成形磨齒砂輪截面廓形建模及修形

吳鋒超,鄧效忠,蘇建新

(河南科技大學機電工程學院,河南洛陽 471003)

0 前言

成形法磨齒是利用成形砂輪磨削齒輪的漸開線齒形,齒輪的漸開線齒形主要由砂輪廓形保證。在磨削直齒圓柱齒輪時,砂輪的軸線垂直于齒輪的軸線,砂輪軸向截形的對稱線和齒輪齒槽的對稱線相重合,砂輪的軸向截形就相當于齒輪齒槽的端面截形[1]。以前的砂輪截面廓形是按齒槽的公稱尺寸設計,利用單面磨削方法獲得齒側間隙。這樣砂輪及工件的受力不對稱,不利于磨齒精度的提高,操作也繁瑣。本文按照齒輪齒槽的實際尺寸設計砂輪截面廓形,砂輪及工件的受力對稱,有利于磨齒精度的提高,操作相對簡單,磨削效率和自動化程度高。

一般數控系統只有直線和圓弧插補功能,因此,對漸開線廓形曲線進行修形,需要進行數值處理。即用一系列的直線段或圓弧去逼近漸開線,并計算出這些小段直線或圓弧的連結點坐標,即節點坐標。圓弧逼近程序段少、誤差小、而且刀具軌跡相對圓滑[2-4]。本文在 VC++環境下編寫程序計算漸開線的節點及其圓心和半徑,并生成NC加工代碼。

1 公法線長度偏差與基圓齒槽半角之間的關系

1.1 砂輪模型建立的理論依據

在加工齒輪時常用公法線長度來控制齒厚,以達到控制側隙的目的。在齒輪的工作圖中,常看到的也是公法線長度以及上下偏差。假設公法線的長度為L,上偏差為△mL,下偏差為△ML,在(L-△mL)與(L-△ML)之間,只要給一個偏差值,就對應一個砂輪截面模型。

1.2 基圓齒槽半角

所謂基圓齒槽半角,就是基圓齒槽所夾的中心角的一半,如圖1所示。標準直齒圓柱齒輪中,分度圓處的漸開角為[5-6]:

由于分圓齒槽半角等于π/(2z),故基圓齒槽半角為:

對于變位齒輪,基圓齒槽半角為:

圖1 基圓齒槽半角

以上公式中,z為齒數;αf為分圓壓力角;ξ為變位系數。

1.3 公法線長度偏差與基圓齒槽半角的關系

對于標準直齒輪:σ′j=(tanαf-αf)+

對于變位直齒輪:σ′j=-(tanαf-αf)+

圖2 公法線長度偏差與基圓齒槽半角關系

這里用 σ′j表示改變后的基圓齒槽半角,以區別于公稱尺寸的基圓齒槽半角 σj。

2 砂輪截面廓形方程的建立

在圖3中,以齒輪中心為座標原點 O,通過齒槽對稱線作OY座標軸線。設齒槽右側漸開線在基圓上的起點為 a點。漸開線齒形的極坐標表達式為:

式中,α為壓力角;θ為極角;r為極徑。

漸開線的直角坐標表達式為:

圖3 漸開線齒形坐標及節點劃分

由于左側齒廓與右側齒廓關于 y軸對稱,左側的漸開線齒形方程,只需把上面方程中的 x取負值即可,齒根圓用直線y=r根代替。

3 圓弧逼近曲線的節點計算

3.1 漸開線上節點的離散

如圖3所示,設圓弧逼近允差為 ε,根據文獻[7],相鄰兩節點 pn與 pn+1曲率半徑之間的關系為:

式中,k為放大系數,可在 6～9范圍內選取。

逼近圓弧半徑為:

知道了劃分節點的曲率半徑后,就很容易求出節點處漸開線的壓力角 α。

3.2 刀具圓弧中心軌跡的推導

成形砂輪廓形是靠金剛石滾輪的外圓與端面之間的圓弧倒角(半徑為R)來進行修整的,圓弧倒角的中心運動軌跡曲線與砂輪軸截面廓形曲線是一對間距為 R的等距曲線。所以,要修整出正確的成形砂輪廓形,還需要利用等距曲線推導出金剛石滾輪圓弧中心的運動軌跡。這對于無刀具半徑自動補償功能的機床尤為重要。

若已知曲線的參數方程為x=x(t)、y=y(t),則間距為a的內等距曲線方程為[8]:

由于成形砂輪廓形凹向砂輪方向,所求刀具中心運動軌跡曲線在砂輪廓形法線的正方向,所以所求等距曲線是成形砂輪廓形的內等距曲線。分別將式(1)中x、y對α求導,并代入式(2)可得間距為 R的等距曲線參數方程

金剛石滾輪圓弧中心軌跡與漸開線的逼近圓弧是等距圓弧,其圓心相同半徑相差 R。

3.3 計算機實現圓弧逼近節點計算和NC代碼生成

在 VC++開發環境下開發計算程序,該程序主要包括:基本參數輸入、生成節點坐標、逼近圓半徑、誤差值及NC代碼。如果最大誤差超過逼近允差,應改變放大系數k值重新計算。

現以齒數z=20,模數m=5,分圓壓力角αf=20°的標準圓柱齒輪為例來計算各參數。計算表明:圓弧法逼近漸開線誤差極小,逼近精度相當高,而且程序段很少。程序運行后,圖形界面如圖4所示。圖5是生成的NC代碼。

圖4 程序運行界面

4 結束語

本文所建砂輪截面廓形的數學模型,改進了成形法磨齒時的磨削工藝,實現了砂輪截面廓形的數字化設計,利用程序實現圓弧逼近節點劃分,自動生成數控加工代碼,方便了數控程序員編程,為成形法磨削圓柱直齒輪提供了參考和借鑒。

圖5 生成的NC代碼

[1] 賀紅霞,張洛平.基于斜齒圓柱齒輪數控成形磨削方式下的砂輪修形軌跡計算[J].煤礦機械,2004(10):12-14.

[2] 丁克會,席平原,周紅斌.參數方程曲線的最優逼近算法及實現[J].機械傳動,2008,32(6):57-59.

[3] 王麗萍,孫國防,季紹坤.非圓曲線數控編程的等誤差圓弧逼近法及其實現[J].現代制造工程,2006(10):30-32.

[4] 范云霄,馬靜敏,沈友徽.非圓曲線的等誤差圓弧逼近法及刀具軌跡仿真[J].煤礦機械,2004(12):77-78.

[5] 袁哲俊,劉華明,唐宜勝.齒輪刀具設計:上冊[M].北京:新時代出版社,1983.

[6] 秦川機床廠“七.二一”工人大學,西安交通大學機制教研室.磨齒工作原理[M].北京:機械工業出版社,1977.

[7] 張彥博.等誤差圓弧逼近漸開線的節點計算新方法[J].組合機床與自動化加工技術,2003(4):26-27.

[8] 傅則紹.微分幾何與齒輪嚙合原理[M].東營:石油大學出版社,1999.