復合固體推進劑松弛模量的獲取方法

許進升，鞠玉濤，鄭 健，韓 波

（南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京210094）

引 言

松弛模量是研究固體推進劑力學性能的重要前提，一般通過材料的應力松弛實驗獲得，但在實驗數據的處理方面，傳統的方法忽視了松弛實驗的應變加載階段［1-2］，得到的初始松弛模量偏小，精確度較差。Zapas、Matti Malinen、Joonas Sorvari［3-7］等人針對該問題進行了深入的研究，利用數值方法改進了松弛模量的獲取方法，提高了其精確度。但此方法在數據處理方面需要計算應力的變化速率，對數據采集系統提出較高的要求，且數據處理比較繁瑣。

本研究從線黏彈性理論出發，將松弛模量以Prony級數形式表示，結合松弛實驗中測得的應力響應，擬合得到推進劑松弛模量中的材料參數。利用線性黏彈性理論計算啞鈴型試件松弛實驗和等速率拉伸實驗過程中的應力響應，用該方法獲取的松弛模量不僅精確度較高，且數據處理方便。

1 理論計算

本研究由線性黏彈性理論出發，其具體形式［8］：

式中：松弛模量E（t）以6 階的Prony 級數形式表示，如式（2）：

應力松弛實驗中理想的應變加載過程如圖1（a）所示，但拉伸實驗機不可能獲得理想的ε0階躍載荷。實際松弛實驗是將試件以等應變率拉伸或壓縮t1時間后，達到恒應變值，并保持該應變值ε0一段時間，實時記錄材料的應力響應，實際應變加載過程如圖1（b）所示。

圖1 松弛實驗的應變過程Fig.1 Strain history in the relaxation test

1.1 傳統方法

在獲取材料松弛模量的傳統方法中，忽略了應變的加載階段，而將應變達到ε0的時刻t1作為松弛實驗的初始時刻，則松弛模量可表示為：

式中：E（t）為t時刻對應的松弛模量，MPa；F（t）為t時刻傳感器測得的力，N；A0為材料試件的初始截面積，mm2；ε0為松弛應變水平。

該方法目前應用最為廣泛，但由于在應變加載過程中，應力已經發生了一定的松弛，因此通過該方法獲得的初始彈性模量比真實值要小。適用于松弛特性較弱的材料，但對于松弛特性較強的材料而言，會產生較大的誤差，因此需要經過一定的處理，考慮等應變率加載階段對應力松弛的影響。

1.2 Joonas方法

實際的應變加載過程可通過式（4）表述為：

將實際的應變加載過程代入線黏彈性本構方程中得到：

將（6）式對時間進行求導得：

Sorvari和Malinen在2006年提出用梯形法則來近似求解（6）式：

（7）式、（8）式聯合便可以得到：

或

式中：h為時間步長，該步長由松弛實驗的數據采集頻率確定。根據（10）式便可以通過t1時刻的應力值σ（t1）得到材料的初始松弛模量E（0）。式（11）中采用了數值近似計算的方式，為減小該近似造成的誤差，需要提高數據采集系統的測試頻率，減小時間步長h，對采集系統提出了較高的要求，且由于數據量大，對數據處理也帶來了不便。

1.3 基于Prony級數的數據擬合法

本研究提出一種基于Prony級數的數據擬合法。該方法從線黏彈性理論出發，松弛模量以6階Prony級數的形式表示。將實際的應變加載過程代入線黏彈性本構方程中得到：

當t＜t1時，

當t＞t1時，

松弛實驗中，可以方便地得到t＞t1時試件中的應力響應σ（t）、應變ε0和時刻t1，利用以上數據，可以直接擬合得到松弛模量中的參數E∞、Ei和τi，可見該方法在處理數據方面較方便。

2 實驗及數據處理

本研究針對HTPB 復合推進劑進行了應力松弛實驗和等速率拉伸破壞實驗，利用松弛實驗測得的應力響應等數據通過上述3種方法進行處理，分別擬合出松弛模量中的材料參數。利用所得的松弛模量分別計算出松弛實驗和等速率拉伸實驗應力響應的理論解，并與松弛實驗和等速率拉伸實驗測得的應力響應實驗值對比，以驗證3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

2.1 松弛及等速率拉伸實驗

采用QJ-211B型電子萬能實驗機，實驗中保持恒溫20℃，濕度70%。試件采用HTPB 復合固體推進劑板條形啞鈴試件，尺寸如圖2所示。

圖2 試件尺寸示意圖Fig.2 Schematic diagram of specimen size

松弛實驗中應變加載過程為：加載速度為100mm／min，實際加載應變率為0.009 7s-1，加載時間t1=4.74s，應變水平為ε0=4.59%，松弛時間為1 800s，重復5次，實驗數據取平均值。圖3（a）為松弛實驗獲得的σ-t曲線。

