在高等數學教學中開展數學實驗的探討

王凡剛

(臨沂大學 繼續教育學院，山東 臨沂 130022)

1 什么是數學實驗

數學實驗在上世紀80年代出現于美國的一些大學，被稱為“數學實驗室”，重點是通過一系列的結合使用計算機的實驗引導學生進入數學的境界。我國高校在上世紀90年代中期開始設置“數學實驗”課，發展極為迅速，目前許多學校已經或準備開設這門課。筆者以為，數學實驗至少包含以下三層含義:

(1)數學實驗(Mathematics Experiment)是一門新的數學課程。它是利用計算機和數學軟件平臺，一方面對學習知識過程中的某些問題進行實驗探究、發現規律，另一方面，結合已掌握的數學(微積分，代數與幾何等)知識，去探究解決一些簡單實際問題，從而熟悉數學建模，解法研究到實驗分析的科學研究的方法。

(2)數學實驗是一種新的教學模式。它采用開放式教學，運用現代教育思想，改變傳統的數學教學模式，把學生上機實踐與多媒體教學手段相結合，使學生由被動接受轉變為積極主動參與。它將數學知識、數學建模與計算機應用相結合，培養學生用所學的知識建立數學模型，并借助于數學軟件或自己編程，使用計算機解決實際問題的能力。

(3)數學實驗是一種教學過程。它是通過讓學生自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程。在這過程中教師處于主(要引)導的地位，而學生則處于主動學習的地位。

2 在高等數學教學中為什么要進行數學實驗

2.1 數學實驗是時代發展的需要量

人類社會進入21世紀，正逐步從工業經濟時代向知識經濟時代過渡，數學科學的地位發生了巨大的變化。經濟發展的全球化和計算機技術的迅猛發展，數學理論與方法的不斷擴充使得數學的應用越來越廣泛和深入，它不僅應用于自然科學領域，而且已滲透到軍事、經濟、社會、人文科學領域。數學在高科技領域中的重要地位和作用日益突出，已成為當代高科技的一個重要組成部分。教好數學、學好數學，迅速提高國民的數學素質成為一個迫切的時代要求。基于此，我們認為定量分析等數學素質是面向21世紀知識經濟時代人才素質的一個重要方面，是培養創新能力的一個重要方法和途徑，開設數學實驗課將會在這方面起著重要的作用。

2.2 開設數學實驗是數學科學發展的需要

現代計算機科學取得了舉世矚目的成就，大量功能強大的數學軟件包的出現，使得過去很多繁瑣的數學計算變得輕而易舉。例如在廣泛的應用工程領域，微分方程的求解，線性規劃問題，只要編制一些簡單的程序即可得到滿足應用需要的數值解。另外很多復雜的幾何圖形，抽象難懂的數學概念都可以通過計算機直觀顯示。在計算機技術日益普及的新時代，若數學科學不抓住這一機遇，用最先進的技術手段武裝自己，將會大大降低數學科學的作用與地位。開設數學實驗將先進的技術成果應用于實踐，一方面增強了數學的實踐功能，另一方面也有助于數學科學本身向前發展。

2.3 開設數學實驗是高等數學教學改革的需要

長期以來，人們對數學教學的認識就是概念、定理、公式和解題，認為數學學科是一種具有嚴謹系統的演繹科學，數學活動只是高度的抽象思維活動。但是，數學不只是邏輯推理，還有實驗。G·波利亞曾指出:“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾也曾指出:要實現真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的。在傳統的課堂里，再創造方法不可能得到自由的發展。

數學實驗課的設立，首先是改變了高等數學課程那種僅僅依賴“一支筆，一張紙”，由教師單向傳輸知識的模式。它提高了學生在教學過程中的參與程度，學生的主觀能動性在實驗中能得到相當充分的發揮。好的實驗會引起學生學習數學知識和方法的強烈興趣并激發他們自己去解決相關實際問題的欲望，因此數學實驗有助于促進獨立思考和創新意識的培養。

其次數學實驗改變了高等數學教學中原有的從概念定理出發進行理論教學的模式，轉向加強數學知識的應用能力的培養。提高了學生自覺地應用數學知識解決實際問題的能力，能夠促進學生基本技能和專業技術水平的提高，培養學生的創造能力。

2.4 數學實驗有助于激發學生的學習興趣，促進學生創造能力和實踐能力的培養

“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”(G·波利亞)。飛速發展的計算機技術恰好為我們提供了一個良好的自己發現問題的工具。借助于計算機，通過學生親自設計和動手，可體驗解決問題的全過程，從實驗中去探索、學習和發現數學規律，充分調動學生學習的主動性。可以培養學生的創新意識，運用所學知識，建立數學模型，使用計算機并利用數學軟件解決實際問題的能力，最終達到提高學生數學素質和綜合能力的目的。

