乘積因子群為超可解群的充分條件

錢 偉， 郭秀云

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

自著名群論專家Burnside證明了任意單群不含長度為素?cái)?shù)的正方冪的共軛類之后，人們就對(duì)利用共軛類長來研究有限群的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了極其濃厚的興趣.Chillag等［1］證明了如果群G的每一個(gè)共軛類長無平方因子，則G必為超可解群.沿用這一思想，任永才［2-4］進(jìn)一步研究了其共軛類長無平方因子的群的結(jié)構(gòu)以及其共軛類長無立方因子的群的結(jié)構(gòu).劉曉雷［5］利用因子群中元素的共軛類長來研究乘積因子群的結(jié)構(gòu)，給出了乘積因子群為超可解群的一些充分條件.本研究將繼續(xù)這一思想，通過減弱乘積因子群中因子群的初始條件，給出群為超可解群的一些新的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

本研究所考慮的群均為有限群.為后面引用方便，本節(jié)先給出一些基本概念與基本引理.如果x是群G的元素，則xG表示x所在的共軛類，從而|xG|表示x所在的共軛類長.

定義1 如果群G的子群A與G的每個(gè)Sylow子群可交換，則稱A為G的S-擬正規(guī)子群.

引理1［1］設(shè)N為群G的正規(guī)子群，x為G的一個(gè)元素，則|xN|||xG|，且|(xN)G/N|||xG|.

推論1 設(shè)N為群G的次正規(guī)子群，x∈G，則|xN|||xG|.

證明 因?yàn)镹為群G的次正規(guī)子群，所以存在如下從N到G的次正規(guī)子群列：

由引理1可知，|xNi|||xNi+1|，i=0，1，…，s-1，所以|xN|||xG|.

引理2［1］設(shè)G是非Able群，如果對(duì)于G的每個(gè)共軛類C，其|C|無平方因子，則G為超可解群.

引理3［6］如果子群H為群G的S-擬正規(guī)子群，則H/HG是冪零的.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A為G的正規(guī)子群，且對(duì)于A∪B中的每一個(gè)元x，|xG|是無平方因子的，則G為超可解群.

證明 假設(shè)定理不成立，且設(shè)G為一個(gè)極小階反例，那么我們通過以下論述來完成定理的證明.

(1)定理的假設(shè)條件是商群遺傳的.

實(shí)際上，設(shè)L為G的一個(gè)正規(guī)子群，我們考慮商群G/L.顯然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的正規(guī)子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，則存在y∈A∪B，使xL=yL.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由引理1知，|(xL)G/L|無平方因子.從而G/L滿足定理的假設(shè)條件.

(2)G有唯一的極小正規(guī)子群 N，使得 N= F(G)，其中N是階為pn的初等交換p-群，且n≥2.

如果G有2個(gè)極小正規(guī)子群，設(shè)為N，N1.因?yàn)镚為極小階反例，則由結(jié)論(1)可知，G/N和G/N1都為超可解群.因?yàn)镚/N∩N1同構(gòu)于G/N與G/N1直積的子群，G同構(gòu)于G/N∩N1，可知G為超可解群，矛盾.因此，G有唯一的極小正規(guī)子群N.如果A=1，則G=B.由引理2知，G為超可解群.所以，可以假設(shè)A≠1.由于A為G的正規(guī)子群，且對(duì)任意x∈A，有|xA|||xG|，從而|xA|無平方因子.再由引理2可知，A是超可解群.由N的唯一極小性，保證N≤A.因此，N為pn階的初等交換p-群.如果Φ(G)≠1，則由結(jié)論(1)可知，G/Φ(G)是超可解群，從而G為超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一極小正規(guī)子群可知，N=F(G).如果n=1，則N為循環(huán)群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此n≥2.

(3)設(shè)T/N是G/N的極小正規(guī)子群，則存在T中的q階元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.進(jìn)一步可得，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群可知，存在G/N的正規(guī)q階子群T/N.如果q=p，則T為G的正規(guī)p-子群，所以，T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由 Schur-Zassenhaus定理，存在T的q階元x，使得T=N〈x〉.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，則由N為初等交換p-群，可以得到u∈Z(T)，于是，就有1≠Z(T)正規(guī)于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉，則T冪零.T≤F(G)=N，矛盾.所以，N∩CT(x)=1.

(4)N=A.

N的唯一性隱含著N≤A.如果N＜A，則A/N是G/N的不為1的正規(guī)子群.由G/N是超可解群可知，在A/N中存在一個(gè)G/N的正規(guī)子群T/N，且|T/ N|=q.由結(jié)論(3)可知，存在T中q-階元x，使|xT|= |T∶CT(x)|=|NCT(x)∶CT(x)|=|N|=pn(n≥2).由引理1得，|xT|||xG|，這與|xG|無平方因子矛盾.故N=A.

(5)極小階反例不存在.

設(shè)T/N是G/N的極小正規(guī)子群.由結(jié)論(3)可知，存在T的q-階元x，使得T=N〈x〉成立，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使得x=ab成立.由于 CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)=1，故|bA|=|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1知，|bA|||bG|.這與|bG|無平方因子矛盾.因此，定理成立.

定理2 A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A是G的S-擬正規(guī)子群，且對(duì)于A∪B中的每一個(gè)元x，|xG|是無平方因子的，則G是超可解群.

證明 假設(shè)定理不成立，且設(shè)G為一個(gè)極小階反例，那么我們通過以下論述來完成定理的證明.

(1)定理的假設(shè)條件是商群遺傳的.

