兩種邊界條件下非飽和土一維固結(jié)特性分析

秦愛(ài)芳， 陽(yáng)柳平， 孫德安， 羌 銳

(上海大學(xué)土木工程系，上海200072)

非飽和土廣泛存在于大自然中，與土木工程的建設(shè)有著緊密聯(lián)系.近年來(lái)，無(wú)論是非飽和土的基礎(chǔ)理論研究還是工程應(yīng)用都日益受到人們重視.國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于非飽和土力學(xué)的研究，建立了諸多非飽和土固結(jié)理論.國(guó)外從20世紀(jì)60年代開(kāi)始研究非飽和土固結(jié)問(wèn)題，典型的有 Blight［1］，Scott［2］，Barden［3］以及Fredlund等［4-5］提出的固結(jié)方程.20世紀(jì)90年代非飽和土固結(jié)問(wèn)題已成為中國(guó)國(guó)內(nèi)非飽和土力學(xué)研究的熱點(diǎn)，楊代泉［6］、陳正漢［7-8］、沈珠江［9］以及殷宗澤［10］等曾先后研究了非飽和土的固結(jié)理論，并提出了各自的見(jiàn)解.在非飽和土固結(jié)理論中，比較完善并具有權(quán)威性的是Fredlund［4-5］固結(jié)理論.

秦愛(ài)芳等［11］在Fredlund固結(jié)理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行了假定，對(duì)表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下的非飽和土一維固結(jié)，進(jìn)行了解析解的求解.對(duì)于簡(jiǎn)單的逆變換問(wèn)題，可直接進(jìn)行Laplace逆變換得到解析解;而對(duì)于大部分荷載及邊界條件，Laplace變換下解的表達(dá)式極其復(fù)雜，難以直接進(jìn)行Laplace逆變換，需要通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行Laplace逆變換.本研究對(duì)表面排氣不排水、底面不滲透及表面排水不排氣、底面不滲透兩種常用邊界條件，利用文獻(xiàn)［11］的方法得到了Laplace變換下的超孔隙氣、超孔隙水及土層沉降的解，采用簡(jiǎn)單、有效的Crump方法進(jìn)行逆變換得到半解析解，并作出相應(yīng)的固結(jié)特性分析.該研究方法可向多種荷載及多種邊界條件進(jìn)行拓展，并對(duì)非飽和土體一維固結(jié)的研究具有一定的參考價(jià)值.

1 非飽和土的一維固結(jié)半解析解

1.1 本研究對(duì)Fredlund固結(jié)方程的簡(jiǎn)化假定

(1)假定Fredlund一維固結(jié)基本控制方程中液相及氣相的滲透系數(shù)為常數(shù);

(2)假定固結(jié)過(guò)程中發(fā)生的應(yīng)變?yōu)樾?yīng)變;

(3)假定因外荷載引起的超孔隙氣壓遠(yuǎn)小于大氣壓值.

1.2 表面狀態(tài)向量 (0，s)與任意深度處狀態(tài)向量(z，s)間的傳遞關(guān)系

表面排氣不排水、底面不滲透的非飽和土層模型如圖1所示，其中土層厚度為H，地表作用有瞬時(shí)均布荷載q，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在地表，深度方向z坐標(biāo)以向下為正.取底面面積為1、高度為dz的單元體V0= 1×1×dz為研究對(duì)象.

圖1 表面為排氣不排水、底面為不滲透的非飽和土層固結(jié)計(jì)算模型Fig.1 Simplified model for one-dimensional consolidation in unsaturated soil which the surface is air infiltration water impermeable and the underside is impermeable

對(duì)Fredlund非飽和土的一維線性固結(jié)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化得到的液相及氣相的控制方程，結(jié)合Darcy定律及Fick定律，得到一組編微分方程組.經(jīng)Laplace變換及Cayley-Hamilton數(shù)學(xué)方法構(gòu)造的頂面狀態(tài)向量(0，s)與任意深度處狀態(tài)向量(z，s)間的傳遞關(guān)系［11］如下：

即

式中，T11～T44，S1～S4同文獻(xiàn)［11］.

1.3 邊界和初始條件

以下列兩種邊界條件為例.

邊界條件1：表面排氣不排水、底面不滲透，

邊界條件2：表面排水不排氣、底面不滲透，

邊界條件1和邊界條件2的初始條件為

1.4 Laplace變換下的解(z，s)

邊界條件1：

邊界條件2：

2 Laplace逆變換的處理及算例分析

本研究采用精度較高的Crump方法［12］編制程序?qū)崿F(xiàn)Laplace逆變換，得到時(shí)間域內(nèi)的超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和土層沉降的半解析解.

算例引用文獻(xiàn)［13-14］算例中的基本參數(shù)，采用本研究得到的半解析解計(jì)算表面排氣不排水、底面不滲透及表面排水不排氣、底面不滲透邊界條件下非飽和土層固結(jié)時(shí)的超孔隙氣、超孔隙水壓力的消散，并對(duì)其固結(jié)特性進(jìn)行了分析，并將結(jié)果與采用Fredlund提出的有限差分法得到的超孔隙氣、超孔隙水壓力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以證明本研究半解析法的正確性與精確性.

