高斯迷向凸體

王 雷， 何斌吾

(上海大學理學院，上海200444)

若在n維歐氏空間Rn中，體積(Lebesgue測度)為1、質心在原點的凸體K，對任意轉軸都有相同的慣量矩，即對任意的單位向量θ，存在常數LK＞0，使得

成立，則稱凸體K處于迷向位置，常數LK稱為凸體K在Lebesgue意義下的迷向常數［1］.近年來，許多學者對迷向凸體做了大量的研究工作［2-9］.一個很自然的問題是：若把式(1)左端積分換為高斯測度，情況又會怎么樣呢?基于此，本工作給出高斯測度下迷向凸體的定義，并討論其迷向條件的等價性以及球體和方體的迷向常數隨維數變化的規律.

Rn中凸體K的標準高斯測度定義為

定義1 設K是Rn中的一個體積(Lebesgue測度)為1、質心在原點的凸體，令

如果K1滿足

則稱凸體K1為高斯迷向體.再令

常數GK稱為凸體K的高斯迷向常數.

本工作首先利用正定算子具有正方根的事實，證明高斯迷向體的存在性和正交不變性;其次，利用與Lebesgue等價性類似的方法證明高斯迷向體迷向條件的等價性;最后，計算超球體和超立方體的高斯迷向常數，并揭示高斯迷向常數與Lebesgue迷向常數不一樣的性質.

1 高斯迷向體的存在性與正交不變性

定理1 設K是Rn中的一個體積(Lebesgue測度)為1、質心在原點的凸體，則存在T∈SL(n)，使得T(K)是高斯迷向的，并且這種高斯迷向體在正交變換下是不變的，即若K1是K的高斯迷向體，則K2是K1經正交變換T∈O(n)所得凸體，K2也是K的高斯迷向體.

式(2)中的上確界是對T∈SL(n)取的，又因SL(n)是保體積變換的集合，它在矩陣范數下為一個緊集，從而此積分的上確界是可以達到的，因此，存在T0，滿足

下面證明高斯迷向體的正交不變性.設K1是K的高斯迷向體，K2是K1經正交變換所得的凸體，即K2=TK1，T∈O(n)，可推理如下：

又因T為正交變換，所以，TTT=I(單位矩陣)，因此，正交變換條件下高斯迷向凸體具有正交不變性.定理得證.

2 高斯迷向條件的等價性

傳統意義的Lebesgue迷向條件具有等價性.定義高斯迷向凸體后，一個很顯然的問題是：高斯迷向條件是否存在類似Lebesgue迷向條件的等價性?依據上述猜測，下面給出高斯迷向條件的等價性證明.

定理2 Rn中體積(Lebesgue測度)為1、質心在原點的高斯迷向凸體K滿足下列條件，對于任意θ∈Sn-1，有

高斯迷向凸體K滿足的條件式(3)等價于如下3個等式：

(i)對任意y∈Rn，有

(ii)對任意i，j=1，2，…，n，有

式中，x1，x2，…，xn是x對應于某組標準正交基的坐標，δij是Kronecker符號;

(iii)對任意T∈L(Rn)，有

式中，trT是線性變換T的跡.

證明 首先論證(i)和式(3)的等價性.對任意y∈Rn，y≠0，令y=|y|θy，顯然有

因為|y|2≠0，所以，∫K〈x，θy〉2dγn(x)=考慮到y是任意的，必要性(i)得證.充分性的證明相對簡單，故略去.

其次，論證(i)和(ii)的等價性.不妨先證明高斯迷向凸體所滿足式(3)和(ii)等價.

設e1，e2，…，en為Rn中的一組標準正交基，δij是Kronecker符號.取θ=ei(i=1，2，…，n)，則

對任意i，j=1，2，…，n，i≠j，λμ≠0，且λ2+μ2=1，取θ=λei+μej，代入上式得

結合(i)，則有∫Kxixjdγn(x)=0，i≠j，i，j=1，2，…，n.比較等式兩邊，充分性得證.

對任意的θ∈Sn-1，令θ=λ1e1+…+λnen++…+=1，則有

必要性得證.

證得式(3)和(ii)等價，依據等價條件具有傳遞性，證得(i)和(ii)具有等價性.

最后，論證(ii)和(iii)的等價性.

設T∈L(Rn)，其對應標準正交基e1，e2，…，en的矩陣為 T=(tij)n×n，從而 Tx的矩陣為 T(x1，x2，…，xn)T，因此，

由式(2)可得

充分性得證.

同樣，對于T∈L(Rn)，存在等式

取Ti∈L(Rn)，使Ti在基e1，e2，…，en的矩陣為Eii，其中Eij表示i行j列上的元素為1、其余的元素為0的n階方陣.

易知，Tix=xiei，trTi=1，i=1，2，…，n，

取Tij∈L(Rn)，使Tij在基e1，e2，…，en的矩陣為Eij+ Eji，i≠j(i，j=1，2，…，n)，其中Eij的表示同上.

對于 x=x1e1+… +xnen，有 Tijx=xiej+xjei，trTij=0，i≠j，

因此，∫Kxixjdγn(x)=0，必要性得證.

綜上，定理2得證.

3 兩類凸體的高斯迷向常數

根據高斯迷向凸體的迷向常數的定義，對n維空間中的球體和方體的高斯迷向常數進行計算.先計算球體的高斯迷向常數，

考慮到|rn|=1，而且

式中

下面對單位體積的球體和方體的高斯迷向常數進行數值比較：

通過數值分析發現，在n≥25時，單位球體的迷向常數大于單位方體的迷向常數，這與Lebesgue測度下的情況恰恰相反.

［1］ MILMANV D，PAJORA.Isotropic position and inertia ellipsoilds and zonoids of the unit ball of a nomed ndimensionalspace［C］∥ Geometric Aspects of Functional Analysis(1987—1988)，Lecture Notes in Math 1376.Berlin：Springer，1989：64-104.

［2］ LUTWAKE，YANGD，ZHANGG Y.A new ellipsoid associated with convex bodies［J］.Duke Math J，2000，104(3)：375-390.

［3］ GIANNOPOULOSA.Notes on isotropic convex bodies［D］. Warsaw： Institute ofMathematics， Polish Academy of Sciences，2003：10-15.

［4］ SCHMUCKENSCHLAGERM.Volume of intersection and sections of the unit ball of［J］.Proc Amer Math Soc，1998，126：1527-1530.

［5］ GAOP.A note on the volume of section of［J］.Math Anal Appl，2007，326：632-640.

［6］ ALZERH.Inequalities for the volume of the unit ball in Rn［J］.Math Anal Appl，2000，136：353-363.

［7］ 何斌吾，冷崗松.迷向體與Bourgain問題［J］.中國科學：A輯，2005，35：450-462.

［8］ 吳力榮，何斌吾.幾類特殊幾何體的迷向常數［J］.上海大學學報：自然科學版，2007，13(1)：41-46.

［9］ 陳巧云，何斌吾.凸體迷向條件的等價性［J］.上海大學學報：自然科學版，2006，12(5)：481-483.