一類擬線性拋物型方程的非局部邊值問題

周長亮， 王遠弟

(上海大學理學院，上海200444)

本工作研究如下具有非局部邊界條件的擬線性偏微分方程問題：

式中，Ω為 Rn中有界的區域，具有邊界?Ω∈C2+α(0＜α＜1)表示?Ω的外法方向向量，其中函數k(x，y)，D(u)滿足k(x，y)∈C1+α()×C()且k(x，y)≥0，D(u)在R上二階連續可導且D(u)= D(-u)，D(u)＞γ＞0.系數a=a(t，x)，b(t，x)= (b1(t，x)，b2(t，x)，…，bn(t，x))，f(t，x，u)是給定的滿足本文第1節中條件(H1)的函數.

擬線性拋物型偏微分方程問題起源于具有內部熱源的熱傳導等研究，其中溫度u(t，x)滿足如下方程：

本工作主要運用上、下解和相應的單調迭代方法研究問題(1)解的存在唯一性和問題(2)最大、最小解的存在性，以及發展方程解收斂到平衡問題最大、最小解的漸近行為，并將文獻［1］等的結果推廣到擬線性拋物型方程的非局部邊值問題.最后，考察了發展方程解收斂到平衡問題最大、最小解的漸近性態.

1 拋物型方程解的存在性和唯一性

任意給定正實數T，記DT=Ω×(0，T］，ST=?Ω×［0，T］.Cα(Q)為Q中指數為 α∈(0，1)的H?lder連續函數空間(Q為Rn或Rn+1中任意的區域).Cm(Ω)為Ω內m階連續可導函數的集合，C1，2(DT)為(t，x)∈DT內關于t一階連續可微和關于x二階連續可微函數的集合.

本節中假設條件(H1)成立.為了有效地研究問題(1)，引入變換

由于D'(u)=D(u)＞0，故存在反函數u= q(w)，因此，在該變換下，問題(1)轉化為

接下來，給出問題(1)和(3)的上、下解的定義.

出于研究問題(1)上、下解的有序性及解的存在唯一性的需要，首先研究如下線性不等式問題：

證明 當k(x，y)不恒等于0時(k(x，y)=0為平凡的)，令

由文獻［7］可知，能夠找到正函數φ(x)∈C2()，使得φ(x)滿足

引入變換z=eλt，式(4)可以轉化為

當(t0，x0)∈ST時，可以得到，代入式(5)，得矛盾.

其中

證明 u(t，x)可以看作初值條件為v(0，x)的問題(1)的上解，依據引理2可得u(t，x)≥v(t，x).得證.

引理2說明問題(1)的上、下解是有序的.現以上、下解為初始值構造迭代序列來討論解的存在性.由于D'(u)=D(u)＞γ＞0，則存在常數γ(1)＞0，使得γ(1)D'(u)-1≥0.

把u(m-1)看成是已知的情況下，式(6)是關于w(m)的方程，由文獻［8］中的定理5.3可以得到在DT上方程解w(m)的存在性.

當初始迭代u(0)=時，用序列表示迭代序列{u(m)，w(m)}，其中當初始迭代時，用序列表示迭代序列{u(m)，w(m)}，其中

設微分算子L的基本解為Γ(t，x;ζ，?)，由文獻［9］可知，問題(6)中的w(m+1)可以表示為

式中，

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其中

對任意的(t，x)∈ST，k(x，y)u(m)(t，y)是有界的，因此，由控制收斂定理，可得

由文獻［9］中ψ(t，x)的表達式可知，ψ(t，x)在ST上有界，因此，可得{ψ(m)(t，x)}在 ST上一致有界.

由于

式中，0＜ω＜1，τ1，τ2均為正常數，因此，由控制收斂定理可知，w(t，x)滿足

由文獻［9］中的引理2.2可知，ψ(t，x)在ST上也是連續的.又由文獻［9］中的引理1.2可得，w(t，x)在上H?lder連續，因u=q(w)二階連續可導，可得u(t，x)在上H?lder連續，即

若u1，u2是問題(1)的解，由推論1可得，u1≤u2，u1≥u2，故u1=u2.得證.

2 橢圓方程問題

平衡問題(2)在變換u=q(w)下可以轉化為如下問題：

由于D'(u)=D(u)＞γ＞0，則存在常數γ(2)＞0，γ(3)＞0，使得

記

由文獻［9］中的引理1.3，有如下估計式：

由文獻［9］中的定理1.3，可得如下估計式：

若us∈S0是問題(2)的解，則us既可以看作是問題(2)的上解，又可以看作是問題(2)的下解.當看成上解時，由本定理的前段證明可知，≤us;同理，當看成下解時，可以得到，故可得≤.得證.

3 解的漸近性

定理5 若u0(x)∈S0時，問題(1)的解為u(t，x)，則有

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