參數(shù)H(a,X)與正規(guī)結(jié)構(gòu)

張海霞 ,劉景源

(1.河南師范大學數(shù)學與信息科學學院,河南新鄉(xiāng) 453007;2.安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南安陽 455000)

0 前言

下面給出Banach空間是一致非方的和具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的概念。

定義1[8-9]Banach空間X是一致非方的,若存在δ＞0,使對任意x,y∈S(X)或者

定義2[2,9-10]Banach空間稱為具有(弱)正規(guī)結(jié)構(gòu),若X的每個非空(弱緊凸子集)有界閉凸子集A至少包含一個非直徑點,即存在x0∈A,使得:

本文對常數(shù)J(a,X)進行了改進,定義了新參數(shù)H(a,X),得到該參數(shù)的一些性質(zhì),同時證明了其與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關系定理,H(a,X)除了具有常數(shù)J(a,X)的特點外,還可利用它計算出一些具體空間上的參數(shù)值,這是常數(shù)J(a,X)很難辦到的。

1 參數(shù)H(a,X)的性質(zhì)及與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關系

定義3 對a≥0,x∈S(X),y,y-ax∈B(X),令:

由參數(shù)H(a,X)的定義容易得到以下性質(zhì):設X是非平凡Banach空間,則有:

(I)H(0,X)=J(X),H(a,X)≤2,a＞0;

(II)H(a,X)≤J(a,X),H2(a,X)/2≤CNJ(a,X);

(IV)H(b,X)+a/2≤H(a,X)+b/2,其中,0≤a≤b,特別H(a,X)是[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù),其中,參數(shù)J(X)、CNJ(a,X)的定義和性質(zhì)參考文獻[7]。

引理1[3,8]設x,y∈S(X),0＜ε＜1,且(x+y)/2＞1-ε,則對任意0≤c≤1,z=cx+(1-c)y,有＞1-2ε。

定理1 如果對某個a∈[0,2),有H(a,X)＜2,則X是一致非方的。

證明 若a=0則顯然成立。若a≠0,假設X不是一致非方的,則對任意0＜ε＜1,存在x,y∈ S(X),使得/2＞1-ε/2＜1-ε。取y1=(1-a/2)x+(a/2)y∈B(X),則有y1-ay=(1-a/2)x+(a/2)(-y)∈B(X),由引理1知:

從而H(a,X)≥2(1-2ε),由ε的任意性知:H(a,X)=2,與已知矛盾,故得證。

定理2 如果對某個a∈[0,1],有H(a,X)＜(3+a)/2,則X具有正規(guī)結(jié)構(gòu)。

證明 由題設知X是一致非方的,從而是自反的,其上正規(guī)結(jié)構(gòu)與弱正規(guī)結(jié)構(gòu)等價,故只需證明 X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu)。

假設X不具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu),則對任意 ε＞0,存在 x1,x2,x3∈S(X),滿足 x2-x3=x1;(x1+x2)/2＞1-ε(x1-x3)/2＞1-ε,現(xiàn)取

2 計算二維Day-James空間關于參數(shù)H(a,X)的精確值

例 考慮二維Day-James空間X=l∞-l1,其上范數(shù)為:

下面將證明相反不等式,設以下出現(xiàn)的 b,c,d∈[0,1]。

當x在第一象限時,設x=(1,b)∈S(X),由對稱性僅討論y在單位球上且在x與-x連線上部的情形。

如果y在第一象限,設y=(c,d)∈B(X),且d≥bc,則:

如果y在第二象限時,設y=(-c,d),則:

如果y,y-ax都在第三象限,設y=(-c,-d),且d≤bc,則:

又y-ax∈B(X),于是d+ab≤1;c+a≤1。而

采用類似方法可討論 x在第二象限的情形,再由單位球面的對稱性,x在其他位置時有同樣的結(jié)論。

3 結(jié)論

證明了參數(shù)H(a,X)與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關系定理,從而得到一類具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間。計算出了二維Day-James空間X=l∞-l1上參數(shù)H(a,X)的精確值,此說明參數(shù)H(a,X)的優(yōu)越性。但由于空間X=l∞-l1具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)[7],故定理2的不等式結(jié)論還有待提高,且需要進一步討論H (a,X)與一致正規(guī)結(jié)構(gòu)關系。

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