2.1 算例

一個(gè)水平向無(wú)限的10 m厚非飽和土層，表面瞬時(shí)施加均勻無(wú)限荷載q=100 kPa，荷載作用下引起土中初始的超孔隙氣壓力為=20.0 kPa，超孔隙水壓力為=40.0 kPa，其他主要土層參數(shù)如下：，水的滲透系數(shù)為kw=1.0×

2.2 邊界條件1情況下的固結(jié)分析

(1)圖2所示為z=8 m時(shí)，不同ka/kw下超孔隙氣壓力消散的ua/q值，圖3所示為同邊界條件下的ua/值.結(jié)果顯示，邊界條件1下超孔隙氣壓的消散，與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下［11］超孔隙氣壓的消散完全相同，也就是說(shuō)，當(dāng)表面排氣時(shí)，表面排水或不排水對(duì)超孔隙氣壓的消散不產(chǎn)生影響.

(2)圖4所示為z=8 m時(shí)不同ka/kw下超孔隙水壓力消散的uw/q值.與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件［11］比較，2種情況下超孔隙水消散在超孔隙氣消散結(jié)束之前是相同的.由于表面不排水且底面不滲透，所以排氣結(jié)束后，uw/q恒定為某一值.

圖2 不同ka/kw條件下土中超孔隙氣壓力ua/q隨時(shí)間因素T的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.2 Change in excess pore gas pressure ua/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

圖3 不同z/H土中超孔隙氣壓力ua/u0a隨時(shí)間因素的變化規(guī)律Fig.3 Change in excess pore gas pressure ua/at different depths(z/H)with T

圖4 不同ka/kw條件下土中超孔隙水壓力uw/q隨時(shí)間因素的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.4 Change in excess pore water pressure uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(3)圖5為不同z/H情況和不同ka/kw情況下uw/隨時(shí)間的變化曲線.在超孔隙氣完全消散之前，其與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下［11］超孔隙水壓的消散是完全相同的;當(dāng)超孔隙氣完全消散后，超孔隙水在一平緩段后將有微小的調(diào)整階段，最后趨于平衡.ka/kw越大，調(diào)整之前的平緩段越長(zhǎng)，這與單面排水排氣情況下［11］的平緩段規(guī)律相同.

(4)圖6為ka/kw=10，ka/kw=1超孔隙氣壓力消散隨深度的變化曲線.二者消散規(guī)律一致，只是在ka/kw=10情況下的消散速度快于ka/kw=1情況.

(5)圖7為ka/kw=10，ka/kw=1時(shí)超孔隙水壓力消散隨深度的變化曲線，二者消散的規(guī)律基本也是一致的.ka/kw=10比ka/kw=1消散得快，且ka/ kw=1在孔隙氣消散完后，馬上進(jìn)行調(diào)整，且在接近排水排氣面時(shí)調(diào)整明顯;ka/kw=10時(shí)，孔隙氣消散后也有調(diào)整，只是稍后一些.

2.3 邊界條件2情況下的固結(jié)分析

(1)圖8(a)為z=8 m時(shí)，不同ka/kw情況下ua/q隨時(shí)間的變化曲線.可以看到：超孔隙水壓力開(kāi)始消散之前，ka/kw大小對(duì)超孔隙氣消散有極微小的影響;當(dāng)超孔隙水壓力開(kāi)始消散時(shí)，超孔隙氣壓力消散趨于一致;由于表面不排氣、底面不滲透，當(dāng)超孔隙水消散結(jié)束后，超孔隙氣消散停止;該邊界條件下ka/kw大小對(duì)超孔隙氣壓力消散幾乎沒(méi)有影響.

圖5 不同z/H處土中超孔隙水壓力uw/隨時(shí)間因素的變化規(guī)律Fig.5 Change in excess pore water pressure uw/at different depths(z/H)with T

圖6 超孔隙氣壓力ua/隨深度消散規(guī)律Fig.6 Change in excess pore air pressure ua/with depth

圖7 超孔隙水壓力uw隨深度消散規(guī)律Fig.7 Change in excess pore water pressure uw/ with depth

圖8 不同ka/kw情況下ua/q和uw/q隨時(shí)間因素T的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.8 Change in excess pore pressure ua/q and uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(2)圖8(b)為z=8 m時(shí)，不同ka/kw情況下uw/q隨時(shí)間的變化規(guī)律.可以看出，該邊界條件下，ka/kw大小對(duì)超孔隙水的消散也沒(méi)有影響.

(3)圖9為ka/kw=10時(shí)，z/H大小對(duì)超孔隙氣、超孔隙水壓力消散的影響，超孔隙氣不同深度消散是相同的.對(duì)于超孔隙水壓力，越接近表面消散開(kāi)始得越早.

圖9 不同z/H處土中ua/和uw/隨時(shí)間因素T的變化規(guī)律(ka/kw=10)Fig.9 Change in excess pore pressure ua/and uw/ at different depths(z/H)with T(ka/kw=10)

3 結(jié)論

(1)本研究采用半解析方法，獲得了表面排氣不排水、底面不滲透情況及表面排水不排氣、底面不滲透情況下非飽和土層在瞬時(shí)均布加荷情況下的一維壓縮固結(jié)的半解析解.

(2)表面排氣不排水、底面不滲透時(shí)，超孔隙水壓力的消散在超孔隙氣壓消散結(jié)束之前與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下是相同的.由于表面不排水且底面不滲透，當(dāng)超孔隙氣壓力消散結(jié)束后，超孔隙水壓力不再消散，uw/q恒定為某一值.

(3)表面排水不排氣、底面不滲透時(shí)，超孔隙氣壓力隨超孔隙水壓力消散而消散，隨孔隙水壓力消散結(jié)束而結(jié)束;由于不排氣，ka/kw大小對(duì)超孔隙水、超孔隙氣消散不產(chǎn)生影響.

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