基于RTK GPS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測系統(tǒng)研究

王人鵬，姚連璧，孟曉林

(1.同濟大學(xué)建筑工程系，上海 200092;2.同濟大學(xué)測量與國土信息工程系，上海 200092;3.諾丁漢大學(xué)，英國諾丁漢)

基于RTK GPS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測系統(tǒng)研究

王人鵬1，姚連璧2，孟曉林3

(1.同濟大學(xué)建筑工程系，上海 200092;2.同濟大學(xué)測量與國土信息工程系，上海 200092;3.諾丁漢大學(xué)，英國諾丁漢)

利用GPS系統(tǒng)在線監(jiān)測獲取的大量結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，完成了大量數(shù)據(jù)處理工作，得到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時間序列。在此基礎(chǔ)上，完成了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜分析，初步建立了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA(autoregressive moving average method)模型。計算分析結(jié)果與大橋通車試驗的實測結(jié)果及有限元模型預(yù)測結(jié)果相當吻合。研究表明，基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA模型是評估結(jié)構(gòu)動力性能的有力工具，同時進一步驗證了通過RTK GPS系統(tǒng)建立結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測系統(tǒng)的可能性。

RTK GPS系統(tǒng);時間序列;狀態(tài)空間模型;ARMA模型;有限元模型

1 前言

在南浦大橋的在線觀測試驗中，通過GPS接收機得到的觀測信號，經(jīng)過專門的處理分析計算，可以得到測點的空間位置信息。關(guān)于RTK GPS(realtime kinematic global positioning system)技術(shù)參見文獻［1］。由于連續(xù)在線觀測，實際可以得到每個測點連續(xù)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)序列，即橋梁坐標系下測點的坐標時間序列。這些響應(yīng)數(shù)據(jù)是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全評估的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，隱含著豐富的力學(xué)信息。結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以使用狀態(tài)空間模型及ARMA模型比較深入地描述。其中ARMA模型可以推廣為向量形式的ARMA模型即ARMAV(autoregressive moving average rector method)模型。結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測的目標就是通過對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出信號的計算分析，識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的力學(xué)特征及力學(xué)參數(shù)，用于預(yù)測結(jié)構(gòu)安全狀況及完成結(jié)構(gòu)性能的安全評估。

一般情況下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)過程可以使用一組二階線性微分方程組描述，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)方程，該微分方程組可以變換為標準的狀態(tài)空間方程形式。現(xiàn)代控制理論對線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程已經(jīng)有了許多深刻的理論結(jié)果［2～6］。在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間理論中，針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主要力學(xué)參數(shù)，即結(jié)構(gòu)自然頻率、結(jié)構(gòu)阻尼，引入一系列結(jié)構(gòu)動力學(xué)一般不涉及的重要概念，推導(dǎo)了一系列重要結(jié)論，它們對于結(jié)構(gòu)試驗、結(jié)構(gòu)識別及結(jié)構(gòu)在線監(jiān)測都是非常重要的結(jié)果［3］，構(gòu)成了結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測的理論基礎(chǔ)。例如，狀態(tài)空間理論引入了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極點概念。結(jié)構(gòu)極點總是一對共軛復(fù)數(shù)，聯(lián)系了兩個最重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)即結(jié)構(gòu)頻率與結(jié)構(gòu)阻尼［3］。狀態(tài)空間理論引入了結(jié)構(gòu)范數(shù)概念。在結(jié)構(gòu)安全檢測分析中，結(jié)構(gòu)范數(shù)可以作為結(jié)構(gòu)模態(tài)截取的依據(jù)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)模型的自由度消減，同時可以作為結(jié)構(gòu)安全或者結(jié)構(gòu)破損的依據(jù)［3］。每個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程都可以等價地由相應(yīng)的ARMAV模型表示。同樣每個ARMAV模型也可以等價為某一結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程［7］。筆者將以結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間理論及相應(yīng)的ARMA模型為理論基礎(chǔ)，初步完成有關(guān)結(jié)構(gòu)響應(yīng)序列的狀態(tài)空間模型及ARMAV模型的建立及結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜分析。

