規則縱浪中船舶參數激勵橫搖運動研究

李浩 陸建輝

（中國海洋大學工程學院 山東 青島 266100）

規則縱浪中船舶參數激勵橫搖運動研究

李浩 陸建輝

（中國海洋大學工程學院 山東 青島 266100）

穩性；規則縱浪；參數激勵；非線性橫搖；初穩性高波動

考慮船舶橫搖運動中恢復力矩及阻尼力矩的非線性，建立船舶在規則波浪中參數激勵下的非線性橫搖運動方程，并對規則縱浪中船舶參數激勵橫搖運動進行研究，探討船舶發生參數激勵橫搖運動的條件及大幅橫搖的動力學特征，分析船速、波高及波長等因素對參數激勵橫搖運動的影響。

0 引言

船舶穩性研究是一個非常重要且復雜的課題。船舶在波浪上航行時，由于受到海浪的擾動作用而易產生大幅度搖蕩運動，完整地表述船舶在波浪上的運動模態需要定義6個自由度的運動方程，然而對于船舶傾覆來說，橫搖是最危險的模態，船舶傾覆大多都是由于橫搖角度過大引起的，船舶穩性的衡準一般也考慮橫風、橫浪作用時的橫搖狀態。大幅橫搖導致傾覆是風浪中航行船舶的最重要風險之一,也是最為復雜的力學問題。

船舶在航行中遭遇到風急浪高的惡劣天氣時，為了避免橫向大面積承受風浪載荷，普遍都會選擇調整航向，保持在縱浪或斜浪航行狀態。船舶在縱浪中航行時會發生垂蕩和縱蕩運動，一般不會發生橫搖運動。但是，目前大量的實驗資料和海難事故統計發現，在一定的遭遇頻率下，在縱浪和斜浪中航行的船舶也會發生大幅橫搖運動［1,2］，在極端情況下會破壞船體和貨物，存在傾覆危險。這種橫搖的誘發不是直接由時變的外力或外力矩引起的，而是由自身系統中系數的周期性變化引起的［3］。起伏的波浪表面加上縱搖、垂蕩運動，會導致船只水下幾何形狀的變化，使得水線面和橫向復原力矩發生變化，進而導致橫穩性高的變化，產生大幅度的橫搖運動。目前，學術界和工程界把這種現象稱為參數橫搖。縱浪中船舶發生參數激勵橫搖是導致船舶傾覆的重要模式,本文將經過分析推導及實例計算闡明發生參數激勵大幅橫搖的條件。

1 隨機縱浪中船舶參數激勵橫搖運動方程

考慮阻尼力矩和恢復力矩的非線性，以及升沉、縱搖和波浪共同作用產生的參數激勵項建立橫搖運動方程如下：

式中Iφφ——船體自身轉動慣量；

Jφφ——附加質量轉動慣量；

φ——橫搖角；

K（φ，t）——橫搖恢復力矩。

橫搖慣性矩是船體本身的慣性矩Iφφ與附加慣性矩Jφφ兩部分構成，其中船體自身慣性矩取決于船體的質量分布，附加慣性矩取決于船體水下部分的形狀及重心位置等因素。由船體的質量分布計算Iφφ或相應的流體力學的計算方法計算Jφφ都是相當復雜的，工程上通常經驗公式進行估算。本文采用杜埃爾公式進行計算。

式中Δ——船舶排水量（t）；

B——船寬（m）；

zg——從基線算起的船舶重心高度（m）；

g——重力加速度。

從來源上式沒有考慮附加慣性矩，如果考慮附加慣性矩應該把系數改為10或11［4］。但是若干實測數據比較，由上式計算的結果接近于總慣性矩，因此可以把上式當成總慣性矩計算式。

橫搖阻尼力矩取線性阻尼加立方阻尼的形式，即：

式中B1、B3——阻尼力矩系數。

在縱浪中航行的船舶交替處于波峰和波谷上，恢復力矩最大的特點是隨時間變化。在斜浪中航行的船舶，升沉、縱搖運動明顯，升沉和縱搖改變了水下船體的形狀和船體周圍流場的壓力分布，也引起船舶橫搖恢復力臂的變化。因此恢復力矩應是橫搖、升沉、縱搖、波浪升高及時間的函數：

