容[5].其模型是指電荷量為q、相距為l的一對正負點電荷所組成，O是兩個點電荷距離的中點，如圖2所示.在直角坐標系中，取偶極子中心作為坐標原點，遠處一點P的電勢等于兩點電荷電勢的疊加.

圖2 電偶極子P點電場

在二維直角坐標系中，設在(a,b)處有電荷+q，在(-a,b)處有電荷-q,那么在電荷所在平面上任何一點P(x,y)的電勢為[2]

其中

電場為

設電荷電量q=1，a=1，b=0.在Matlab編程如下：

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

[px,py]=gradient(z); %求電勢在x,y方向的梯度即電場強度

contour(x,y,z,[-12:0.5:12])；hold on；

quiver(x,y,px,py,′k′)

運行后可見電偶極子的等勢線及電場線在二維平面上的分布，如圖3所示.

圖3 電偶極子平面等勢線及電場線

通過將抽象的場函數仿真后，對場的分布就有了一個直觀的概念，對場的性質理解起來也就更加容易.電場線的疏密表示電場的弱強，某點處切線方向表示電場的方向，從而建立起電場線與電場強度之間的有效聯系.而且等勢線與電場線正交，順著電場線方向電勢降低，電場強度是電勢的負梯度等，這些從圖像中都可以得到直接驗證.

調整a的值，可以仿真電偶極子的電勢三維空間分布：

mesh(x,y,z)；%畫三維網格圖

效果如圖4所示.

圖4 電偶極子的電勢三維空間分布

2.3 求解電磁學中微積分問題

均勻帶電球面的電場中電勢的分布[5]，設球面的半徑為R、總電荷量為q.

圖5 均勻帶電球面的電場中電勢

整個球面在P點產生的電勢為

根據圖5，由余弦定理得

代入上面UP式得

上式的積分可用Matlab求解，程序如下：

%利用Matlab求解積分問題

clear; syms sigma theta epsilon vartheta

R r %定義符號變量

Up=int( int(fx, theta,′0′,′pi′),

vartheta,′0′,′2*pi′) %對函數求兩次積分

運行程序，得

當P點在球外，即r>R時，有

當P點在球內，即r

2.4 數值方法及實現電磁場數值計算融入教學

在20世紀50年代前，計算電磁場問題主要依靠解析法及經驗公式.然而用解析法求得的解析解并不能完全滿足實際應用中的要求，有些問題是難以求得解析解的.因而用數值法求解電磁場問題就越來越具有優越性.利用Matlab軟件可以給出符合需要的結果和相關圖像，為電磁場理論教學和工程實際起到積極作用.例如等量同號電荷的電場線的繪制.

由電場中任一點的電場方向都沿該點電場線的切線方向，所以滿足

引入參變量t得到

設二點電荷位于(-2,0)和(2,0)，二電荷電量為q1和q2(數值計算時q=10)，得微分方程

用Matlab數值計算解此方程就繪制出電場線(圖6).程序如下：

Clc；Clear；q1=10;q2=10;axis([-5 5 -5 5])；hold on；plot(2,0,′*r′);plot(-2,0,′*r′)

a=(pi/24):pi/12:(2*pi-pi/24);

b=0.1*cos(a);c=0.1*sin(a);

b1=-2+b;b2=2+b;b0=[b1 b2];

c0=[c,c];

for i=1:48

[t,y]=ode45(′ode45_fun3′,[0:0.05:40],[b0(i),c0(i)],[],q1,q2); %微分方程數值解

plot(y(:,1),y(:,2),′b′) %畫電場線

end

程序運行完畢，效果如圖6所示.

圖6 等量同號電荷的電場線

2.5 處理電磁學中的實驗數據

在霍爾效應測磁場的實驗中，為測某一磁場的磁感應強度，測得的實驗數據[6]如表1.

表1 霍爾效應測磁場實驗數據

Is/mA5.00 6.00 7.00 UH/mV12.897 515.480 018.067 5

clear;IS=1:7;UH=[2.592 5 5.157 5 7.742 5 10.330 0 12.897 5 15.480 0 18.067 5];

KH=13.380 0;UK=UH/KH;n=length(IS);

xjz=mean(IS);yjz=mean(UK);

Lxx=sum(IS.*IS)-1/n*sum(IS)*sum(IS);

Lyy=sum(UK.*UK)-1/n*sum(UK)*sum(UK);

Lxy=sum(IS.*UK)-1/n*sum(IS)*sum(UK);

b=Lxy/Lxx;a=yjz-b*xjz;ISS=0:8;UKK=

a+b*ISS;plot(IS,UK,′O′,ISS,UKK,′-r+′)；

xlabel(′I_S′);ylabel(′U_H/K_H′);legend(′實測值′,′擬合直線′);b,a

注：這里也可以用Matlab自帶函數polyfit直接擬合，命令為polyfit(IS,UK,1).

圖7 霍爾效應直線

運行結果：b =0.192 8，a =4.537 7×10-4，即擬合直線如圖7所示.方程為

磁感應強度為

B=0.192 8 T

3 結束語

利用Matlab進行電磁場計算及可視化教學,簡化了繁瑣的數學推導,將抽象的概念具體化.經課堂使用后發現該方法受到學生歡迎,并改善了教學效果.在此基礎上,進一步研究電磁場仿真實驗教學,鼓勵學生自己動手用Matlab解決電磁場問題,特別是應用偏微分方程工具箱在大學物理電磁學等各類物理場的數值仿真.

將Matlab融入到電磁場的教學中,介紹給學生用計算機計算和仿真來學習和解決電磁問題的方法,從而培養他們采用多種途徑、多個方法解決問題的能力，這正符合了以提高學生綜合素質為目的的教改需要.

參考文獻

1 謝處方，等.電磁場與電磁波.北京: 高等教育出版社,2002

2 彭芳麟.數學物理方程的MATLAB解法可視化.北京:清華大學出版社,2004

3 鐘季康，等.大學物理習題計算機解法——MATLAB編程應用.北京：機械工業出版社，2008

4 何紅雨.電磁場數值計算法與Matlab實現.武漢：華中理工大學出版社.2005

5 尹國盛，等.大學物理.北京:機械工業出版社,2010

6 王世芳，吳濤.Matlab在電磁學實驗教學中的應用.湖北第二師范學院學報，2008(2)