一類含立方項非線性振動微分方程的解析解

何松林

(昆明學院物理科學與技術系，云南昆明650214)

0 前言

含立方項的非線性振動是物理學及工程應用中出現較多的一類非線性振動［1－2］。立方項系數遠小于線性項系數的杜芬方程，作為弱非線性的典型代表，得到了非常廣泛的應用［3］。近年來，有關含立方項的強非線性實際振動系統的研究越來越多，如雙彈簧振子的橫向振動［4］、新材料中的納米機械共振子的振動［5］及懸索的振動［6］等。描述這些振動系統的微分方程中，線性項常常小于立方項，甚至僅存在立方項。為了解決強非線性振動在工程設計中的實際應用，出現了諸如能量法、廣義諧波函數平均法、范式理論方法、同倫攝動法及迭代攝動法等多種強非線性振動系統周期解的近似求解方法［7－12］。這些方法原則上都可以用來求解強立方非線性振動方程周期解，但只能得到近似結果。本文將依據彈性力作用下系統機械能守恒的原理，求解出一類含有線性項和立方項的非線性微分方程的精確解析解。

1 含立方項非線性方程的橢圓函數解

常見的含立方項非線性自由振動微分方程可表示為:

式中，k1≥0，k2≥0是由振動系統性質決定的非負常數。為了方便，設初始條件為:

式(3)表明:方程(1)表示的系統在振動過程中總機械能守恒。設總機械能為E，則在式(2)表示的初始條件下E=k1A2+k2A4，從而:

式(4)表明:系統的相圖為閉合凸曲線，則式(1)的解可設為［9］:

將式(5)求導得:

將式(5)、式(6)代入式(3)得:

則式(8)化為:

式(10)兩端積分得:

即:

其中，F(θ，λ)是模為λ，參數為θ的勒讓德第一類橢圓積分［13］，其反函數為:

將式(12)代入式(5)得:

相應地:

式(13)、式(14)中sn、cn和dn是雅可比橢圓函數。橢圓函數是雙周期的亞純函數，橢圓余弦函數cn的一個實周期為4K(λ)=4F(，λ)，其中，K(λ)是模為λ的第一類完全橢圓積分。因此，由LT= 4K(λ)可以得到式(1)表示的振動系統的周期為:

2 具體算例

為了考察方程(1)的解析解式(13)的合理性，具體分析幾個算例。

2.1 線性諧振子

當k2=0時，式(1)化為:

式(17)和式(18)與眾所周知的結果完全相同。

2.2 立方非線性振動

當k1=0時，式(1)化為:

式(21)表明立方振子的周期與振幅成反比，比例系數由k2確定。這與已有的報道［14］完全相同。

2.3 杜芬系統的自由振動

當k1=ω;k2=εω，其中0≤ε＜＜1，方程(1)化為:

式(22)是杜芬系統自由振動微分方程，可采用多種近似方法進行求解［3］。

由式(9)得:

將L和λ的結果代入式(13)即可得到式(22)的解。

由于0≤ε＜＜1，而A有限，因而一般有0＜εA2＜1。第一類完全橢圓積分的級數展開式為:

將其代入式(15)，并忽略ε2以上的高階小量，得:

式(23)與采用多種近似計算得到的結果一致［3］。從以上3個算例可以看出:解析解和周期表達式(13)和式(15)是合理的。

3 解析解與數值解結果的比較

將方程(1)采用MATLAB［15］的ode45函數進行四階龍格－庫塔數值求解，將得到的振動曲線與由式(12)計算得到的振動曲線在同一圖中進行比較;同時，將數值解得到的相圖與由式(12)、式(13)得到的相圖在同一圖中進行比較。

3.1 程序設計

用fun31.m文件定義待求函數。

在ww1.m文件中實現解析解和數值解結果的比較。

3.2 數值實驗結果

采用以上程序進行數值實驗發現:無論k1、k2和A如何取值，由式(13)和式(14)得到的振動曲線和相圖與數值解得到的振動曲線和相圖完全重合。

圖1是k1=1 s－2，k2=1 m－2s－2，A=1 m時方程(1)的數值解(虛線)與解析解(實線)結果的比較。圖1a是振動曲線的比較，t是時間，x是位移。圖1b是相圖的比較，其中，x表示位移，v表示速度。由圖1可見:無論是振動曲線還是相圖，解析解與數值解的曲線完全重合。這充分說明橢圓函數型解式(13)和式(14)式確實有效。

圖1 解析解結果(實線)與數值解結果(虛線)比較

綜上所述，本文利用僅受彈性力作用的系統，其機械能守恒的原理，精確求解了一類含線性項和立方項的非線性振動微分方程，并通過與常見的算例及一般情況下的數值解結果進行對比，說明解析解是有效的，豐富了含立方項非線性振動的研究。

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