其中：Δ是船體的排水量，η為波面升高。

進一步分析可知，在縱浪中航行升沉、縱搖、波浪主要是使船體的初穩性高隨時間波動。根據Francesctto.A的研究［5］,恢復力臂可用以下形式表示：

根據加拿大A.Bruce Dunwoody博士的理論推導［6］，運用“Froude-Krylov”假定和“Gauss”散度定理［7,8］，穩性高度的變化量可表示為：

式中：a和b是船體的形狀系數，a反映船寬隨吃水方向的變化對初穩性高波動的影響，反映船寬沿船長方向的分布對初穩性高波動的影響。ρ為海水的密度，g為重力加速度，B為橫剖面寬，B′為水線處船寬沿吃水的變化率，Zc和A0分別為靜水面下船體各橫剖面的質心垂向坐標和面積，Zf為靜水面到坐標原點的垂向距離，Aw是水線面面積，xf是船體漂心的縱坐標，是船體的縱穩性高。

將式（3）、（4）、（5）代入式（1）中可得到隨機波中參數激勵船舶非線性橫搖運動方程：

將上式兩邊同除以（Iφφ+Jφφ），經變換處理得：

在規則縱浪中，可以認為參數激勵按余弦規律變化，則規則縱浪中船舶參數激勵非線性橫搖運動方程為：

式中：h0為無因次參數激勵幅值；

2 參數激勵橫搖運動響應算例

2.1 建立運動坐標系

假設船舶航向和航速保持不變，建立兩個坐標系：Oξζη為空間不動的絕對坐標系，Oξζ平面與靜水面平行，波浪沿Oξ軸正方向傳播，Oη軸垂直于靜水面向上，表示波面升高；oxyz為隨船移動的相對坐標系，原點oxy固定在船舶重心，ox平面與靜水面平行，oy軸指向船舶航行方向，oz軸指向船舶左舷，軸垂直于靜水面向上，該坐標系隨船舶平移，但不隨船舶轉動。兩個坐標系的示意圖如圖1所示，其中χ表示航向角。隨浪時χ=0，迎浪時χ=180°。

圖1 船舶運動坐標系

設船速為u，則t時刻在絕對坐標系下，規則波的波面方程為：

船體的橫搖，縱搖和升沉運動都是在相對坐標系oxyz中描述，所以需要將絕對坐標系中的波面升高轉換到相對坐標系Oξζη中。把波面方程轉化到相對坐標系下為：

式中：ωe=ω-ku cosχ為船體遭遇頻率；為波幅。

2.2 船舶基本參數

本文以某型號船為例，研究規則縱浪中船舶參數激勵橫搖運動特性。該船基本參數見表1。

表1 船舶基本參數

擬合靜穩性曲線可得三次和五次非線性恢復力矩系數為K3=-0.794 1m，K5=0.079 9m，對應的無因次恢復力矩系數k3=-0.804 6，k5=0.081 0。根據經驗公式取得線性橫搖阻尼系數B1=18.75 tm2s-1，三次非線性橫搖阻尼系數B3=144.6 tm2s［9］，與它們對應的橫搖衰減系數為=0.069 6 s-1，=0.536 7 s。

根據船舶相關參數，通過計算，可得船型系數a，b。圖2“○”和“☆”分別為計算所得a/Δ和b/Δ數值，曲線為采用九次多項式逼近得到的擬合曲線。

九次多項式逼近方程：

圖2 沿船長分布

2.3 遭遇頻率對規則縱浪中參數激勵船舶橫搖的影響

圖3 不同船速下初穩性高變動項gm（t）

從圖3可以看出，在波高和波長一定的情況下，不同的船舶航速得到的初穩性高波動頻率不同，等于船—波遭遇頻率，但初穩性高波動幅值相同。本例gm（t）max=0.578 3m，與之對應的無因次參數激勵幅值h0=0.586。

圖4 橫搖角時間響應歷程

把以上求得的初穩性高波動項代入橫搖運動方程，取初始條件［φ0］=［0 0.1 rad/s］，用龍格－庫塔數值法模擬橫搖角時間響應歷程，如圖4所示。

分析圖4知，當遭遇頻率為ωe=2.236 rad/s，即為船舶橫搖固有頻率的2倍時，處在規則迎浪狀態中行駛的船舶將會出現橫搖運動，并且橫搖幅值會在短短的幾個周期后放大到大的角度，最終連續重復大幅橫搖，產生參數激勵共振行為。

