混凝土損傷斷裂的三維細觀數值模擬

李朝紅，王海龍，徐光興

(1. 西南交通大學 土木工程學院，四川 成都，610031；2. 石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊，050043；3. 河北建筑工程學院 土木系，河北 張家口，075024)

混凝土損傷斷裂的三維細觀數值模擬

李朝紅1,2，王海龍1,3，徐光興2

(1. 西南交通大學 土木工程學院，四川 成都，610031；2. 石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊，050043；3. 河北建筑工程學院 土木系，河北 張家口，075024)

提出一種在細觀層次建立混凝土三維隨機骨料隨機力學參數模型的方法。將損傷力學與計算力學相結合，基于ANSYS軟件平臺進行二次開發，建立2組混凝土立方體濕篩試件的數值模型：第1組模型模擬3種不同的骨料隨機分布；第 2組模型模擬混凝土各相材料主要力學參數的隨機性，分別假定其參數符合對數正態分布和Weibull分布。通過對這 2組模型的軸壓進行模擬，揭示混凝土在軸向壓力作用下單元的漸進損傷和裂縫的萌生與擴展過程。研究結果表明：數值模擬得到的混凝土立方體抗壓強度與試驗測得的抗壓強度較接近；骨料的隨機分布會影響試件裂縫產生的位置和擴展路徑，但其對試件承載力的影響不大；混凝土各組成相材料參數的非均勻性降低了試件的極限承載力，采用Weibull分布能較好地表征材料參數非均勻性的影響。

混凝土；損傷斷裂；隨機骨料；隨機力學參數；細觀數值模型

混凝土是由水泥砂漿基體和嵌入其中的骨料顆粒所組成的多相復合材料，其物理力學性能復雜多變。長期以來，人們對混凝土的研究主要是基于宏觀層次，忽略了混凝土材料內部復雜的細觀結構，難以揭示材料變形和破壞的物理機制。大量試驗表明，混凝土宏觀的破壞行為是細觀尺度上的損傷和斷裂的累積與發展的結果。由于試驗研究的局限性以及現代數值分析技術和高速計算技術的發展，在細觀層次上利用數值方法研究混凝土試件的靜、動載力學特性，揭示混凝土的破壞機理引起了人們的廣泛關注[1?3]。混凝土細觀數值模擬不僅能直觀反映混凝土細觀損傷和裂縫擴展，而且可以通過細觀參數的敏感性分析，得出各細觀參數對試件極限承載能力的影響。基于細觀層次的混凝土數值模型主要有格構模型(Lattice model)[4]、隨機粒子模型(Random particle model)[5]、隨機骨料模型(Random aggregate model)[6?7]和隨機力學特性模型[8]等。Mohamed等[9]基于隨機骨料模型，研究了骨料、砂漿、界面材料參數對混凝土荷載位移曲線和裂縫發展模式的影響；Caballero等[10]將骨料視為多面體，骨料與砂漿之間采用零厚度界面單元建立了三維細觀模型并利用其進行拉伸數值模擬；劉金庭等[11?12]討論了模擬混凝土的非均質性所采用的幾種隨機分布函數概率模型的合理性與適用性。但由于受單元數量和計算機容量的限制，對三維模型研究較少，能夠同時考慮混凝土骨料隨機分布和材料參數非均勻性影響的三維模型尚未見報道。另外，以往細觀模型的建立大多采用自編程序，基于通用結構計算軟件建模的并不多，應用性受到限制。在此，本文作者在前人研究的基礎上，將損傷力學和計算力學相結合，基于通用結構有限元軟件ANSYS，提出一種建立混凝土三維細觀隨機骨料隨機力學參數模型的方法，并對用該方法生成的混凝土試件模型對單軸抗壓強度進行數值模擬。