2 測點時間序列

由GPS接收機得到的觀測信號，經(jīng)過專門的分析處理程序，可以得到測點的空間位置信息。通過連續(xù)在線觀測，可以得到在選定參考坐標系下，每個測點在觀測時間段內(nèi)一系列時刻的空間坐標，即測點的坐標時間序列。在對南浦大橋連續(xù)在線觀測試驗中，通過大量數(shù)據(jù)處理工作，針對12個GPS測點，得到了每個測點在橋梁坐標系下每個觀測時間段的三維坐標值，即36個坐標時間序列。由于采樣間隔為0.1 s，觀測時間為2 h，每個坐標時間序列含有大量的時間坐標數(shù)據(jù)。應(yīng)當指出，在實施橋梁在線觀測過程中，不可避免地出現(xiàn)某些觀測點上觀測信號的非正常中斷。因此在2 h的時間段內(nèi)，某些觀測點的時間序列會出現(xiàn)時間間隔不連續(xù)現(xiàn)象，即某些時間段上不存在觀測坐標數(shù)據(jù)。在后續(xù)的工作中，將采用選定的公共時間段進行有關(guān)的分析計算。

為敘述方便，對36個坐標時間序列采用下面的命名方式，如coord－8－24－2，其中coord表示坐標值，必要時三個空間坐標值分別記為xcoord，ycoord及zcoord。其中的第一個數(shù)字代表觀測點的編號，該數(shù)值可以取為1，2，…，12;第二個數(shù)字代表觀測日期，代表2006年9月21—24日4天觀測日期;第三個數(shù)字代表觀測時間段，1、2、3分別代表一天內(nèi)的三個觀測時間段，即 9:00—11:00、16:00—18:00、23:00—1:00。三個時間段分別代表了橋梁結(jié)構(gòu)所受載荷狀態(tài)的典型時間段。

由于坐標時間序列包含大量的數(shù)據(jù)，分析結(jié)果十分龐大，為節(jié)省篇幅，在文章的后續(xù)部分，僅給出某一很短時間段上的圖形顯示，用以說明分析計算結(jié)果。對2006年9月23日第二觀測時段16:00—18:00內(nèi)，時間長度為600 s(開始的GPS時間為548900 s)，抽取36個坐標時間序列，形成36個600 s長的坐標時間序列。以此36個坐標時間序列作為結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間模型及ARMA模型的系統(tǒng)輸出(Multi-Output)，完成有關(guān)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別分析計算。此時36個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸出通道中x坐標、y坐標及z坐標分別記為3i－2，3i－1和 3i，其中 i=1，2，…，12。

對36個通道的坐標時間序列作如下處理:計算序列的平均值，然后時間序列減去序列平均值得到新的時間序列。這樣得到的時間序列可以近似作為觀測點附近結(jié)構(gòu)的位移近似值。此外，將得到的各個時間序列分為兩部分，一部分用深色表示，該部分數(shù)據(jù)用以建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA模型;一部分用淺色表示，該部分數(shù)據(jù)用于狀態(tài)空間模型及ARMA模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的比較，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)驗證［2］。36個通道的時間序列圖形，如圖1所示。

由圖1可知，即使在600 s的時間內(nèi)，12個測點的坐標時間序列構(gòu)成也非常復(fù)雜，表明橋梁結(jié)構(gòu)在運營狀態(tài)下的振動非常復(fù)雜。這與有限元模型預(yù)測的復(fù)雜結(jié)構(gòu)振型將導(dǎo)致的復(fù)雜結(jié)構(gòu)位移相當吻合。由各個測點的時間位移序列圖可知，它們都表現(xiàn)了某種程度的隨機性特征，應(yīng)該是環(huán)境荷載的隨機性導(dǎo)致。觀測點4及9上的時間序列表現(xiàn)有些特別，位移近似值比較大。觀測點2上的位移值與對稱的觀測點7的相應(yīng)位移值比較，在一系列的時刻點上偏大。目前還無法確切判斷這些偏大的位移值是否意味著結(jié)構(gòu)在經(jīng)歷了十余年的運營之后，結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生了不可逆轉(zhuǎn)的變化，但傾向于結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生了某種程度的變化。這些現(xiàn)象無疑應(yīng)引起關(guān)注，需要做進一步的深入研究。

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜分析

結(jié)構(gòu)響應(yīng)包含豐富的結(jié)構(gòu)信息，其中振動譜對了解結(jié)構(gòu)動力性能具有基本意義。對36個結(jié)構(gòu)位移時間序列，進行了大量譜分析計算。為節(jié)省篇幅，下面只給出典型測點對應(yīng)的600 s長的坐標時間序列的譜分析結(jié)果，如圖2所示。

圖1 測點1、4、8對應(yīng)的x坐標序列、y坐標序列及z坐標序列(從左至右，從上到下)Fig.1 x-coordinate，y-coordinate，z-coordinate time series of 1，4，8 onitoring station points(arranged from left to right and from top to down)

