二維Poisson方程的Legendre Tau方法的誤差估計

沈婷婷， 馬和平

(上海大學理學院，上海200444)

譜方法作為數值求解偏微分方程的有效工具之一，近年來得到了廣泛的應用.根據選取檢驗函數的不同，譜方法可分為Galerkin方法、tau方法和配置法.關于Galerkin方法和配置法的一些理論分析和數值計算結果可參見文獻［1-3］.本研究主要討論tau方法在二維問題中的收斂性態.

文獻［12］雖然給出了Legendre tau方法求解一維二階微分方程的L2模的最優誤差估計，但對于高維情況下的收斂結果卻沒有具體討論.由于tau方法在高維情況下僅有次優的誤差估計，因此，本研究對于高維情況下 tau方法的收斂性態更感興趣.

本研究考慮二維Poisson方程的Dirichlet問題，即

本研究主要目的是證明Legendre tau方法對于求解二維Poisson方程Dirichlet問題具有H1模和L2模的最優誤差估計.文獻［12］取類似(1-x2)-1uN作為檢驗函數，其中uN∈(I)，I=(-1，1).本研究將該方法應用到二維的情形.

1 基本引理

對任意的u∈H2(Ω)，v∈L2(Ω)，定義雙線性形式為

引理1 對任意的u∈H2(Ω)，v∈H1(Ω)，存在常數C，使得

證明 由文獻［2］中的結論，得到

另一方面，有

因此，

如果考慮對u，v∈H1(Ω)定義a(u，v)(弱形式)，則同樣可以得到以上結果.

下面引入2個正交投影算子.

引理2［1］如果 u∈Hr(Ω)，且0≤l≤2≤r，則有

引理3［1］如果u∈Hr(Ω)∩H10(Ω)，且0≤l≤1≤r，則有

2 收斂性分析

由式(1)和(2)，可以得到如下誤差方程：

假設ω-1，-1U∈H2，設u*=ω1，1PN-22(ω-1，-1U)，e=uN-u*，有∶=ω-1，-1e∈N-2，因此，

并且，

因此，由式(4)，得

根據引理2，可得

另一方面，

由三角不等式和Poincaré不等式，可以得到以下定理.

式中，C為依賴于‖ω-1，-1U‖r的正常數.

下面利用對偶技巧來估計‖U-uN‖.

式中，C為依賴于‖ω-1，-1U‖r的正常數.

證明 考慮如下問題：對于g∈L2(Ω)，令φ= φ(g)，滿足

根據文獻［1］，可知式(5)有唯一解，并且φ滿足

因此，

由定理1和定理2可知，條件ω-1，-1U∈Hr(Ω)稍嚴格，這里可以更仔細地考慮權的影響.如果采用適當的投影算子，例如考慮廣義Jacobi投影算子，那么精確解可以屬于較弱的帶權Sobolev空間.

3 數值算例

例1 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

其精確解為

分別使用Legendre tau(LT)方法和Legendre Galerkin (LG)方法計算，得到的L2模誤差如表1所示.

表1 例1的L2模誤差Table 1 L2errors for Example 1

例2 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

其精確解為

分別采用LT方法和LG方法計算，得到的L2模誤差如表2所示.

由例2可以看出，因為解U∈H3.5-?(Ω)(?＞0)，所以其數值結果表明它能達到L2模下最優收斂階，并且tau方法具有與Galerkin方法相似的收斂性態.

例3 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

式中，

其精確解為

分別用LT方法和LG方法計算，得到的L2模誤差如表3所示.

表2 例2的L2模誤差Table 2 L2errors for Example 2

表3 例3的L2模誤差Table 3 L2errors for Example 3

由例3可以看出，如果解在邊界上有奇性，則LT方法的精度就不如LG方法.

例4 考慮如下二維 Poisson方程的齊次Dirichlet邊值問題：

式中，

其精確解為分別用LT方法和LG方法進行計算，得到的L2模誤差如表4所示.

表4 例4的L2模誤差Table 4 L2errors for Example 4

通過上述算例，對于ω-1，-1U∈Hr(Ω)這個條件，當更仔細地考慮權的影響時，就可以看出LT方法與LG方法的區別，即如果解充分光滑或者解在區域內有奇性，則LT方法和LG方法幾乎具有相同的精度;如果解在邊界上有奇性，則LT方法的精度就不及LG方法.

［1］ BERNARDIC，MADAYY.Spectral methods，handbook of numerical analysis［M］.Amsterdam：Elsevier，1997：209-486.

［2］ CANUTOC，HUSSAINIM Y，QUARTESONIA，et al.Spectral Methods：fundamentals in single domains［M］.Berlin：Springer-Verlag，2006.

［3］ SHENJ，TANGT.Spectral and high-order methods with applications［M］.Beijing：Science Press，2006.

［4］ ALIABADIM H，ORTIZE L.Numerical treatment of moving and free boundary value problems with the tau method［J］.Comput Math Appl，1998，35(8)：53-61.

［5］ HOSSEINIS M，SHAHMORADS.Tau numerical solution of fredholm integro-differential equations with arbitrary polynomial bases［J］.Appl Math Model，2003，27：145-154.

［6］ SHENJ.A spectral-tau approximation for the Stokes and Navier-Stokes equations［J］.Math Model Num Anal，1988，22(4)：677-693.

［7］ TANGJ G，MAH P.Single and multi-interval Legendre tau-methods in time for parabolic equations［J］.Adv Comput Math，2002，17：349-367.

［8］ SHENJ.Efficient spectral-Galerkin method—(Ⅰ)direct solvers of second-and fourth-orderequationsusing Legendre polynomials［J］.SIAM J Sci Comput，1994，15(6)：1489-1505.

［9］ SHENJ.Efficient spectral-Galerkin method—(Ⅱ)direct solvers of second-and fourth-orderequationsusing Chebyshev polynomials［J］.SIAM J Sci Comput，1995，16(1)：74-87.

［10］ JUNS，KANGS，KWONY.A direct solver for the Legendre tau approximation forthe two-dimensional Poisson problem［J］.J Appl Math Comput，2007，23：25-42.

［11］ SACCHILANDRIANIG.Spectral tau approximation of the two-dimensional Stokes problem［J］.Numer Math，1988，52：683-699.

［12］ SHENT T，ZHANGZ Q，MAH P.Optimal error estimates of the Legendre Tau method for second-order differential equations［J］.J Sci Comput，2010，42(2)：198-215.