Schr?dinger方程的交替方向Legendre譜元法

曾凡海， 馬和平， 趙廷剛

(上海大學理學院，上海200444)

譜方法是求微分方程數值解的重要方法之一，但在實際應用中會受到一些制約.對于高維問題，其導出的代數方程組規模很大，給求解造成困難，且計算量大.解決的方法之一是使用交替方向隱式(alternating direction implicit，ADI)方法，把高維問題轉化為低維問題進行計算求解［1-2］.

單區域譜方法難以直接應用于復雜區域，但是通過區域分裂方法能較好地解決這一困難［3］.將區域分解成若干個子區域，在每個子區域上分別使用譜方法，可以降低導出的代數方程組系數矩陣的規模，改善矩陣的條件數，減少存儲，并實現并行計算.

本工作首先考慮如下形式的線性Schr?dinger方程：

式中，Ω=(0，1)×(0，1)，?Ω為Ω的邊界，i2=-1，Δ為Laplace算子，σ=σ(x，y，t)為實值函數，U，U0，f為復值函數.Schr?dinger方程是量子力學中最基本的方程，在高能物理、非線性光學以及超導等領域有著非常廣泛的應用.

對Schr?dinger方程的數值解已開展了許多研究工作.文獻［4］建立了方程(1)的ADI正交樣條配置法，文獻［5］給出了方程(1)在f=0，σ=0時，時間和空間方向上具有二階精度的ADI差分格式.關于非線性 Schr?dinger方程的 Galerkin逼近可見文獻［6-8］.

本工作提出一種交替方向Legendre譜元方法求解二維線性和非線性Schr?dinger方程.該算法的優點在于其計算的高度并行化，并可以減少存儲.該算法利用ADI方法把二維問題轉化為一維問題進行求解，同時利用區域分裂法，可以并行計算.對于線性情形給出了方法的最優H1誤差估計.最后的數值算例顯示，該方法在時間方向具有二階精度，空間方向具有譜精度.

1 記號與約定

記L2(Ω)為通常的Hilbert空間，其上的內積和范數分別記為(·，·)和‖·‖L2.對于非負整數 r，Hr(Ω)為Sobolev空間，其上的半范數和范數分別為|·|Hr和‖·‖Hr.設 X為賦范線性空間，簡記L2(X)=L2(0，T;X)和Hr(X)=Hr(0，T;X)，其上的范數記為‖·‖L2(X)和‖·‖Hr(X).

2 格式和算法實施

設τ為時間方向步長，{tk}為區間［0，T］的一個等距劃分，即tk=kτ，τ=T/nT.記

2.1 交替方向Legendre譜元格式

2.2 格式的矩陣表示和計算

假設σ1=σ1(x，t)，σ2=σ2(y，t)，令

則由方程(2)得到矩陣方程

因此，可以得到

以下給出交替方向Legendre譜元格式(2)的一個收斂性結果.

3 非線性Schr?dinger方程

將交替方向譜元法應用到如下的非線性Schr?dinger方程：

式中，F(U)為關于U的非線性函數.為了便于計算，采用三層格式，對非線性項顯示處理.方程(10)的交替方向Legendre譜元格式如下：找uk∈，使得對于任意的v∈(1≤k≤nT-1)，成立

其求解過程和線性情況完全類似.

4 數值算例

例1 考慮如下線性Schr?dinger方程：

取其精確解為

分別在單區域和2×2區域上使用格式(2)計算，結果如表1所示.

表1 格式(2)在t=1時的最大模誤差Table 1 Maximum error at t=1 for the Scheme(2)

由表1可以看出，格式(2)的單區域和2×2區域的結果在時間方向都具有二階精度，空間方向具有譜精度.取較小的時間步長τ=1E-5以檢驗空間誤差，可見，格式(2)的2×2區域的結果比單區域要好.

例2 考慮如下非線性Schr?dinger方程［9］：

其精確解為

使用格式(11)在單區域上計算，結果如表2所示.

表2 方法(11)與文獻［10］中的方法在t=0.5時的誤差比較Table 2 Error comparison between the Scheme(11)and Reference［10］at t=0.5

此為文獻［10］中的一個算例，在時間方向上采用二階精度的時間分裂法，空間方向采用單區域Chebyshev-Tau方法.由表3可以看出，本工作采用格式(11)的計算結果要好于文獻［10］中的計算結果.

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