四維中心仿射幾何中由曲線運動導出的高維可積方程*

李艷艷

(咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000)

某種幾何中的曲線曲面運動與非線性演化方程密切相關。很多學者已經從一些幾何中的曲線曲面運動中得出了許多可積方程，從而為這些可積方程提供了新的幾何解釋，極大地豐富了可積方程的幾何背景。例如，Hasimoto[1]從不可伸縮旋線運動中得到了可積的非線性Schr?dinger方程。Goldstein 等[2]把mKdV方程和它的梯隊與歐氏平面中的不可伸縮的曲線運動聯系起來。Doliwa等[3]發現非線性Schr?dinger 梯隊和復mKdV方程產生于S3(R)上的曲線運動，這里的半徑R起譜參數的作用。Nakayama等[4]通過考慮歐氏平面中的非局部曲線運動得到了sine-Gordon方程。Schief等[5]研究了具有常曲率或撓率的副法線的曲線運動，獲得了延拓的Harry-Dym方程和sine-Gordon方程。屈長征等[6-7]系統地討論了Klein幾何中的不可伸縮曲線運動, 證明了很多可積方程產生于這種曲線運動。Beffa等[8]研究了黎曼流形中不可伸縮的曲線運動，建立了不變曲線流和相應的可積方程間的對應。

Myrzakulov等[7, 9-12]通過對三維歐氏空間，中心仿射空間，仿射空間以及高維的相似空間中的1+1維的空間曲線運動公式賦予一個額外的空間變量y而得到相應空間中的2+1維的空間曲線運動公式, 同時獲得2+1 維的Ishimori , Myrzakulov I , MyrzakulovIII 方程, 2+1維的等距Heisenberg 鐵磁模型，2+1維的Schr?dinger和2+1維的可積淺水波等方程。

與歐氏幾何等經典的幾何相比，關于中心仿射幾何的討論是很少的，只有在一些仿射幾何的書中我們才可以找到關于中心仿射幾何的介紹。近來，屈長征等[6-7]研究了2-維和3-維中心仿射幾何中的曲線曲面運動，但是對更高維的曲線曲面運動沒有進行研究。在本文中我們對四維中心仿射幾何中的曲面運動進行研究，并得到了2+1維的破裂孤立子方程。

四維中心仿射幾何的等距變換是由特殊的線性變換SL(4,R)得到的線性變換。對于一般的曲線γ，只要滿足沿著曲線 [γ,γ(1)(p),γ(2)(p),γ(3)(p)]≠0，我們就可以用一個特殊的參數s重新參數化，使得在四維中心仿射幾何中，曲線的弧長由下式給出

ds=[γ,γ(1)(p),γ(2)(p),γ(3)(p)]1/6dp

其中p是任意的參數，曲線的伏雷內標架為{γ,γ(1)(s),γ(2)(s),γ(3)(s)}。

在四維中心仿射幾何中，曲線的伏雷內公式可以寫成

(1)

這里的κ1,κ2,κ3是四維中心仿射幾何的曲率。

四維中心仿射幾何中的不變曲線流由下式控制

γt=Eγ+Fγ(1)+Gγ(2)+Hγ(3)

(2)

其中E,F,G,H是曲線的速率，依賴于四維中心仿射曲率κ1,κ2,κ3。

由方程(1)和(2)，我們可以得出四維中心仿射幾何的時間演化為

(3)

其中E,F,G,H，Ei,Fi,Gi,Hi,i=1,2,3是依賴于曲線的曲率κ1,κ2,κ3及其導數的待定函數。

由相容性條件?s?t=?t?s，我們可以得到下列的方程組

E=-3/2Fs-Gss-1/2κ3G-1/4Hsss-

5/4κ3Hs-3/4(κ3s+κ2)H,

E1=Es+κ1H,

F1=E+Fs+κ2H,

G1=F+Gs+κ3H,

H1=G+Hs，

E2=E1s+κ1H1，

F2=E1+F1s+κ2H1,

G2=F1+G1s+κ3H1,

H2=G1+H1s，

E3=E2s+κ1H2,

F3=E2+F2s+κ2H2，

G3=F2+G2s+κ3H2，

H3=G2+H2s

以及四維中心仿射曲率κ1,κ2,κ3所滿足的系統

(4)

