機構結構新舊自由度計算公式對比之應用研究

蔡漢忠 歐陽富 廖明軍

北華大學，吉林，132013

機構結構新舊自由度計算公式對比之應用研究

蔡漢忠 歐陽富 廖明軍

北華大學，吉林，132013

通過對機構結構新舊自由度計算公式的對比研究及應用發現：新公式和庫茲巴赫·格魯巴（Kutzbach Qruber）公式是正確的。這2個公式能計算所有平面、空間機構結構的自由度，用這2個公式計算的非圓齒輪液壓馬達、奧迪A6轎車01V自動變速器行星排機構、六角形6－SPS和三角形6－RUS空間并聯機構及平面、空間結構力學習題集的自由度，都取得了正確的計算結果。

封閉環約束數（階數）；多余自由度；封閉環；結構

0 引言

隨著自由度計算公式的研究拓展，人們追求公式本身在實際機構自由度計算時的正確性、科學性、真實性和廣泛性更加迫切。

經多年研究與計算結果比較，發現新公式［1］和Kutzbach Qruber公式（簡稱K氏公式）是正確的。這兩個公式可以計算任何平面、空間機構、機器人機構和自動變速器及各種力學中的自由度，由此可以說明新公式和K氏公式揭示了機構結構運動的本質規律和內在聯系。在3萬個實例計算中，這兩個公式都可以得到相同的結果，同時也發現在結構力學中K氏公式不如新公式實用性廣。

本文基于文獻［1］的理論研究，對機構結構新自由度計算公式進行實例分析。

1 關于5類自由度計算公式的回顧［1］

當空間機構沒有S－S球面副自轉自由度u時，式（4）可表示為

在文獻［1］中，已將公式中的各參數作了詳細的說明，這里不再介紹，但必須強調式（5）和式（6）在本質上是相同的。

2 自由度計算公式在實際中的應用舉例

例1 用契氏公式、陀氏公式、新公式、K氏公式計算圖1所示非圓齒輪1、3和圓柱行星齒輪2在環形空間，由非圓齒輪1驅動，各個密閉腔的容積作周期性變化的液壓馬達的自由度W［2］。

（1）用契氏公式計算：

圖1 非圓齒輪驅動的液壓馬達

例2 用契氏公式、陀氏公式、新公式、K氏公式計算圖2所示奧迪A6轎車01V自動變速器的自由度W 及各擋自由度。

（1）用契氏公式計算：

W＝4，說明奧迪A6轎車01V自動變速器有4個前進擋（不含超速擋和倒擋）。從圖2中查得n＝11。

（2）用陀氏公式計算：

（3）用新公式計算。由于長齒輪中心軸上有兩個自由度，其中一個為共軸多余自由度λ＝1，長齒輪中心軸上真正起作用的自由度只有一個。

圖2 奧迪A6轎車01V自動變速器行星排機構［3］

按Ⅰ擋計算方法類推，可求出 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ擋和倒擋R的自由度都等于1。當計算得出W＝4后，不計倒擋和超速擋，根據行星排的數目即可寫出圖2的3個轉速方程式：

根據這3個方程式，前進擋不工作時即有α1＝0，再根據使用離合器、制動器和單向離合器F的情況，可以求出各擋位的傳動比i。我國研制的自動變速器的自由度W ＝8。

例3 用新公式、K氏公式、契氏公式、陀氏公式計算圖3所示帶有六角形6－SPS并聯空間機構的自由度［4］。

（1）用新公式計算。由空間平臺機構理論知，用式（5）計算的圖2所示奧迪汽車行星排機構的自由度為W＝∑f－λ－3 N＝23－1－3×6＝4，由于有λ＝1，所以式（6）中q將變成qj＝qzqy＝17－1＝16，這里的qj表示多余約束數的計算數，qz表示多余約束數的總數，qy表示多余約束數的余數，且qy都是由于λ＝1而減少的數。