2.4 波長對規則縱浪中參數激勵船舶橫搖的影響

保持波高H=3m，遭遇頻率為船舶橫搖固有頻率的2倍（ωe=2.236 rad/s）不變，船舶處于迎浪航行，改變波長的取值，初始條件取［φ0］=［0.05 rad 0.1 rad/s］，得到波長和船舶穩定橫搖幅值的關系，見圖5。

圖5 波長和船舶穩定橫搖幅值的關系

分析圖5可知，當波長接近船長時，船舶的穩定橫搖幅值較大，參數激勵橫搖最為劇烈。

2.5 波高對規則縱浪中參數激勵船舶橫搖的影響

圖6 波高和船舶穩定橫搖幅值的關系

保持波長λ=40 m，迎浪航行，遭遇頻率為船舶橫搖固有頻率的2倍（ωe=2.236 rad/s）不變，船舶處于迎浪航行狀態，改變波高H的取值，初始條件取為［φ0］=［0.05 rad 0.1 rad/s］，得到波高和船舶穩定橫搖幅值的關系見圖6。

分析圖6可知，船舶的穩定橫搖幅值隨著波高的增大而增大，波高越大參數激勵橫搖越激烈。當波高小于某一閾值時，不能激起參數激勵橫搖運動。

3 結語

本文考慮船舶橫搖運動中恢復力矩及阻尼力矩的非線性，以及垂蕩和縱搖與橫搖之間的耦合作用，建立了船舶在規則縱浪中參數激勵非線性橫搖運動方程；采用龍格—庫塔法數值模擬了橫搖角時間響應歷程；給出初穩性高波動項的計算方法，討論分析了波長、波高及船速對參數激勵橫搖運動特性的影響。通過分析，可以得出以下結論：

（1）船舶發生參數橫搖的現象是船體在來波激勵下的諧振現象。當船速使船—波遭遇頻率為船舶橫搖固有頻率的2倍時，船舶發生參數橫搖危險的可能性最高。事實上，理論分析和實驗顯示，當船—波遭遇頻率與船舶橫搖固有頻率比為2、1、……時，都有可能發生參激共振，只是為2時最嚴重［10］。參數橫搖從初始擾動到最終的發生要經歷一定時間的激勵過程。并且，波浪參數和航速等諸多因素的不同也使得參數橫搖的發生過程存在一定差異。參激共振時船舶的恢復力矩發生周期性的變化，船舶連續重復大幅橫搖，如果船舶的穩性不足，或不及時采取措施，就有傾覆的可能；

（2）當波長和船長近似相等時，船舶的穩定橫搖幅值最大，參數激勵橫搖最劇烈；當波長遠小于或遠大于船長時，船舶橫搖幅值很小，或不能發生參數激勵橫搖運動；

（3）只有當波高大于某一閾值時，才能激起參數激勵橫搖運動，且船舶的穩定橫搖幅值隨著波高的增大而增大。

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［8］李紅霞.縱浪和斜浪中船舶非線性運動特性研究［D］.天津：天津大學，2007.

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Ship parametric excitation rolling motion in a regular longitudinal wave

Li Hao Lu Jianhui

stability；regular longitudinal wave；parametric excitation；non-linear rolling；initial stability high-wave motion

As regards the nonlinearity of the recovery moment and the damp moment in the ship rolling motion，a nonlinear rolling equation of the ship parametric excitation in a regular wave has been set up and the parametric excitation rolling motion in a regular longitudinal wave has been studied.The occurrence condition of the parametric excitation rolling motion and the dynamic features of the large magnitude rolling motion has been discussed and the influence of speed，wave height and length etc.on the parametric excitation rolling motion has been analyzed.

U661.2+2

A

1001-9855（2011）01-0016-05

2010-08-18

李浩（1985-），男，漢族，碩士研究生，研究方向為結構控制及故障辨識技術。

陸建輝（1960-），男，漢族，教授，碩士生導師，研究方向為海洋結構設計、動力分析。