為便于得到實驗的理論解，可進行等速率拉伸破壞試驗，拉伸速率為100mm／min，實際應變率為0.009 5s-1，重復5次，應力應變響應取平均值。圖3（b）為等速率拉伸實驗獲得的σ-t曲線。

2.2 松弛模量的計算

數據處理過程中，傳統方法和Joonas方法首先需要得到材料不同時刻的松弛模量，然后再將松弛模量擬合為6階的Prony級數形式。而本研究提出的方法中，可直接根據式（13）擬合出松弛模量。3種方法得到的松弛模量如表1所示。

圖3 實驗獲得的σ-t曲線Fig.3 σ-t curves obtained by experiments

表1 Prony級數參數值Table 1 Values of Prony series coefficients

圖4為3種擬合手段得到的松弛模量的對比，傳統方法得到的初始松弛模量E0=11.745 28MPa，Joonas 方法擬合得到的初始松弛模量E0=33.126 19MPa，基于Prony級數的數據擬合法得到的初始松弛模量E0=29.434 67MPa。從圖4中可以看到，三者的主要差別發生在前2s內，而隨著時間的推移，三者之間逐漸趨于一致。且在前2s內，松弛模量的變化也最劇烈，說明該型固體推進劑的松弛現象較強，而在松弛實驗中應變加載時間達到4.74s，因此不能忽視此階段的應力松弛，這也是傳統方法中初始松弛模量較其他兩種小很多的原因。

圖4 3種方法擬合得到的松弛模量曲線Fig.4 Relaxation modulus curves obtained by the three ways

2.3 松弛模量的驗證

利用上述3種方法擬合得到的松弛模量，計算應力松弛實驗和等速率拉伸實驗的應力響應理論解，通過與松弛實驗和等速率拉伸實驗的實驗結果對比，以驗證這3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

將所求的松弛模量分別帶入（13）式，計算松弛實驗中t1時刻以后的應力響應，并與實驗結果進行對比，結果如圖5所示。可以看到，實驗數據比較符合Joonas方法和基于Prony級數的數據擬合法計算得到的曲線分布，且t1時刻的實驗值與基于Prony級數的數據擬合法更漸近，而傳統方法得到的曲線相對偏小。

圖5 t1時刻后松弛應力實驗結果與理論值的對比Fig.5 Comparison of the calculated values and experimental ones for relaxation after t1time

為進一步驗證松弛模量的準確性，對材料在同等條件下進行了100mm／min拉伸破壞實驗。圖6為拉伸實驗的應力—應變曲線實驗值與理論值的對比。由圖6可以看到，通過傳統方法獲得的理論值與實驗值存在較大的差距，精確度較差；在材料的線性階段，Joonas方法與基于Prony級數的數據擬合法與實驗結果重合得較好，但由于材料在大變形下表現出明顯的非線性特性，當應變值大于15%以后，理論值與實驗結果發生了較大的偏差。因此可認為當該推進劑材料的應變小于15%時，線黏彈性理論仍有較好的適用性，當應變超出該范圍時，應采用非線性黏彈性理論來描述材料的力學性能。實驗結果表明，在計算黏彈性材料的松弛模量中，Joonas方法和基于Prony 級數的數據擬合法是很好的選擇。

圖6 等速率拉伸σ-ε實驗結果與模擬結果對比Fig.6 Comparison of the experimental values by extension test at the constant rate and the calculated ones

3 結 論

（1）傳統方法由于忽視了應變加載階段的應力松弛，獲得的松弛模量值在6s之前偏小，而6s之后與另外兩種基本重合，適用于松弛特性較弱的材料。

（2）采用Joonas方法和基于Prony級數的數據擬合法均可得到較高精度的松弛模量。且對于第二種方法數據處理更方便，是計算黏彈性材料松弛模量較好的選擇。

（3）用3種方法獲得松弛模量的主要誤差出現在前2s內，隨時間的推移，三者逐漸趨于重合，且在前2s內松弛模量變化最劇烈，說明該推進劑的松弛現象較明顯。

（4）對于HTPB 復合固體推進劑，當應變值小于15%，可采用簡單的線黏彈性理論描述其力學性能；當應變值大于15%，需要采用較復雜的非線性黏彈性本構模型。

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