（4）用K氏公式計算：它至少需要3個分支傳動機構支撐平臺，因為三角形具有穩定性。圖3所示六角形6－SPS機構由2個三角形平臺構成，按對稱取半原則，故取3－SPS為一組進行計算。每支SPS機構的自由度總數∑f＝7，多余自由度總數為λz＝4×3＝12，3支的封閉環數為N＝2，將這些新數據代入式（5），得一組3－SPS機構的自由度為W1＝∑f－λ－3 N＝3×7－4×3－3×2＝21－18＝3，兩組3－SPS構成6－SPS空間機構，其自由度為W＝2×W1＝2×3＝6，W ＝6，采用6個液壓缸或氣缸等直線驅動方案即可。

（2）用K氏公式計算。先計算一組3－SPS空間機構的自由度，得

圖3 六角形6－SPS空間機構

由兩組3－SPS構成的6－SPS空間機構的自由度為

（3）用契氏公式計算3－SPS機構的自由度，有

（4）用陀氏公式計算，有

同理，可分析計算三角形6－RSS臥式、三角形6－SPS和三角形3－SPS、三角形6－RSS立式、6－PUS、6－RUS、6－SRRR 等空間機構的自由度。

例4 用新公式、K氏公式、契氏公式、陀氏公式計算圖4所示帶有等邊三角形6－RUS并聯空間機構的自由度［4］。圖4中三角形GHI是中心上平臺，它可以作為機器人操作機構的輸出桿件，在三維空間具有6個自由度。此上平臺有6個分支并聯地與下平臺相聯，每個分支用2個桿件串聯。采用3種不同的運動副R、U、S形式進行，在上平臺等邊三角形頂點是球面副復鉸，A、B、C、D、E、F為6個萬向節U（即虎克鉸），每個萬向節的自由度為2，λ＝1；每個球面副的自由度為3，λ＝2；A、B、C、D、E、F 只能在XOY 基面內運動，6點到中心O（R）的桿長相同。另外，連接上平臺的6個傾斜桿長為L2。再作運動分析：每個分支（每條腿）有6個自由度，在下平臺中心O有6個桿件是輸入主動桿件，皆由主動桿與X軸的夾角來確定。

圖4 三角形6－RUS空間機構

W＝6，說明該空間機構分別由6個主動副R的轉動所驅動。

（2）用K氏公式計算：

（3）用契氏公式計算：

（4）用陀氏公式計算：

3 新公式和K氏公式在結構力學中的應用

在式（5）中去掉多余自由度λ和自轉多余自由度u兩項，就得到結構力學、工程力學、建筑力學和彈性力學等計算自由度的公式［5-6］：

眾所周知，在現代結構力學中使用的自由度W 計算公式有三種［7］：一種是取剛片為研究對象，結點和支桿為約束；一種是取結點為研究對象，約束為鏈桿；第三種是混合法，既取剛片又取結點為研究對象，約束為結點和鏈桿。不管哪種算法，對象的選擇一般不困難，而約束數的計算有的不容易弄清。現將圖5所示三種算法的自由度計算公式表示如下：

式中，m為剛片數，m＝8；b為簡單鏈桿數，b＝4；g為剛結點數，g＝7；h為絞結點數，h＝1；d為內部多余約束數，d＝3。j為取作對象的絞結點數（包括支座結點數，固定端算1個結點）。

式（10）、式（12）、式（13）三式符號含義不完全相同，用式（13）計算時，其中，m ＝1（AGPEHB 部分），d＝3，h＝0，g＝0，b＝5，j＝1（鉸鏈C，因鉸鏈A、B、E與取作對象的剛片m7、m8相連，不計算j），下面用幾個公式分別計算圖5所示結構體系的自由度。

圖5 結構力學中的剛架支座結構

（1）用式（10）計算。已知m ＝8，g＝7，h＝1，b＝4，則

第二種算法中大剛片內有一個封閉環的約束數d＝3。

（2）用結點法計算。式（12）中的鉸結點數為4（含A、B、C、E4個鉸結點，b是含支座鏈桿的簡單鏈桿數，b＝8，連接A、B、C3個結點，有2n－3個簡單鏈桿（n＝3），即2×3－3＝3，故b＝3＋1＋4＝8（其中包括CE 桿和4個支座桿），d為GHED封閉環內的約束數，d＝3，代入式（12），得