通過數學實驗可以使學生提高分析問題、解決問題的能力，提高學習數學的興趣和應用數學的意識，使他們在今后工作中能經常性地、有意識地想到用數學的方法去解決實際問題。同時，提高他們利用計算機軟件以及當代最新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來，更科學、更便捷地去處理各種問題.這種數學模式的顯著特點，一是使數學思維(即邏輯思維)的過程視覺化、形象化，從而刺激大腦接受信息的興奮點，起到激發學習興趣的效果。二是借助計算機技術，開展人機對話，既能鞏固學到的數學知識，又能提高計算機運用水平，有利于培養創新精神，提高創新能力。

通過數學實驗，可以讓學生體驗數學發現創造的過程。數學的魅力是多方面的，許多數學結論被發現的過程更具神秘感.但是教師在處理較為抽象的數學知識，顯得過于直接，學生的學習過程大多經歷:了解結論、論證結論、應用結論這樣的幾個過程.這樣的結果是:知識在學生頭腦中的印象常常盡快消失。可以這樣說，這樣的一個學習過程是不成功的。因為數學實驗拋開了抽象的數學定義、定理的推導證明，將復雜的公式和方程變為有限的操作程序，即可得到各種需要的數值結果，而這些結果的取得也許用傳統的計算方法需要花費十倍甚至幾十倍的時間才能解決。在較短時間內即可讓學生體會到發現數學、創造數學的快樂。借助于數學實驗可以迅速突破難點，加深對相關概念、知識的理解;有助于揭示概念本質，展現知識發生、發展的過程，幫助學生形成正確的數學觀。

3 數學實驗課的實施應注意的問題

3.1 開展數學實驗課要因材施教，結合學生認知水平有計劃地進行

要從教學設施、教材內容、學生能力等實際情況出發，數學實驗活動要由淺入深，教師的指導也要由多到少，逐漸過渡到學生的自主實驗。在數學實驗活動中，學生是學習的主人，教師是學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同實驗者，在開展活動時，要注意學生非智力因素的培養，鼓勵學生自己主動完成實驗，及時肯定學生的積極表現，鼓勵創新，與學生平等地進行交流和討論，創設民主、和諧的實驗氣氛，建立新型的師生關系。

3.2 選擇合適的數學軟件平臺

目前常用數學軟件有的Mathematica、Matlab、Maple等，基本上都能夠實現高等數學的主要計算。在這幾款軟件中，本人更傾向于選擇Mathematica，主要它有如下優點:①符號運算更方便，不需事前聲明。特別是，3.0以上版本建立了專用模板，輸入數學公式和各種操作既簡便又直觀，還可根據需要自制模板，這是同類軟件不可比擬的;②繪圖操作簡便，并帶有擴展的繪圖軟件包，使得繪圖功能更加完善;③數值計算精度高，更具數學的嚴肅性，是精確計算軟件的佼佼者。

3.3 精心設計實驗過程

上機實驗前先復習相關的知識點，掌握要用到的公式、定理、結論，還要給學生介紹一些計算方法，數學軟件的功能及操作原理，然后再逐步進入實驗過程。在每次上機實驗前要明確地告訴學生實驗的目的，實驗的過程、方法及步驟。例如，在學習極限時，為了了解數列的變化趨勢，實驗步驟設計如下:第1步，運行命

圖1

圖2

圖3

3.4 在實驗過程中細心指導學生的實驗

數學實驗應以學生獨立操作為主，教師輔導為輔。但在實驗過程中，一些命令、參數學生經常會輸入錯誤，比如字母的大小寫，函數拼寫錯誤，參數不足等等，這時教師應及幫助學生。在教學過程中，教師還要經常提出一些思考題目，甚至一些猜想，鼓勵學生獨立思考，勇于創新。要保證學生上機的時間，確實能讓學生自己動手操作，最后要求學生寫出包括算法、計算機的實現、計算結果及其分析等內容的實驗報告。

數學實驗作為一種新興的數學教學手段正在受到越來越多的數學工作者的關注，隨著研究者的增多，數學實驗的內容、方法和意義會被更的人們所認識。如何上好數學實驗課，讓數學實驗更好地服務于高等數學教學工作，也對我們每個數學工作者構成了一個挑戰。這不僅要求我們具備較高的數學專業水平，更需要具備豐富的實踐經驗和解決問題的能力。這也迫使我們學習新的更多的知識和現代科學技術，特別是計算機技術，迫使我們了解數學以外的世界，不斷地更新知識，努力提高業務水平和科研能力。

［1］趙靜.但琦.數學建模與數學實驗［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］白峰衫，蔡大用譯.數學實驗室［M］.北京:高等教育出版社，1998.

［3］姜啟源.數學實驗與數學建模［J］.數學的實踐與認識，2001，31(5):613－617.

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