其中

(2κ3sss-4κ1s-κ3κ3s-1/2κ2κ3)?s-1/2κ3ssss+

1/2κ3κ3ss+κ1ss+1/2κ2κ3s,

(17/4κ3ssss+3κ2sss)-11/4κ3κ3ss-4κ1ss-3/2κ3κ2s-

3/4κ2ssss+κ1sss+3/4κ3κ3sss+3/4κ2κ3ss+

3/4κ3κ2ss+3κ1κ3s+3/4κ2κ2s,

2κ3sss+κ2ss+2κ1s+κ3κ3s,

(14κ3sss+5κ2ss-8κ1s-4κ3κ3s-7/2κ2κ3)?s-3κ3ssss-

2κ2sss+3/2κ3κ3ss+3κ1ss+3κ2κ3s+3/2κ2sκ3,

7/2κ3sss-3/2κ2ss+3κ1s+3κ3κ3s

為了將四維中心仿射幾何中1+1維的曲線運動公式推廣到2+1維，我們對四維中心仿射幾何中的曲線運動公式增加一個額外的空間變量y。由于這種曲線運動的變量之間的相容性條件滿足曲面的高斯-科達齊-麥因納爾迪公式，因此我們也把這種曲線運動稱為是曲面運動。

我們假定四維中心仿射幾何中的標架向量的y演化為

其中e,f,g,h，ei,fi,gi,hi,i=1,2,3是依賴于曲線的曲率κ1,κ2,κ3的待定函數。

變量s和y之間的相容性條件給出了下面的方程組

(5)

這里的L,M,N,Li,Mi,Ni,i=1,2如上。

同樣地，變量y和t之間的相容性條件可以導出下列方程組

ft=Fy+fE-eF+f1F-fF1+

f2G-gF2+f3H-hF3,

gt=Gy+gE-eG+g1F-fG1+

g2G-gG2+g3H-hG3,

ht=Hy+hE-eH+h1F-fH1+

h2G-gH2+h3H-hH3

(6)

方程組(4)-(6)不是完全獨立的。

令G=0,H=0,κ2=κ3s,κ1=9α+3/2βss,

我們就得到了四維中心仿射曲率所滿足的演化系統

引入變換β=-2us我們就得到了

ust=usssy+4ususy+2ussuy

這是可積的破裂孤立子方程，我們可以按照逆散射的方法求它的解。

參考文獻：

[1]HASIMOTO H. A soliton on a vortex filament [J]. J Fluid Mech, 1972, 51: 477-485.

[2]GOLDSTEIN R E, PETRICH D M. The Korteweg-de Vries hierarchy as dynamics of closed curves in the plane [J]. Phys Rev Lett, 1991, 67: 3203-3206.

[3]DOLIWA A, SANTINI P M. An elementary geometric characterization of the integrable motions of a curve [J]. Phys Lett A, 1994, 85: 373-384.

[4]NAKAYAMA K, SEGUR H, WADATI M. Integrability and the motion of curves [J]. Phys Rev Lett, 1992, 69: 2603-2606.

[5]SCHIEF W K, ROGERS C. Binormal motion of curves of constant curvature and torsion [J]. Generation of soliton surfaces, Pron Roy Soc Lond A, 1999, 455: 3163-3188.

[6]CHOU K S, QU C Z. Integrable motions of space curves in affine geometry [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2002, 14: 29-44.

[7]QU C Z, ZHANG S L. Motion of curves and surfaces in affine geometry [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 20: 1013-1019.

[8]BEFFA G M, SANDERS J A, WANG J P. Integrable systems in three-dimensional Riemannian geometry [J]. J Nonlin Sci, 2002, 12: 143-167.

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