（3）用混合算法計算。將AGDEHB視為一個剛片，有m＝1，GDEF為一個封閉環，每個封閉環有3個約束數，故d＝3，因鉸A、B、E與取作對象的剛片相連，j＝1（鉸C），b＝5（支桿數），g＝0，h＝0，代入式（13），得

由此可見，應用式（5）只要掌握結構力學中復鉸的自由度數比連接復鉸的桿件數少一個即可，這種計算結構力學自由度的方法比結構力學現有公式來得簡單、方便、快捷。

4 結論

（1）新公式與K氏公式是平面、空間機構自由度計算公式中最優的公式，其他公式都無法與之相比［1］。

（2）在結構力學自由度計算中，新公式可適用于全部結構力學自由度的計算，而K氏公式只適用于其中一部分。

（3）在自動變速器自由度計算中，新公式只要求正確確定一個多余自由度λ和封閉環數N兩個因子，而K氏公式除要求確定消極自由度ξ和局部自由度u外，對于自動變速器，還要求考慮含機架在內的桿件數n和含高低副在內的運動副數q4個因子，才能正確地畫出符合實際的機構原理圖［1］。

（4）在并聯多封閉環空間機構的任何情況下，新公式可以一次完成計算，而K氏公式有時需要兩次才能完成計算。

（5）新公式和K氏公式都有相同的二桿、三桿和桿件數大于或等于四桿的自由度計算公式。

（6）新公式的約束數m和K氏公式的階數d相等，即有m＝d＝3，它們都等于傳統的公共約束數。

（7）新公式中的－N等于K氏公式中括號內的數值（－N＝（n－q－1），因此新公式與K氏公式完全相同。

（8）在新公式中，若λ＝0，則可得到結構力學、工程力學、材料力學、彈性力學、橋梁等專門學科自由度的計算公式。

［1］ 歐陽富，蔡漢忠，廖明軍.機械結構新舊自由度計算公式對比之理論研究［J］.中國機械工程，2010，21（24）：2942－2948.

［2］ 李華敏，李瑰賢，王知行，等.齒輪機構設計與應用［M］.北京：機械工業出版社，2007.

［3］ 過學凡.汽車自動變速器——結構·原理［M］.北京：機械工業出版社，2002.

［4］ 黃真.空間機構學［M］.北京：機械工業出版社，1991.

［5］ 歐陽富，張士成，劉彥華，等.關于重建平面、球面機構自由度計算新公式的研究［J］.機械工程學報，2002，38（11）：47－52.

［6］ 歐陽富，劉彥華，孫東明.關于重新建立空間機構自由度計算公式的探索［J］.機械工程學報，2003，39（1）：60－64.

［7］ 雷鐘和，江愛川，郝靜明，等.結構力學解疑［M］.北京：清華大學出版社，2001.

Comparable Study and Application on New and Old Formulas of Calculating DOFs of Mechanisms and Structures

Cai Hanzhong Ouyang Fu Liao Mingjun
Beihua University，Jilin，Jilin，132013

According to comparable study and application on new and old formulas for calculating DOFs of mechanisms and structures，the new formula was proved to be correct，as well as Kutzbach Qrubler Formula.These two formulas work for all the DOF calculation in plain and space mechanisms，and reveal the basic law of kinetic mechanisms and structures.With the new formula，the structures and number of DOFs was checked correctly in non－circular gear hydraulic motor，in AUDI 01V auto transmission planet row，hexagon 6－SPS and triangle 6－RUS spatial parallel mechanism and problem sets for plane and space structural mechanics.

loop constrain number（order number）；surplus DOF；closed loop；structure

TH112

1004—132X（2011）01—0035—04

2010—02—23

2010—12—30

（編輯 何成根）

蔡漢忠，男，1975年生。北華大學交通建筑工程學院講師。主要研究方向為生物機構自由度。發表論文3篇。歐陽富，男，1942年生。北華大學交通建筑工程學院教授。廖明軍，男，1974年生。北華大學交通建筑工程學院副教授、博士。