1 隨機骨料隨機力學參數模型

本文提出的混凝土三維細觀隨機骨料隨機力學參數模型是將混凝土看作由砂漿基質、骨料以及兩者之間的界面組成的三相復合材料，采用骨料投影網格法和占位剔除算法實現骨料隨機分布，以統計分布加隨機賦值的方法表征混凝土各組成相材料參數的非均勻性，分析時引入彈脆性損傷本構模型和最大拉應變破壞準則。

1.1 骨料的模擬及網格剖分

骨料是混凝土的重要組成部分，在混凝土中起骨架和填充的作用，常被模擬成球體、橢球體、凸多面體和任意多面體等幾種形式[13]。采用球形骨料，雖然球形骨料會因與實際顆粒形狀的差異而產生誤差，但已有研究結果表明，其影響可以忽略。在模擬不同級配的混凝土時，骨料的顆粒數根據試件尺寸、骨料級配和骨料所占混凝土的質量比來確定。按照試件骨料級配情況計算出各級骨料顆粒數目，將骨料簡化為不同尺寸和數量的球體。常用四級配骨料中小石、中石、大石、特大石質量比為2:2:3:3，三級配骨料中小石、中石、大石質量比為3:3:4，二級配骨料中小石、中石質量比為5.5:4.5。骨料中的小石粒徑為5～20 mm，中石為20～40 mm，大石為40～80 mm，特大石為80～150 mm[7]。本文以三級配骨料為例說明數值模型的建立方法，其他級配混凝土試件可參照該方法建模。

在三維空間確定1個球形骨料模型需要有4個變量，即：球體的直徑和球心坐標值(X，Y，Z)。這些變量要滿足如下要求：

(1) 球體必須在試件輪廓所界定的空間內隨機分布，由其球心坐標值來確定位置；

(2) 球心坐標值(X，Y，Z)由一定范圍內的隨機數分別賦予，從而保證球體在空間分布的隨機性；

(3) 這些球心坐標值(X，Y，Z)必須滿足兩兩之間的距離大于2個球體的半徑與2倍界面厚度之和，以此來保證產生出來的球體相互獨立，不出現位置重疊或交叉；

(4) 球心坐標值(X，Y，Z)到試樣各個表面的距離大于其半徑與界面厚度之和，以保證產生出來的球體均在試件所定范圍之內。

骨料投放前，首先用略小于最小骨料半徑長度的尺寸將試件整體剖分為四面體單元，生成均勻的有限元網格，這樣，可以保證骨料球心不可能落入有試件邊界面的單元。生成骨料單元時，以單元為隨機數，采用Monte-Carlo法任意選取1個單元號，并以這個單元的所有節點坐標值的均值為大石球心坐標。在生成第1個大石球心坐標后，通過單元的節點來判斷哪些單元在球體內，哪些單元在球邊界，哪些單元在球外，剔除那些在球內和球邊界的單元。重復以上步驟，直至生成全部大石為止。依此類推，當大石的數目達到要求后，再進行中石的定位，接著是小石定位，這樣便將骨料顆粒粒徑按照從大到小的原則逐一投放到試件中。程序在尋找骨料空間位置時不會搜索已被剔除掉的單元，可以快速地實現骨料的空間定位，大大提高了運行速度。在生成骨料球心坐標的同時，將判斷得到的骨料、砂漿、界面單元直接賦予不同的屬性：當單元的所有節點均落入球體內部時，單元為骨料單元；當單元有部分節點落入球體內時，為界面單元；當單元的全部節點都在球體外時，則為砂漿單元。

1.2 界面單元的細分

以上劃分網格所采用的單元尺寸接近最小骨料半徑，其值相對于界面層厚度大得多，會導致界面層過厚，使得混凝土最關鍵的細觀結構部位失真。為了能夠更好地模擬裂縫形態，采用ANSYS中具有細分功能的SOLID45四面體單元對界面單元進行2次細分，并在每次細分后對細分的那部分單元重新判斷其材料屬性。若單元的所有節點落入球體內部，則單元改為骨料單元；若單元只有部分節點落入球體內，則仍為界面單元；若單元的全部節點都在球體外，則改為砂漿單元。這樣，在下一次細分單元時，只需將上一次細分之后仍為界面單元的部分進行細分即可，避免產生過多的非界面細分單元。經過2次界面細分后，骨料表面網格密集，內部則比較稀疏，形成漸變網格，既有效地減少了單元數目，又可體現混凝土的細觀構造特征。

