假分數階Chen混沌系統同步

胡建兵， 肖 建， 趙靈冬

(1.西南交通大學電氣工程學院，成都610031;2.南通大學電子信息學院，江蘇南通226019)

分數階微分理論已有近300年的歷史，但分數階微分方程的應用卻直到20世紀80年代Mandelbort［1］發現自然界中存在大量分數維現象才引起人們的研究興趣.研究［2-3］表明，分數階微積分是整數階微積分的推廣，整數階微積分是分數階微積分的特例.實際上，自然界中的所有現象幾乎都是以分數階形式存在的，整數階數學模型是對實際物理模型的近似.由于混沌系統具有參數敏感性，因而，研究分數階混沌系統較研究整數階混沌系統更具有普遍性和實際意義［4-6］.

自1990年Pecora等［7］實現混沌同步以來，由于其在保密通信和震蕩發射器等領域的潛在應用而得到了廣泛的研究，但這些研究更多地集中于整數階混沌系統同步［8-9］.由于分數階非線性系統穩定性研究起步較晚，因此，盡管分數階混沌同步近幾年也取得了一些成果，但遠不如整數階混沌同步研究得充分.分數階混沌同步方法主要可以分為以下幾種：①根據分數階線性系統穩定性理論設計控制器，使同步誤差為定常的負定矩陣，該方法一方面犧牲了非線性項，另一方面控制代價大;② 基于拉氏變換終值定理合理設計控制器，該方法一方面缺乏靈活性，另一方面很多同步方法難以應用［10-11］.同時，基于上述方法，很多同步難以實現，如參數未知的分數階混沌同步等.針對上述問題，Hu等［12-13］提出了分數階非線性系統的穩定性理論，而基于該理論，整數階混沌系統同步方法幾乎都可用于階次小于1的分數階混沌系統的同步.但對于階次大于1的分數階混沌系統的同步問題還未見相關報道，因此，研究階次大于1的分數階系統具有積極意義.

本工作針對上述問題，提出將分數階系統分為真分數階系統和假分數階系統的概念，并建立了對分數階系統分段研究的思想(對真分數階系統和假分數階系統分別研究)，研究了假分數階混沌系統穩定性理論，并設計控制器實現了假分數階Chen混沌系統同步.

1 分數階系統穩定理論

分數階微分當前有多種定義，其中常用的有Riemann-Liouville(R-L)定義和Caputo定義.令n為大于α的最小整數，n－1＜α＜n，Γ(·)為伽馬函數.

定義1 Riemann-Liouville(R-L)定義數學表達式［11］為

定義2 Caputo分數階微分［11］定義為

Caputo分數階微分定義的系統初始條件可以借助于位置函數的整數階導數形式給出，具有可知的物理解釋，在實際應用中更有意義.因此，本工作以Caputo分數階微分為基礎進行研究.

式中，X=(x1，x2，…，xn)為系統狀態變量，α為系統階次，A(X)為包含變量的系數矩陣.

當狀態變量的微分階次不相等時，即

該引理雖然給出了階次α1，α2，…，αn都小于1時分數階系統的穩定性判據，但當存在任意αi＞1時，還不能直接使用該理論來判斷系統的穩定性.

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定義3 當階數α1，α2，…，αn都小于1時，α1，α2，…，αn都為真分數，形如式(4)的系統稱為“真分數階”系統;當階數α1，α2，…，αn都等于1時，形如式(4)的系統稱為“整數階”系統;當至少有一個αi＞1(i=1，2，…，n)時，αi為假分數，形如式(4)的系統稱為“假分數階”系統.

引理1給出了真分數階系統的穩定性理論，本工作進一步給出假分數階系統的穩定性理論.

證明

式中，X=(x1，x2，…，xn)，Y=(y1，y2，…，yn)，α= (α1，α2，…，αn)，m=(m1，m2，…，mn).

令

則有

2 同步假分數階Chen混沌系統

分數階Chen混沌系統具有如下表達形式［14］：

式中，a，b，c為系統參數，參數α=［α1，α2，α3］'為系統階次.當max(α1，α2，α3)＜1時，系統(10)為真分數階系統;參數α1，α2，α3=1時，系統(10)為整數階系統;當參數max(α1，α2，α3)＞1時，系統(10)為假分數階系統.取系統參數a=35，b=3，c=27，當系統階次取不同值時的混沌吸引子分別如圖1～圖4所示.

比較圖1～圖4可以看出，分數階系統混沌吸引子具有自相似性，并且與分數階的階次密切相關.當階數2＞max(α1，α2，α3)＞1時，我們研究分數階系統(10)的同步問題.

以分數階系統(10)為驅動系統，定義響應系統為

式中，U(t)為待設計的響應系統控制器.定義同步誤差為

則有

圖1 α1，α2，α3=0.86時，真分數階Chen混沌系統吸引子Fig.1 When α1，α2，α3=0.86，the chaotic attractor of proper fraction at Chen system

圖2 α1，α2，α3=1時，整數階Chen混沌系統吸引子Fig.2 When α1，α2，α3=1，the chaotic attractor of integer Chen system

圖4 α1，α2，α3=［1.05，1.28，1.28］'時，假分數階Chen混沌系統吸引子Fig.4 When α1，α2，α3=［1.05，1.28，1.28］'，the chaotic attractor of improper fraction at Chen system

定理2 如果設計的控制器滿足

則同步誤差系統(13)漸近穩定.

證明

令P，Q為單位陣，m=α/2，根據定理1構造如下函數：

將設計的控制器代入上式，可得

根據定理1可知，結論成立.定理2得證.

3 數值仿真

基于改進的Adams-Bashforth-Moulton理論［15］，文獻［16］提出了分數階混沌系統仿真算法.采用該算法進行仿真，仿真時選擇系統參數a=35，b=3，c=27，x1=3.123，x2=1.145 1，x3=2.453，y1= 0.423，y2=0.451，y3=2.453為初始值.分數階系統階次取 α=［1，1.24，1.24］和 α=［1.05，1.28，1.28］'，仿真結果分別如圖5和圖6所示.仿真結果表明，同步誤差漸近穩定，所設計的控制器有效，這也證實了定理1的正確性.

4 結束語

本工作提出了真分數階系統和假分數階系統的概念以及對分數階系統分段研究的思想，建立了假分數階系統穩定性理論，該理論和真分數階系統穩定性理論一起構成了分數階系統穩定性理論.該成果不僅可用于階次小于2的分數階混沌系統同步，對于階次大于2的分數階系統，按照相似的方法同樣可降價為真分數階系統，因而，對于階次大于2的分數階系統同步依然具有借鑒意義.

圖5 α=［1，1.24，1.24］'時，同步誤差隨時間的演化Fig.5 When α=［1，1.24，1.24］'，the synchronization error with time

圖6 α=［1.05，1.28，1.28］'時，同步誤差隨時間的演化Fig.6 When α=［1.05，1.28，1.28］'，the synchronization error with time

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