圖2 測點1、4、8對應(yīng)的x坐標序列、y坐標序列及z坐標序列的譜估計(從左至右，從上到下)Fig.2 Spectrum estimations for x-coordinate，y-coordinate，z-coordinate time series of 1，4，8monitoring station points(arranged from left to right and from top to down)

圖2顯示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號所對應(yīng)的頻譜估計是通過Matlab的Spa函數(shù)得到的［8］，已經(jīng)通過光滑處理。為比較方便起見，下面列出了大橋通車試驗實測頻率，見表1［9］，有限元模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)自然頻率，見表2。從圖1、圖2可知，結(jié)構(gòu)譜分析預(yù)測的振動頻率集中在0～1.5 Hz，此范圍之外的頻率無法清晰獲取。譜分析只能較好分離出對測點振動貢獻最大的前若干階頻率，每個測點對應(yīng)的譜估計都不盡相同，同一測點空間三個方向?qū)?yīng)的譜估計也不盡相同，這反映了結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的空間分布的復(fù)雜性，也是對有限元模型預(yù)測的振型復(fù)雜空間分布的某種程度的驗證。由譜分析得到自然頻率的近似值，與大橋通車試驗實測頻率(見表1)及有限元模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)自然頻率(見表2)都相當一致，有些信號得到的頻率估計非常接近試驗所得的頻率及有限元模型預(yù)測的頻率(如測點9的x坐標序列、y坐標序列的譜分析結(jié)果)。這從一個側(cè)面檢驗了筆者得到的時間序列及相應(yīng)譜分析的可靠性，由此也驗證了結(jié)構(gòu)動力特性的可分解性，即結(jié)構(gòu)上任意點的結(jié)構(gòu)響應(yīng)包含了大量的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特征，并且可以通過譜分析的方法得到結(jié)構(gòu)的動力參數(shù)估計［3］。

表1 南浦大橋全橋運營狀態(tài)實測振動參數(shù)Table 1 Lower frequency measured by experiments

表2 南浦大橋結(jié)構(gòu)有限元模型預(yù)測的20階頻率Table 2 First 20 order frequency predicted by finite element model

譜估計的方法有多種，筆者已對36個時間序列進行了各種譜分析計算，為了減少篇幅，下面只給出典型測點3、8、11、12所對應(yīng)的z方向的各種譜分析結(jié)果，如圖3所示。

從上述譜分析結(jié)果可知，同樣的時間序列可以得到不同的譜分析結(jié)果。Blackman-Tukey方法可以比較清晰地分解出信號的頻率分量，但會丟失一些頻率分量;Frequency dependent resolution可以比較分解出更多信號的頻率分量，但可能會額外分解出一些噪聲頻率;Empiricaltransferfunction可以比較分解出比第二種方法更多信號的頻率分量，同時會額外分解出更多的噪聲頻率。為對結(jié)構(gòu)響應(yīng)做進一步的深入分析，需要研究各種譜分析理論，選擇適宜的譜分析方法。

圖3 測點3、8、11、12 z坐標序列對應(yīng)的 Blackman-Tukey，F(xiàn)requency dependent resolution及Empirical transfer function譜估計(從左至右，從上到下)Fig.3 Spectrum estimations for z-coordinate time series of 3，8，11，12 monitoring station points with Blackman-Tukey，F(xiàn)requency dependent resolution，Empirical transfer function method(arranged from left to right and from top to down)

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA模型

由36個通道的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號，筆者初步建立了相應(yīng)的狀態(tài)空間模型及 ARMAV 模型［2，3，7，8］。狀態(tài)空間模型及ARMAV模型的建立需要大量的計算資源，筆者已經(jīng)完成了大量的建模計算。為了減少文章篇幅，下面只給出了利用上述時間長度600 s的36個坐標時間序列中的12個坐標時間序列，即3、8、11、12觀測點的時間序列作為輸出信號建立的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA模型。這些觀測點都位于一些特殊空間位置，觀測點3和8對應(yīng)跨中位移，觀測點11和12對應(yīng)塔頂?shù)奈灰疲鼈兌紤?yīng)該具有較大彈性變形，因此測點z方向有較大的結(jié)構(gòu)位移。下面以圖形的方式，給出3、8、11測點z方向結(jié)構(gòu)響應(yīng)對應(yīng)的狀態(tài)空間模型的預(yù)測、極點和零點分布，如圖4所示。