1.3 單元材料隨機力學參數賦值

從混凝土的細觀構成角度看，骨料、界面及砂漿基質三組成相的力學參數與來源地及配比、攪拌過程等多種因素有關。為了考慮混凝土各組成相材料參數的非均勻性，采用統計分布加隨機賦值的方法。假定各組成相的材料力學參數如彈性模量、強度等服從各自獨立的統計分布規律，由該分布規律產生一個離散的材料力學參數值序列。利用模型中骨料、砂漿基質及界面相單元材料號分別選取各相單元，對于每相單元，將前述生成的該相某一材料力學參數值序列按Monte-Carlo方法隨機投放到該相單元中去，從而實現各相單元材料屬性的隨機力學參數賦值。考慮到骨料單元的材料性質與砂漿和界面單元有所區別(若忽略骨料自身可能存在的節理裂隙等，則每個骨料顆粒的材料可以看做是均質的，而砂漿和界面無此特點)，本文將不同骨料顆粒的材料屬性按照假定的隨機分布數值序列來賦值，而組成同一骨料的各個單元的材料屬性則賦予同一隨機數值，砂漿和界面單元的材料參數則直接由隨機分布數值序列隨機賦值。

本文模型可以模擬多種常用于表征混凝土類脆性材料參數的隨機分布，如對數正態分布和 Weibull分布，這2種分布的密度函數如式(1)和(2)所示。

對數正態分布：

1.4 損傷本構模型和破壞準則

大量研究表明：對于混凝土這種準脆性材料,承載后在宏觀上呈現出的應力?應變曲線的非線性是細觀層次微裂紋的萌生和擴展引起，而不是由于其塑性變形引起；因此，本文采用各向同性彈性損傷本構關系來描述混凝土細觀單元各組成相的力學性質[14]。按照Lemaitre應變等價原理，受損材料的本構關系可通過無損材料的名義應力得到，即

