具有階段結(jié)構(gòu)的害蟲-天敵模型的脈沖控制

黃利航 ,黃建科

(1.空軍工程大學理學院,陜西西安 710051;2.西安陸軍學院科學文化基礎教研室,陜西西安 710108)

0 前言

在人類農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,要消滅害蟲,通常使用生物控制(利用害蟲的天敵來捕食害蟲)以及使用殺蟲劑這兩種方法。實踐中經(jīng)常把這兩種方法結(jié)合起來[1],使用適量的殺蟲劑,并且使天敵不至于滅絕。

在使用殺蟲劑時,一般不會每天使用,而只是在一年的某些時間使用,例如在害蟲的繁殖期進行脈沖形式的噴灑農(nóng)藥。近年來脈沖形式的模型越來越受到大家的關(guān)注,也得到了許多很好的結(jié)論[2-5]。但是,有些殺蟲劑只對害蟲的一個階段起作用,比如蚜蟲,噴灑藥物只消滅其幼蟲,這就需要采用階段(年齡)結(jié)構(gòu)的模型。這是近年大家關(guān)注的熱點[6-7],本文就結(jié)合這幾點來研究害蟲-天敵模型在脈沖控制下的穩(wěn)定性:

其中,x1為害蟲的幼年種群;x2為害蟲的成年種群;y為天敵種群;d1,d2分別為種群x與y的死亡率;b為成年種群的出生率;r1為從幼年轉(zhuǎn)化為成年的轉(zhuǎn)化率;r2為天敵種群的內(nèi)稟增長率;a為捕食率;k為消化率。且所有的系數(shù)都為正常數(shù),0＜p＜1。本文第1節(jié)研究p為常數(shù)時,模型的穩(wěn)定性;第2節(jié)考慮脈沖作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 沒有脈沖控制時系統(tǒng)的穩(wěn)定性

當連續(xù)使用殺蟲劑時,考慮如下微分方程:

其中,p為常數(shù),表示殺蟲劑的使用率,即平均使用殺蟲劑。設:

其中,ωi＞0;i=1,2。則V沿著系統(tǒng)(2)的解的導數(shù)為:

2 脈沖控制

當以脈沖形式噴灑殺蟲劑時,對系統(tǒng)(1),由于天敵具有階段結(jié)構(gòu),假設有性質(zhì) x1+x2=1。

2.1 無天敵的情況

則模型(1)轉(zhuǎn)化為:

在脈沖區(qū)間積分式(4)的第1個方程得:

在連續(xù)脈沖下,幼年種群將會減少,

把x1(t0)=代入式(5),得到無天敵情況下周期解的完全表達式:

定義

定理2 當式(9)成立時,無天敵的周期解(x1(t),x2(t),y(t))是漸近穩(wěn)定的。

證明 由于式(8)的T周期解的穩(wěn)定性由其解的小振幅擾動決定,設:

其中,u(t),m(t),n(t)為小擾動,次線性化方程可寫為:

其中,Φ(t)=φij(t),(i,j=1,2,3)滿足:

其中,Φ(0)=I,I為單位矩陣。線性化系統(tǒng)(1)的第4,5,6個方程為:

由文獻[8],令:

2.2 天敵種群不為0時的情況

由于x1(t)+x2(t)=1,可以簡化系統(tǒng)(1)為:

且滿足F2(x1,0)=θ2(x1,0)≡0,當x1(t)≠0時,θ1≠0;當y(t)≠0時,θ2≠0。利用文獻[9]的記號以及計算公式,把時間T引入流Φ中,令Φ為式(10)的流,有U(t)=Φ(t,x0,y0),0＜t≤T,其中,U0=U(x0,y0);x0=x1(0);y0=y(0);U(T)=Φ(T,U0)。

且有下列公式:

定理3[9]如果＜1,d′0=0,那么:

(Ⅰ)若BC≠0,則系統(tǒng)(10)出現(xiàn)分支周期解。而且,當BC＜0時,周期解是上臨界分支周期解;當BC＞0時,周期解是下臨界分支周期解。

(Ⅱ)若BC=0,此方法無法判定。

利用定理[9],計算下列式子:

則N(τ0)＞0。可知N(t)為增函數(shù),則B＞0。

定理4 當T＞τ0且充分接近τ0時,如果滿足式(11),則系統(tǒng)(10)存在一個下臨界正周期解。

3 結(jié)論

利用x1(t)+x2(t)=1,式(11)變形為:

比較式(9)與式(12)可知:當脈沖周期T大于τ0且在τ0附近變化時,系統(tǒng)的解由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定,且隨著y的增加根據(jù)脈沖周期T開始以較大的振幅振動。

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