圖4 測點3、8、11 z坐標序列對應(yīng)的由12個輸出、0個輸入、10個狀態(tài)變量、350個自由參數(shù)構(gòu)成的狀態(tài)空間模型的預(yù)測、極點和零點分布(從左至右，從上到下)Fig.4 Measured and simulated model output，poles and zeros of state space models which generated from z-coordinate time series of 3、8、11 monitoring station points with 12 outputs，0 input，10 states and 350 free parameters(arranged from left to right and from top to down)

圖4中每一行對應(yīng)一個測點的z坐標時間序列的狀態(tài)空間模型的性能，每一行從左至右的第一幅圖代表狀態(tài)空間模型預(yù)測情況，其中深色代表實測信號，淺色代表預(yù)測信號;橫坐標為采樣時間，縱坐標為z坐標值。右側(cè)小窗口的符號代表狀態(tài)空間模型記號，數(shù)字代表預(yù)測精度。每一行的第二幅圖是狀態(tài)空間的零點及極點分布，其中橫坐標為零點及極點的實部，縱坐標為零點及極點的虛部。極點是結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，自然頻率及阻尼系數(shù)的復(fù)變函數(shù)［3］。極點模就是自然頻率，極點轉(zhuǎn)角的余弦就是阻尼系數(shù)。筆者認為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極點分布可以作為評估結(jié)構(gòu)動力性能的一種方法，它們隨時間變化的情況可能作為評估結(jié)構(gòu)安全的一種指標。每一行的第三幅圖是z方向輸入信號對應(yīng)的狀態(tài)空間模型的躍階響應(yīng)(step response)，其中橫坐標為時間，縱坐標為狀態(tài)空間模型的躍階響應(yīng)。狀態(tài)空間模型是由輸入輸出信號、狀態(tài)變量及結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的。以上分析結(jié)果選用了12個輸出信號，即3、8、11、12測點的結(jié)構(gòu)響應(yīng)作為輸出信號，由于無法測量結(jié)構(gòu)載荷，因此選用0個輸入信號，同時使用350個自由參數(shù)，建立了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型。以下是采用了更多的自由參數(shù)(900個)建立的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型，如圖5所示。

圖5 測點3、8、11 z坐標序列對應(yīng)的由12個輸出、0個輸入、20個狀態(tài)變量、900個自由參數(shù)構(gòu)成的狀態(tài)空間模型的預(yù)測、極點和零點分布(從左至右，從上到下)Fig.5 Measured and simulated model output，poles and zeros of state space models which generated from z-coordinate time series of 3，8，11 monitoring station points with 12 outputs，0 input，20 states and 900 free parameters(arranged from left to right and from top to down)

圖5的表示方法與圖4相同。由圖4和圖5表示的狀態(tài)空間模型的極點分布，同樣可以得到結(jié)構(gòu)自然頻率和結(jié)構(gòu)阻尼的近似估計。通過極點分布確認結(jié)構(gòu)自然頻率集中在0～1.0 Hz范圍內(nèi)。由極點推測的自然頻率與譜分析推測的自然頻率、大橋通車試驗實測頻率及有限元模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)自然頻率(見表2)都相當吻合。比較上述兩個狀態(tài)空間模型可知，增加模型的階數(shù)可以得到更精確的狀態(tài)空間模型，即模型預(yù)測具有更好的精度。

圖6是結(jié)構(gòu)響應(yīng)的ARMA模型，表示方法與圖4相同。同樣給出了3、8、11、12測點z方向時間位移序列對應(yīng)的ARMA模型的預(yù)測、極點和零點分布，每行圖形的安排與圖4相同。

由圖6表示的ARMA模型的極點分布，同樣可以得到結(jié)構(gòu)自然頻率和結(jié)構(gòu)阻尼的近似估計，與通過的狀態(tài)空間模型得到的相應(yīng)估計大體吻合。