式中：E和E0分別為損傷后的彈性模量和初始彈性模量；D為損傷變量，D=0對應無損狀態，D=1對應完全損傷(斷裂或者破壞)狀態，0＜D＜1對應不同程度的損傷。

按應變等價原理，可以建立單軸拉伸損傷演化方程，在三維應力狀態下，通過等效于主拉應變沿用單軸拉伸損傷演化方程。

骨料采用帶殘余強度的彈脆性損傷本構模型，砂漿和界面由于水泥膠結物具有一定的宏觀塑性性質，采用雙折線損傷本構模型。

骨料的拉伸損傷演化方程為[8]：

其對應的本構關系曲線如圖1所示。

圖1 彈脆性損傷本構模型Fig.1 Constitutive model of elastic brittle damage

砂漿與界面的拉伸損傷演化方程為[7]：

其對應的本構關系曲線如圖2所示。

圖2 雙折線損傷本構模型Fig.2 Damage constitutive model of double broken line

采用最大拉應變準則作為破壞準則，即當細觀單元的最大拉伸主應變達到其給定的極限值時，該單元開始發生拉伸損傷。

2 數值模擬

2.1 概況

根據本文提出的建模方法模擬文獻[7]中邊長為150 mm的立方體濕篩試件進行單軸受壓靜載試驗，該試驗測得的極限荷載為26～31 MPa。為了與此試驗結果進行對比，數值模型混凝土采用二級配，其中中石直徑為30 mm，小石直徑為12 mm，小石與中石質量比為5.5:4.5。建立了2組模型：第1組模型研究骨料隨機分布對承載力的影響，不考慮材料參數的非均勻性，建立了不同骨料隨機分布的3個模型，編號分別為MX1(2)-1，MX1-2和MX1-3；第2組模型研究各組成相材料參數隨機分布對承載力的影響，包括第1組模型中的模型MX1(2)-1和以模型MX1(2)-1為基礎，令其各組成相材料參數分別滿足對數正態分布和Weibull分布建立的2個模型，編號分別為MX2-2和MX2-3。這里重點分析各組成相單元力學參數中彈性模量和強度對混凝土試件承載力的影響。由于泊松比的離散性較小，取為定值[8]。參照文獻[7, 15]，2組混凝土試件各組成相材料參數見表1；第1組模型的材料參數取表1中的均值；第2組模型中MX2-2取表1中的均值和變異系數模擬對數正態分布，MX2-3取表1中的均值和均質度模擬Weibull分布。

模型上端面施加垂直方向的受壓均布荷載，下端面采用軸向約束，下端面中間點固定。加載步長取1.5 MPa。

模型 MX1(2)-1混凝土三相材料有限元網格見圖3，第1組模型的骨料分布情況見圖4。

表1 混凝土各組成相材料隨機力學參數統計量Table 1 Statistics of random mechanical parameters used to simulate concrete phases

圖3 模型MX1(2)-1混凝土三相材料有限元網格Fig.3 Finite element mesh of concrete phases of model MX1(2)-1

圖4 第1組模型骨料隨機分布Fig.4 Random aggregate distributing of the first group of models

2.2 結果與分析

第1組模型中模型MX1(2)-1加載至6 MPa時，首先在試件中部出現了少量界面損傷單元，此時試件的豎向位移為0.136 mm；加載至24 MPa時，損傷單元大量增加，主要是界面單元，同時，還有一些砂漿單元發生損傷，損傷的砂漿單元與界面單元連通，與荷載呈 30°～45°方向從試件的中部擴展到兩端面，模型變形增加，豎向位移為0.308 mm；當加載至27 MPa時，模型中部開始出現個別界面破壞單元，表示裂縫開始萌生，模型豎向位移增至0.914 mm；當繼續加載至33 MPa時，破壞單元大量出現，構件達到極限承載力，最終豎向位移為 2.094 mm。圖 5所示為模型MX1(2)-1中部縱剖面切片圖所顯示的單元漸進損傷過程，其中黑色部分為界面單元，灰色部分為砂漿單元。

從數值模擬結果可以看出：混凝土試件的破壞始于界面單元。由于界面的存在，使得混凝土的抗壓強度遠低于骨料和砂漿2個主要組成相中任一個的抗壓強度；因此，界面可以視為混凝土中的強度限制相。

模型MX1-2和模型MX1-3的承載力分別為35.4 MPa和31.8 MPa。由于骨料分布不同，模型MX1-2和模型MX1-3與模型MX1(2)-1相比，損傷單元開始出現的位置不同，而單元損傷破壞的過程則較相近，這說明混凝土中骨料隨機分布會對試件裂縫產生的位置和擴展路徑產生影響，因此，導致模型的承載力有所差異，但相差不大。第1組模型的荷載應變曲線見圖6。

第2組模型中模型MX2-2和模型MX2-3的承載力分別為26.7 MPa和29.1 MPa，均比按不考慮材料參數非均勻性的模型 MX1(2)-1的承載力低。這主要是由于考慮了各組成相材料參數隨機分布后，在承受荷載作用時，模型中各單元受力是不均勻的，形成大量不規則的應力集中點，產生局部單元破壞，導致整個試件承載力降低。其中，材料參數服從 Weibull分布的模型 MX2-3的承載力與文獻[7]中試驗均值 28.5 MPa更接近，說明Weibull分布能較好地表征混凝土材料參數非均勻性的影響。第2組模型的荷載應變曲線見圖7。