實(shí)際上，設(shè)L為G的一個(gè)正規(guī)子群，我們考慮商群G/L.顯然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的S-擬正規(guī)子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，則存在y∈A∪B，使得xL=yL成立.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由推論1知，|(xL)G/L|無平方因子.從而G/L滿足定理的假設(shè)條件.

(2)設(shè)p是整除|A|的最大素因子，則G有一個(gè)極小正規(guī)子群N，使得|N|=pn.

事實(shí)上，如果A=1，則G=B.由引理2知，G為超可解群.所以，可以假設(shè)A≠1.又由A是G的S-擬正規(guī)子群可知，A是G的次正規(guī)子群.根據(jù)推論1，對(duì)任意x∈A，都有|xA|||xG|.再利用引理2知，A為超可解群，故F(A)≠1.由于F(A)≤F(G)，從而F(G)≠1.故G有pn階的極小正規(guī)子群N.

(3)G可解.

由結(jié)論(1)和(2)知，G為可解群.

(4)N是 G的唯一的極小正規(guī)子群，從而，F(xiàn)(G)=N，Φ(G)=1，且n≥2.

如果G有2個(gè)極小正規(guī)子群，設(shè)為N和N1.則由結(jié)論(1)可知，G/N，G/N1都為超可解群.再由G/ N∩N1同構(gòu)于G/N與G/N1直積的子群，以及G同構(gòu)于G/N∩N1可知，G為超可解群，矛盾.因此，G有唯一的極小正規(guī)子群N.如果Φ(G)≠1，則由結(jié)論(1)可知，G/Φ(G)是超可解群.從而，G是超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一極小正規(guī)子群可知，N=F(G).如果n=1，則N為循環(huán)群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此，n≥2.

(5)設(shè)T/N是G/N的極小正規(guī)子群，則存在T中的q-階元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.進(jìn)一步有，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群知，存在素?cái)?shù)q，使|T/N|= q.如果q=p，則T即為G的正規(guī)p-子群，所以T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由Schur-Zassenhaus定理，存在T的q-階元x，使得T=N〈x〉，其中o(x)=q.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，則由N為初等交換p-群，可以得到u∈Z(T).于是，就有1≠Z(T)正規(guī)于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉.故T≤F(G)=N，矛盾.所以N∩CT(x)=1.

(6)N≤A.

因?yàn)锳是G的S-擬正規(guī)子群，由引理3可知，A/AG冪零.如果AG=1，則A冪零，于是，A=F(A)≤F(G)=N.設(shè)T/N是G/N的極小正規(guī)子群，由結(jié)論(5)可知，存在 T的 q-階元 x，使 T=N〈x〉，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使x=ab.由于CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)= 1.故|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1可知，|bN|||bG|，這與|bG|無平方因子矛盾.所以，可以假設(shè)AG≠1，故N≤AG≤A.

(7)設(shè)r是|G/N|的最大素因子，則r＜p，從而G/N為p'-群.

如果N＜A，設(shè)q=max{r是素?cái)?shù)|r||A|}，且Q∈Sylq(A).由于G/N為超可解群，所以G/N有正規(guī)的r階子群H/N.由結(jié)論(5)可知，H=〈x〉N，且〈x〉為r階循環(huán)群.如果r＞p，則由結(jié)論(2)知，B的Sylow r-子群也是G的Sylow r-子群，從而x∈B.由假設(shè)可知，|xG|無平方因子，這與結(jié)論(5)矛盾.如果r=p，則 G/N的 Sylow p-子群在 G/N中正規(guī)，這與F(G)=N矛盾.故r＜p.

(8)極小階反例不存在.

實(shí)際上，由于A為G的次正規(guī)子群，故存在G的正規(guī)子群M，使得A≤M，且|G/N∶M/N|=t為素?cái)?shù).此時(shí)，M=M∩G=A(M∩B).由引理1可知，對(duì)任意y∈A∪(B∩M)，|yM|是無平方因子的，G的極小性表明M為超可解群.故M'≤F(M)≤F(G)= N，從而M/N為交換群.設(shè)Mp'是M的Hall p'-子群，且M∩B≤Mp'.由于M∩B是B的指數(shù)為t的正規(guī)子群，所以，當(dāng)M∩B≠1時(shí)，可以取包含在M∩B中的B的極小正規(guī)子群，記為H1.B的超可解性隱含著H1=〈g〉為素?cái)?shù)階子群.由Mp'的交換性即知，〈Mp'，B〉≤NG(H1).故H1N/N是G/N的極小正規(guī)子群.由于g∈B，所以|G∶CG(g)|無平方因子，從而|H1N∶CH1N(g)|也無平方因子，這與結(jié)論(5)矛盾.故M∩B=1.從而M=A為G的正規(guī)子群.這時(shí)，由定理1可知，G為超可解群，矛盾.定理得證.

［1］ CHILLAGD，HERZOGM.On the length of the conjugacy classes of finite groups［J］.J Algebra，1990，131：110-125.

［2］ 任永才.共軛類的長和有限群的結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1994，23(5)：405-410.

［3］ 任永才.p-可解群的p-正則類的長和p-秩［J］.科學(xué)通報(bào)，1994，39(4)：301-303.

［4］ RENY C.On the length of p-regular classes and the pstructure of finite groups［J］.Algebra Colloq，1995，2 (1)：3-10.

［5］ LIUX L.Notes on the length of conjugacy classes of finite groups［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2005，196(1)：111-117.

［6］ DESKINSW E.On quasinormal subgroups of finite groups［J］.Math Z，1963，82：125-132.

［7］ 徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［8］ CAMINAA R.Arithmetical conditions on the conjugacy class numbers of a finite group［J］.J Lond Math Soc，1972，2(5)：127-132.