對如何選擇坐標時間序列以組成輸出信號，存在數(shù)量極大的選擇組合。算例只給出了4個測點在600 s時間長度內(nèi)構(gòu)成的時間序列的分析結(jié)果，實際觀測數(shù)據(jù)的時間長度在20 h以上，數(shù)據(jù)量極為龐大，構(gòu)成時間序列的選擇組合也極為龐大。如何構(gòu)成輸出信號，以便建立有效的狀態(tài)空間模型及ARMA模型是需要深入研究的課題。對筆者給出的計算分析結(jié)果，不是強調(diào)相關(guān)模型預(yù)測的精確度，而是強調(diào)這些結(jié)果的統(tǒng)計性質(zhì)，因此沒有列出具體的估計值。如果獲取了結(jié)構(gòu)在長期的正常工作狀態(tài)下大量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，通過類似的大量的計算分析，完全能夠得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)空間模型及ARMA模型中各類參數(shù)隨時間變化的統(tǒng)計規(guī)律。例如，狀態(tài)空間模型對應(yīng)的極點及零點估計值的分布規(guī)律。筆者認為在結(jié)構(gòu)性能發(fā)生了很大變化時，結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計屬性應(yīng)該同樣發(fā)生較大變化，利用這些結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計屬性的變化可以預(yù)測結(jié)構(gòu)破壞。因此這些結(jié)構(gòu)性能參數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律可以作為結(jié)構(gòu)性能預(yù)測乃至結(jié)構(gòu)破壞預(yù)測的計算指標之一。

圖6 測點3、8、11 z坐標序列對應(yīng)的由12個輸出、0個輸入、576個自由參數(shù)構(gòu)成的ARMA模型的預(yù)測、極點和零點分布(從左至右，從上到下)Fig.6 Measured and simulated model output，poles and zeros of ARMA model which generated from z-coordinate time series of 3，8，11monitoring station points with 12 outputs，0 input，20 states and 900 free parameters(arranged from left to right and from top to down)

5 結(jié)語

實現(xiàn)大型土木結(jié)構(gòu)的安全監(jiān)測及評估涉及復(fù)雜的結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間理論、現(xiàn)代信號處理方法、系統(tǒng)識別、結(jié)構(gòu)動力性能測試技術(shù)等多門交叉學(xué)科，實用的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測及評估系統(tǒng)還面臨不少理論及實踐的困難。研究表明在結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間理論及現(xiàn)代信號處理方法的指導(dǎo)下，可以建立針對大型工程結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測及評估的理論基礎(chǔ)和算法基礎(chǔ);通過基于RTK GPS技術(shù)的位移測量技術(shù)，可以構(gòu)建基于RTK GPS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測系統(tǒng)。

［1］Samama N.Global Positioning:Technologies and Performance［M］.New York:Wiely，2008.

［2］Ljung L .System Identification［M］.Sweden:Prentice Hall，Englewood Cliffs ，1987.

［3］Gawronski W.Advanced Structural Dynamics And Active Control of Structures［M］.New York:Springer－ Verlag，2004.

［4］Candy J V.Model－ based Signal Processing［M］.New York:Wiely，2006.

［5］Staffans O.Well－ posed Linear System［M］.New York:Cambridge University Press，2005.

［6］胡壽松.自動控制原理［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［7］Andersen P.Identification of civil structures using vector ARMA models［D］.Denmark:Aalborg University，1997.

［8］MathWorks.Matlab System Identification Tools User Manual［M］.USA:The MathWorks Incorporated，2007.

［9］同濟大學(xué)橋梁實驗室.南浦大橋主橋振動試驗報告［R］.上海:同濟大學(xué)，1991.

Research on structural health monitoring(SHM)system based on RTK GPS system

Wang Renpeng1，Yao Lianbi2，Meng Xiaolin3

(1.Building Engineering Department，Tongji University，Shanghai 200092，China;2.Surveying and Geo-informatics Department，Tongji University，Shanghai 200092，China;3.The University of Nottingham，Nottingham，UK)

For the huge amount of raw data that were obtained during field data acquisition by the real-time kinematic global positioning system(RTK GPS)in structural health monitoring(SHM)system of the Nanpu Bridge in Shanghai，we finished lots of processing works and obtain x-coordinate ，y-coordinate，z-coordinate time series of all 12 monitoring station points.The coordinate time series were treated as the multi-outputs of the dynamic system and used to build the state space model and ARMA model and spectrum estimations for the response.The analysis results were consistent with the results of test that completed when the bridge was opened in 1990 and results that forecasted by fine finite element(FE)model.The research illustrated that the state-space model and ARMA model were efficient tools for evaluation of performance of civil structures，and furtherly proved the possibility of building the prototype SHM that based on RTK GPS.

RTK GPS system;time series;state-space model;ARMA model;finite element model

O241

A

1009－1742(2011)03－0063－08

2008－11－24;

2009－10－23

建設(shè)部專題項目“大型橋梁結(jié)構(gòu)安全檢測方法及系統(tǒng)研究”資助項目(20060909)

王人鵬(1964—)，男，山西芮城縣人，同濟大學(xué)副教授，博士，主要從事結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法及應(yīng)用研究;E-mail:renpengwang@hotmail.com