圖5 模型MX1(2)-1單元漸進損傷破壞過程Fig.5 Gradual damage process of elements of model MX1(2)-1

圖6 第1組模型的荷載應變曲線Fig.6 Load-strain curves of the first group of models

圖7 第2組模型的荷載應變曲線Fig.7 Load-strain curves of the second group of models

3 結語

(1) 提出的混凝土三維細觀數值模型能夠實現混凝土骨料的隨機分布及其各組成相材料力學參數的概率隨機賦值，從而更真實地反映混凝土的非均質性對其力學性能的影響。通過將計算力學與損傷力學相結合，模擬混凝土各組成相單元的漸進損傷破壞及其裂縫的萌生與擴展過程，有利于揭示混凝土損傷斷裂機理。

(2) 模型的建立和分析基于通用有限元軟件ANSYS平臺，結合自編命令流，既具有通用性，又能反映模型自身的特點。引入骨料投影網格法和占位剔除算法，提高了骨料的投放效率；通過界面單元細分處理既優化了細觀部位網格，又使單元總數得到控制，實現了三維細觀建模，數值模擬結果與試驗結果較吻合。

(3) 混凝土中骨料隨機分布會影響試件裂縫產生的位置和擴展路徑，由此導致試件的承載力略有差異。考慮混凝土各組成相材料參數的非均勻性時，試件的承載力低于不考慮其非均勻性時的承載力，采用Weibull分布能較好地表征混凝土各相材料參數非均勻性的影響。界面作為砂漿基質和骨料顆粒之間的橋梁，是混凝土中最薄弱的環節，對混凝土的強度和裂縫的萌生與擴展起著十分重要的作用。

[1]Chang C S, Wang T K, Sluys L J, et al. Fracture modeling using a microstructural mechanics approach––II. Finite element analysis[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2002, 69:1959?1976.

[2]杜成斌, 尚巖. 三級配混凝土靜、動載下力學細觀破壞機制研究[J]. 工程力學, 2006, 23(3): 125?141.

DU Cheng-bin, SHANG Yan. Study on micro mechanical failure mechanism of the three-gradation concrete under static and dynamic loadings[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23(3):125?141.

[3]琚宏昌, 陳國榮, 夏曉舟. 骨料形狀對混凝土拉伸強度的影響[J]. 河海大學學報, 2008, 36(4): 554?558.

JU Hong-chang, CHEN Guo-rong, XIA Xiao-zhou. Influence of aggregate shape on tensile strength of concrete[J]. Journal of Hohai University, 2008, 36(4): 554?558.

[4]van Mier J G M, van Vliet M R A. Experimentation, numerical simulation and the role of engineering judgement in the fracture mechanics of concrete and concrete structures[J]. Construction and Building Materials, 1999, 13(1/2): 3?14.

[5]Bazant Z P, Tabbara M R, Kazemi M T, et al. Random particle model for fracture of aggregate or fiber composites[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1990, 116(8): l686?1705.

[6]劉光廷. 王宗敏. 用隨機骨料模型數值模擬混凝土材料的斷裂[J]. 清華大學學報: 自然科學版, 1996, 36(1): 84?89.

LIU Guang-ting, WANG Zong-min. Numerical simulation study of fracture of concrete materials using random aggregate model[J]. Journal of Tsinghua University: Science and Technology, 1996, 36(1): 84?89.

[7]馬懷發, 陳厚群, 黎保琨. 混凝土試件細觀結構的數值模擬[J]. 水利學報, 2004, 35(10): 27?35.

MA Huai-fa, CHEN Hou-qun, LI Bao-kun. Meso-structure numerical simulation of concrete specimens[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2004, 35(10): 27?35.

[8]唐春安, 朱萬成. 混凝土損傷與斷裂—數值試驗[M]. 北京:科學出版社, 2003: 24?79.

