具有連續相位調制特性的甚小線性調頻鍵控信號分析

姜俊超， 鄭國莘， 邱志易， 劉雅君

(上海大學通信與信息工程學院，上海200072)

通信系統的性能在很大程度上由調制方式所決定.為了在帶寬上獲得較高的傳輸速率，調制需滿足較高的頻譜利用率及較小的旁瓣等特性.超窄帶調制方式一經提出就以其高效的頻譜利用率而廣受關注.與傳統的調制方式如頻移鍵控(frequency shift keying，FSK)、幅移鍵控(amplitude shift keying，ASK)等相比，超窄帶(ultra narrow band，UNB)通信體制能夠在相同數據傳輸速率下，只占用前者幾分之一的帶寬［1］，因而，能夠有效地提高通信體制的頻帶利用率.

至今，超窄帶體制已經提出了一系列調制方式，包括 Walker［2］提出的甚小線性調頻鍵控(very minimum shift keying，VMSK)調制方式和吳樂南［3-4］提出的甚小波形差鍵控(very-minimum waveform difference keying，VWDK)調制方式等.本研究提出的甚小線性調頻鍵控(very minimum chirp keying，VMCK)調制方式［5-6］，是在一個比特周期內采用升頻或降頻的線性調制來構成二元信號，具有更窄的帶寬和旁瓣衰減程度，從而愈加受到關注.

目前，許多針對VMCK調制方式的相關研究，包括波形調制時去除VMCK信號的直流分量［6］、通過波形優化的方式去除其旁瓣頻譜處的離散諧波分量［7］、采用多進制的二次甚小線性調頻鍵控(quadrate very minimun chirp keying，QVMCK)調制方式［8］、VMCK信號的正交性、VMCK在無線信道傳輸中的誤碼率分析［9］等，均采用了發送隨機二進制數字序列的方法來分析VMCK頻譜.

1 VMCK調制的連續相位特性

VMCK信號在單周期t∈［0，T］時間內的波形表達式為

式中，In表示輸入的二進制序列“1”或“0”，取值為+1或-1，0＜α≤1，0＜t≤1/fs.由于VMCK調制是一種連續相位調制，故可以從連續相位調制(continuous phase modulation，CPM)的一般表達式中通過確定相應參數來推導出VMCK信號.

CPM作為一種典型的恒包絡連續相位調制方式，能夠實現較窄的頻譜主瓣和較低的諧波分量譜，從而提高了信號的頻譜利用率［10］.根據調制系數h和積分脈沖g(t)的不同，CPM調制技術至今已包含多種分類，如最小頻移鍵控(minimum shift keying，MSK)、正弦頻移鍵控(sine frequency shift keying，SFSK)、連續相位頻移鍵控(continuous phase frequency shift keying，CPFSK)等.通常，CPM信號的一般波形表達式為

式中，ε為信號碼元能量，T為碼元間隔寬度，fs為載頻，φ0為載波的初始相位，φ(t;I)表示調制信息的時變相位函數.在式(2)中確定特定參數，就可以推導出VMCK的表達式，首先分析式(2)所示CPM信號的時變相位函數：

不同于常規的積分脈沖，VMCK調制中創新性地選用一種隨時間t呈線性變化的g(t)為積分脈沖，如圖1(b)所示，其表達式為

圖1 積分脈沖g(t)的時域波形Fig.1 Time-domain waveforms of integral pulse g(t)

在t∈［0，T］情況下，將式(6)代入式(4)，可以得到VMCK的時變相位函數的表達式為由式(7)易知：當t=0時，φ(t;I)=θn;當t=T時，φ(t;I)=θn.因而不論In取值如何變化，在一個碼元周期內，相位函數φ(t;I)始終保持連續變化，并且在整個碼元周期內的改變值為0，可見VMCK符合連續相位調制特性.

在確定了VMCK時變相位函數φ(t;I)的表達式之后，將其代入式(2)，并設定波形幅度A=1，初始相位φ0=-π/2，且fs=1/T，則可得

最后，需要確定調制系數h.由式(1)可知，對于VMCK信號而言，其可達到的最大角頻率偏移Ωmax=2π·2αfs，則按照定義可得

至此，我們已確定了由式(2)所示的CPM一般表達式推導至VMCK過程中所需確定的所有參數，將h=2α代入式(8)，可得

可以看到，當In取+1或者-1時，式(10)的結果與式(1)所示的VMCK表達式一致.這表明VMCK信號可作為一種連續相位調制.

2 VMCK調制的發射機結構

對于VMCK信號的調制，通常根據所發送的二進制序列“1”或“0”，分別進行調制后相加以實現其發射機結構，如圖2所示.

