文科線性代數教學實踐與思考

任立民 福建江夏學院信息系，福州 350108

文科線性代數教學實踐與思考

任立民 福建江夏學院信息系，福州 350108

由于線性代數理論性很強，高的抽象，嚴謹，再加上課時較少，老師難教，學生難學，作者經過多年教學經驗，對線性代數的課程體系改革、教學方法以及學習技巧等進行剖析總結與大家分享，希望同行之間加強交流與合作，進一步提高文科線性代數的教學質量。

線性代數；教學實踐與思考；教材體系改革；教學方法改革

引言

隨著經濟、管理和信息等學科的飛速發展和更新，對數學的要求越來越高，本文試圖結合我對線性代數教學的一些實踐經驗進行分析，思考與探索。線性代數作為數學學科的一個分支根植于古老的歐式幾何、解析幾何、線性方程組理論三者構成了線性代數的歷史淵源，是研究線性范疇的一門理論學科。

線性代數教學被認為是困難的。同微積分相比，一些學生甚至感覺到好像“來到了另外一個世界”。有些十分簡單的概念學生都無法理解，譬如有的同學對“逆序數”就無法理解，老師也往往感到非常困惑。應該承認，線性代數學習的困難，跟他們相關的預備知識不足和學習能力水平有關。因為在抽象化過程中需要有批判的眼光，找出事物的本質特征，再加以一般化，這往往是大一新生所缺乏的。為此，我們需要找出一些合適的教法和學法。

一、國內院校線性代數課程與教材體系改革

自80年代以來，隨著計算機科學的迅猛發展和更新，線性代數作為一門“工具”課，無論是在研究手段，研究對象還是研究成果都正在飛速發展，對國內非數學專業的線性代數課程教材主要包括：行列式—矩陣—線性空間—線性方程組—特征值與特征向量—二次型—應用模型理論。這幾乎成為大多數教材的標準，只是不同教材安排次序不一樣而已。對此，怎么看待這種現象呢？我想可能是由以下三個原因造成的。一是歷史原因。事實上，行列式、矩陣、線性方程組等線性代數學科的具體對象原本是各自獨立的（當然也有某種聯系）發展演化而來，逐漸成為一門學科是后來發展的。其次，對具體“教學”對象一個個地進行介紹，每一個部分相互獨立，好像比較容易接受，因而長期沿襲下來了。再次是非數學專業學時很少。我現在所教的線性代數就只有36課時，所以更愿意把它花到工具使用的那些內容上，至于線性代數的理論核心部分只能點到為止了。通過幾年的教學下來，對這種現象我頗有怨言，學生實際沒有學到線性代數的真正內容，但現實的課時問題沒辦法解決，也就無從說起。尤其是在信息化和素質教育的今天，線性代數不能只是當做“工具”來使用。

學生普遍反映線性代數“抽象”難懂。一個簡單的逆序數就讓學生頭疼，相關性無從下手，線性空間更是抽象。學生難學，老師難教。如何改變這種困境呢？以科學性、知識性和實用性為原則，嘗試一下改變《線性代數》教材內容體系。以矩陣的初等變換為主線進行教學：

（一）先講矩陣及其運算—矩陣的初等變換—用初等變換求逆矩陣—用初等變換解方程組—用初等變換求向量組的極大無關組和秩—化二次行為標準型。

（二）向量空間中首先給出二維、三維向量之間的關系，結合幾何直觀上給出線性相關和線性無關的具體含義，然后拋出抽象的定義。把空間解析幾何與線性代數中的概念、性質類比，從而，使抽象的概念具體而直觀的表現，學生更容易接受。

（三）用矩陣行向量組的秩定義矩陣的行秩，列向量組的秩定義矩陣的列秩，直接說明矩陣的行秩等于列秩，然后介紹向量空間與方程組解的結構。這樣就可以回避行列式的定義。這不僅保持內容完整而嚴謹，并且降低了難度，學生更容易理解領會。

（四）歸納定義行列式的定義，羅列行列式的性質并簡單證明。

（五）通過實例引入方陣的特征值與特征向量，實對稱矩陣的對角化，化二次型為標準型等串聯起來。實踐證明，這種教學嘗試是成功的，教學效果明顯改善，學生的反響和考核成績都得到明顯改善和提高。

二、教育教學方法改革探索

目前該課程仍以講授為主，對基礎好的同學沒有任何問題，而對學習主動性差，基礎薄弱的同學而言，就聽不懂，不會做練習，甚至厭學，結果就會出現兩極分化。這種現象引發了我對教學方法的摸索與改革。后來，我進行了自學、討論、講授并輔助多媒體與網絡學習的方式進行教學試點。引領在教學實踐中進行“手、腦、心”的全方位自主學習，學生與老師共同探討，師生互動的新教學學習模式。讓學生由被動變為主動，教師也由領導者變為引路人，正所謂“師傅領進門，修行在個人”，事實上，老師應該是導演，學生是執行者。

講授法與其他教學法巧妙結合：譬如，講授法與探究法相結合，探究法是指老師組織和引導學生通過獨立的探究和研究而獲得新知識的一種方法。它首先是指學生在學習數學概念和數學原理時，教師只給提供一些事例和為題情景，讓學生通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論等途徑獨自探究，自行發現并掌握相應數學概念和原理；其次是指導學生解決問題是，老師只給創設出問題的情景，讓學生通過探究找到解決問題的方法。其指導思想是在老師的指導下，以學生為主體，讓學生自覺地、主動地探索，掌握知識和解決問題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發現事物的起因和事物的內部聯系，從中找出規律，形成自己的概念。這種方法實際上對學習線性代數很有幫助，但由于時間的限制無法實現，我們不妨把這種思想應用到講授過程中，卻會收到不錯的教學效果。因為學生參與了這種過程才會身臨其境的體會其中的奧妙和樂趣。

另外，教學中不僅要重視優化學生的認知結構，更要培養學生將陳述型知識轉化為理解型、應用型知識的能力。要做到這一點，只有將結果與過程有機的結合，才能體現其思維過程，其真正的數學思想才得以提煉與升華。這就需要老師在講授知識點的同時，還要揭示他們之間的內在聯系，使這些知識能融會貫通。譬如在介紹完行列式的計算需要總結常見的類型和方法：

（一）定義法—將行列式按某行（列）展開化為低階的行列式（注意零按元素較多的行（列）展開可以簡化運算）。

（二）零值法—對于各行（列）形式基本一樣，只是字母的符號略有不同的行列式常用此法。將某一行（列）的若干倍數加到另外兩行（列）上，使其兩行（列）成比例即可。

（三）三角形法—利用行列式的性質將其化為上（下）三角形行列式得出結果，這是最常用的一種方法。

（四）遞推法—一般從原行列式出發，找到高階行列式和一個或幾個同型的低階行列式之間的關系式，歸納遞推得出結論。

（五）拆項法—行列式中某行（列）的元素為兩數（以上）相加時把原行列式拆成幾個簡單行列式相加的方法。

（六）范德蒙法—將原行列式利用性質化為范德蒙行列式，再利用結論計算行列式的方法。

要把現代信息技術與線性代數相結合，應善于以信息技術和計算機技術為手段，把信息技術與應用性相結合，培養學生應用數學軟件、構件數學模型、完成與文科相關課程的定量分析能力，掌握解決問題的算法及其實現，掌握一些數學軟件的應用。提高效率，節約課時，激發學生學習的熱情和創新精神。

以上是筆者在線性代數教學實踐中的一些嘗試，希望能和更多的同行和需要學習線性代數的同志共同學習進步，提高學習質量，促進本科教學質量。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2011.08.173