TANG Chun-an, ZHU Wan-cheng. Damage and fracture of concrete numerical test[M]. Beijing: Science Press, 2003: 24?79.

[9]Mohamed A R, Hansen W. Micromechanical modeling of crack-aggregate interaction in concrete materials[J]. Cement &Concrete Composites, 1999, 21(5/6): 349?359.

[10]Caballero A, López C M, Carol I. 3D meso-structural analysis of concrete specimens under uniaxial tension[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2006, 195(52):7182?7195.

[11]劉金庭, 朱合華, 莫海鴻. 非均質混凝土破壞過程的細觀數值試驗[J]. 巖石力學與工程學報, 2005, 24(22): 4120?4133.

LIU Jin-ting, ZHU He-hua, MO Hai-hong. Mesostructure numerical test of nonuniformity concrete damage process[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005,24(22): 4120?4133.

[12]梁正召, 唐春安, 張永彬, 等. 準脆性材料的物理力學參數隨機概率模型及破壞力學行為特征[J]. 巖石力學與工程學報,2008, 27(4): 718?727.

LIANG Zheng-zhao, TANG Chun-an, ZHANG Yong-bin, et al.On probability model of physico-mechanical parameters of quasi-brittle materials and associated mechanical failure behaviors[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(4): 718?727.

[13]宋玉普. 多種混凝土材料的本構關系和破壞準則[M]. 北京:中國水利水電出版社, 2002: 140?141.

SONG Yu-pu. Constitutive relation and failure criterion of multiple concrete material[M]. Beijing: China Water Conservancy and Electric Power Press, 2002: 140?141.

[14]余天慶, 錢濟成. 損傷理論及其應用[M]. 北京: 國防工業出版社, 1993: 132?155.

YU Tian-qing, QIAN Ji-cheng. Damage theory and its application[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 1993:132?155.

[15]李建波, 林皋, 陳健云, 等. 混凝土損傷演化的隨機力學參數細觀數值影響分析[J]. 建筑科學與工程學報, 2007, 24(3):7?12.

LI Jian-bo, LIN Gao, CHEN Jian-yun, et al. Mesoscopic numerical influence analysis of random mechanical parameter of concrete damage evolution[J]. Journal of Architecture and Civil Engineering, 2007, 24(3): 7?12.

(編輯 陳燦華)

3-D mesoscopic numerical simulation of concrete damage and fracture

LI Chao-hong1,2, WANG Hai-long1,3, XU Guang-xing2

(1. School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;2. School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;3. School of Civil Engineering, Heibei Institute of Architecture and Civil Engineering, Zhangjiakou 075024, China)

On the meso-level, a method for establishing 3-D numerical model with random distribution of aggregate location and mechanical parameters was put forward. Based on damage mechanics and computational mechanics, two groups of numerical models of wet-screened concrete cube specimens were established with ANSYS software, i.e., the first group of models was designed to simulate three kinds of aggregate random distribution with the same gradation, and the second group of models was designed to simulate the random distribution of main material parameters of phases that composed concrete. By the numerical axial compression simulation of the two groups of models, the gradual process of damage crack appearance and the growth of concrete were revealed. The results show that the cubic compressive strength of concrete by numerical simulation approximates to that by physical test. The random distributing of aggregate location has influence on the generating location and expanding paths of crack, yet it has slight influence on the carrying capacity of samples. The material parameters heterogeneity of phases, which can be characterized well by Weibull distribution,reduces the carrying capacity of specimens.

concrete; damage and fracture; random aggregate; random mechanical parameter; mesoscopic numerical model

TU528.01

A

1672?7207(2011)02?0463?07

2009?11?07；

2010?03?28

國家科技支撐計劃項目(2006BAJ15B03-01)；石家莊鐵道大學科研專項基金資助項目(2010Q18)

李朝紅(1974?)，女，河北獻縣人，博士研究生，講師，從事混凝土結構的教學和科研工作；電話：13933879681；E-mail：li_zh@126.com