圖2 VMCK發射機結構Fig.2 Transmitter structure of VMCK

而基于連續相位的觀點，可對VMCK時域表達式作進一步分析：

另外，由于cos(Inx)=cos x，sin(Inx)=Insin x，上式可進一步化簡為

根據式(11)的結果，也可以通過如下步驟來實現二進制VMCK信號的調制［12］：

步驟2 將第一路和第二路數據分別對正交的載波cos(2πfst)與sin(2πfst)進行雙邊帶調幅，如圖3所示.

圖3 VMCK的調制波形Fig.3 Modulation waveform of VMCK

步驟3 將步驟2中所得的兩路正交的雙邊帶信號疊加后形成VMCK信號.

根據上述的步驟，可以得到一種新型的VMCK調制的發射機結構，如圖4所示.

圖4 新型的VMCK發射機結構Fig.4 New transmitter structure of VMCK

這種新型的發射機結構只需要由直接數字頻率合成(direct digital frequency synthesis，DDS)模塊結合D/A模塊即可完成調制，而無需對“1”，“0”信號進行分別調制，簡化了發射機結構.

3 二進制VMCK信號功率譜分析

為了方便對二進制sVMCK(t)信號進行功率譜分析，我們定義v(t)為信號sVMCK(t)的等效低通信號，其表達式為

那么易知

則s(t)和v(t)二者功率譜密度之間的關系為

因而，要得出信號sVMCK(t)的功率譜密度，只需確定其等效低通信號v(t)的自相關函數和功率譜密度即可.由于發送序列{In}為二進制序列，并且其中的每一個符號都是統計獨立和同分布的，而積分脈沖g(t)=q'(t)在［0，T］之外的值為0，所以求得v(t)的自相關函數為

對式(16)作傅里葉變換，得到其對應的功率譜密度表達式為

將其表示為G2(τ)，則可定義

由于調制系數h=2α，進制值M=2，定義常數

則最終Φvv(f)可化簡為如下表達式：

圖5是根據式(22)在不同調制系數h=2α情況下的VMCK信號歸一化功率譜圖，并與MSK信號作對比.

圖5 不同調制系數α情況下等效低通VMCK歸一化功率譜密度Fig.5 Equivalent low-pass normalized power spectral densityofVMCK in differentmodulation factor α

圖5分別給出了調制系數α=0.9，0.7，0.3和0.1時，二進制等效低通VMCK信號的功率譜密度，其中橫坐標為歸一化頻譜fT，即橫坐標零點處所對應的載頻f=fs.可以看到，VMCK的頻譜能量主要集中于載頻fs周邊的一個很窄的帶寬之內，并且隨著調制系數α的降低，其信號旁瓣的功率譜也呈下降態勢，這種頻譜特性也表明了VMCK調制具有相當窄的傳輸帶寬，因而調制信號的頻帶利用率也進一步得到提高.

4 VMCK與MSK信號功率譜比較

對于MSK信號而言，其代表“1”和“0”的2個波形信號具有如下相關系數：

而對于VMCK調制而言，當調制系數α=0.7時［5］，其二進制信號的互相關系數同樣也為ρ=0，這也就表明了在α=0.7的情況下，VMCK信號也是一種正交調制.因而在調制信號正交的情況下，MSK和VMCK在解調時的誤碼率Pe與信噪比Eb/n0的關系均為

這就意味著MSK和VMCK(α=0.7時)在相同信噪比情況下有著相同的解調誤碼率.為了進一步比較這2種正交調制方式下的信號功率譜密度，我們設定二者的數據傳碼率相同，通過快速傅里葉變換計算二者的功率譜，并對其進行幅度歸一化，如圖6所示.可以直觀地看出，VMCK(正交調制α=0.7時)的頻譜能量主要集中在一個類似于沖擊函數的單譜線內(即載頻fs處)，其余頻譜分量處明顯低于載頻，并且其旁瓣功率下降較快;而MSK信號的頻譜能量在主瓣處較為集中，但相比VMCK的線頻，MSK在主瓣處明顯占用了更多的帶寬，并且其旁瓣功率的衰減速度也不如VMCK來得迅速.

圖6 二進制VMCK與MSK功率譜對比Fig.6 Compared power spectrum of binary VMCK with the MSK

為定量分析MSK和VMCK信號，圖7給出了二者在VMCK調制系數α從0.2～0.8之間變化的5種情況的百分比功率帶寬對比.

從圖7可以看出，MSK信號的功率譜主要集中在0.6fs頻帶范圍之內，越靠近載頻處，MSK功率譜密度越大，而隨著頻率逐漸遠離載頻處，其功率譜密度下降較為平和.而VMCK在載頻f=fs周邊一個極窄的帶寬內所占有的功率譜能量占整個頻域能量很大的比重，并且隨著頻率逐漸遠離載頻處，其功率譜密度瞬間急劇下降，這就意味著VMCK的大量頻譜能量集中在載頻周圍的一個極窄的頻帶范圍內，因而具有明顯的超窄帶調制特性.

圖7 VMCK和MSK百分比功率帶寬比較Fig.7 Compared power percentage bandwidth of VMCK with the MSK

由圖7還可以看到，伴隨著VMCK信號調制系數α的減小，其在相同百分比功率譜情況下所占用的帶寬也變窄，主要是因為隨著α減小，其旁瓣功率衰減將越為迅速.如當α=0.3時，整個VMCK信號90%的功率譜密度幾乎都集中在載頻處，這也就意味著VMCK信號在頻域上90%的能量都集中在靠近載頻的極窄的帶寬內，而MSK的90%的功率譜帶寬約為0.4fs，這就體現出了VMCK信號在頻帶利用率上的優勢.但是，當α選取較小數值時，二元信號的互相關系數將大于0，致使系統的抗噪性能下降.

考慮到VMCK解調端選用相干解調，因此，仍選用VMCK正交調制時α=0.7的情況［5］與MSK進行定量對比.此時，VMCK調制和MSK調制在相同的信噪比情況下具有相同的誤碼率.從圖6中可以看出，在采用低于75%的功率譜百分比情況下，VMCK信號(正交時α=0.7)的帶寬明顯小于MSK信號，體現出了其作為超窄帶通信調制方式的窄帶特性.而當選用較大的功率百分比時，MSK信號帶寬則小于VMCK信號.

5 結束語

本研究對CPM一般公式中的積分脈沖g(t)與調制系數h進行選定，把傳統CPM中的積分脈沖由矩形脈沖或升余弦脈沖改變成隨時間t呈線性變化的形式，推導出了具有相位連續特性的VMCK超窄帶調制表達式.通過對VMCK信號的表達式的分析，給出了一種新型的調制步驟和發射機結構，其具有調制信號在單一路徑的特點，有利于簡化結構.此外，通過自相關函數傅里葉變換得到VMCK的功率譜密度解析表達式具有一般性.據此，對VMCK等效低通信號的功率譜密度與MSK調制方式對比，發現當功率百分比小于75%時，VMCK具有較高的頻帶利用率，可以適用于某些“見縫插針”的通信場合.

［1］ WALKERH R.Ultra narrow band modulation textbook［EB/OL］.［2009-12-09］.http：∥www.vmsk.org/ Textbook.pdf.

［2］ WALKERH R.VPSK and VMSK modulation transmit digital audio and video at 15 bits/sec/Hz［J］.IEEE Transactions on Broadcasting，1997，43(1)：96-103.

［3］ SAYHOODK H，WUL N.Raise bandwidth efficiency with sine-wave modulation VMSK［J］.Microwaves and RF Mag，2001，40(4)：79-84.

［4］ 吳樂南.超窄帶高速通信進展［J］.自然科學進展，2007，17(11)：1467-1473.

［5］ ZHENGG X，FENGJ Z，JIAM H.Very minimum chirp keying as a novel ultra narrow band communication scheme［C］∥ICICS.2007：238-241.

［6］ ZHENGG X，YANGW Y，HEH，et al.Non DC offset very minimum chirp keying modulation as a novel ultra narrow band communication scheme［C］∥ CCWMSN07 Proceeding.2007：755-758.

［7］ 賈東立，鄭國莘，張立，等.甚小線性調頻鍵控調制波形的正弦基擬合優化［J］.上海大學學報：自然科學版，2010，16(4)：331-335.

［8］ JIW L，ZHENGG X，BAOM Q.Ultra-narrowband wireless communication technology based on QVMCK modulation［C］∥Proceeding of 2008 China-Japan Joint Microwave.2008：185-187.

［9］ BAOM Q，ZHENGG X，JIW L.BER performance analysisofultra-narrowband wireless communication technology based on VMCK modulation［C］∥Proceeding of China-Japan Joint Microwave.2008：193-196.

［10］ 馮思泉.連續相位調制(CPM)技術研究［D］.昆明：昆明理工大學，2007.

［11］ 孫明，林君，陳祖斌，等.基于DDS技術的chirp信號產生系統［J］.佛山科學技術學院學報：自然科學版，2004(4)：22-24.

［12］ 孫錦華，李建東，金力軍.連續相位信號的調制及解調方法：中國，CN1710898［P］.2005-12-21.