一種基于除余法的數制轉換方法

程鐵良 常巧霞

(鄭州職業技術學院，鄭州 410121)

數制是人們利用符號進行計數的科學方法。日常生活中，我們用到的大都是十進制的數。其實數制有很多種，在計算機中，常要用到二進制、八進制、十六進制的數，所以計算機的許多基礎學科中都涉及到了進制轉換的問題。在實際教學過程中，筆者發現，好多學生不能正確、熟練地進行進制轉換，或對進制轉換的概念比較模糊。筆者根據多年的教學經驗，就進制轉換問題，提出一些思考或建議。

1 傳統的數制轉換方法

在許多教材中，關于進制的轉換，一般是這樣的：

1.1 二進制數、十六進制數轉換為十進制數(按權求和)

二進制數、十六進制數轉換為十進制數的規律是相同的：把二進制數(或十六進制數)按位權形式展開多項式和的形式，求其最后的和，就是其對應的十進制數——簡稱“按權求和”。例如:

(1)把(1001.01)2轉換為十進制數

解：(1001.01)2

=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+0+0+1+0.5+0.25

=9.75

(2)把(38A.11)16轉換為十進制數

解:(38A.11)16

=3×162+8×161+10×160+1×16-1+1×16-2

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

1.2 十進制數轉換為二進制數 (除二取余法)

整數轉換。一個十進制整數轉換為二進制整數通常采用除二取余法,即用2連續除十進制數，直到商為0,逆序排列余數即可得到――簡稱除二取余法。

例：(1)將25轉換為二進制數

解: 25÷2=12 余數1

12÷2=6 余數0

6÷2=3 余數0

3÷2=1 余數1

1÷2=0 余數1

所以25=(11001)2

1.3 二進制數與十六進制數之間的轉換

由于4位二進制數恰好有16個組合狀態,即1位十六進制數與4位二進制數是一一對應的。所以,十六進制數與二進制數的轉換是十分簡單的。

(1)十六進制數轉換成二進制數,只要將每一位十六進制數用對應的4位二進制數替代即可，簡稱位分四位。

例:將(4AF8B)16轉換為二進制數。

解: 4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二進制數轉換為十六進制數,分別向左,向右每四位一組,依次寫出每組4位二進制數所對應的十六進制數――簡稱四位合一位。

例:將二進制數(111010110)2轉換為十六進制數

解: 0001 1101 0110

1 D 6

所以(111010110)2=1D6H

轉換時注意最后一組不足4位時必須加0補齊4位。

2 數制轉換分析

2.1 數制的概念

首先，要理解數制的概念。數制是用一組固定的符號和統一的規則來表示數值的方法。其基本術語有：數碼：數制中表示基本數值大小的不同數字符號。基數：數制所使用數碼的個數。位權：數制中某一位上的1所表示數值的大小。

對于十進制來說，是以10為基數，有10個數碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。小于10的是個位，從0～9，一位數，然后是十位，從10到99，2位數，依此類推百位、千位...對于二進制、八進制、十六進制來說基數分別是2、8、16，它們的個位數不同，二進制0～1是個位，八進制0～7，十六進制0～F(15)，超過這些才能進位到下一位。十進制逢十進一，八進制逢八進一，這樣八進制里只能出現0～7，如果個位到8了，就會自動進位，這樣第二位變成1，第一位的數都進上去了，就變成0了，因此八進制超過8的數用兩位表示。

2.2 按權展開式

對于任何一個數來說，都可以表示成加法的形式：

例如：256=2×100+5×10+6×1

這種方法叫按權展開，意思就是從高到低一級一級展開成加法的形式；對于一個八進制的數來說也是這樣，只是在基數那兒有些區別，八進制是1、8、64、…

例如：271=2×64+7×8+1×1

對于十六進制來說，基數是1、16、256、4096…

例如：35=3×16+5×1

對于二進制來說，基數是1、2、4、8、16…

例如：110=1×4+1×2+0×1

總結一下基數，就是從0次方開始，然后一次方、二次方…相當于個位、十位、百位…。

2.3 數制轉換的實質

數制轉換相當于把數重新排一下，一般情況下我們是用十進制，對于一個數來說，個位表示幾個、十位表示幾十，百位表示幾百，這樣就很方便地知道一個數有多大。

例如255，我們知道這個數有二百、五十、五個，也就是右邊起，第一位是個位表示有幾個，這兒有五個；第二位是十位表示有幾十，這兒有五十；第三位是百位，表示有幾百，這兒有二百，總數共是255個。

對于八進制來說，總數是255個的時候，寫成八進制的數是377，分析一下是怎么回事： 從右邊開始，第一位是個位，這兒是7個。由于是八進制，第二位就不是十位了，而是八了，這兒有7個八也就是五十六。同樣第三位也不是百位，而是六十四，這兒有3個六十四也就是一百九十二，總數仍然是255。

從這兒可以看出，總數相同的時候，表示成不同數制，數也不一樣，關鍵是每個數位上的基數不同，例如對于十進制來說，第二位是十位，這個位置上的數一個頂十個，而對于八進制的第二位，這個位置上的數一個只能頂八個。

數制轉換的時候只是把數按要求重新排列一下，比如轉成八進制，就按八進制的要求排列，二進制就按二進制的要求排列。

八進制各個數位是：1、8、64、512…相當于十進制的個、十、百、千，按照8的n次方往后排；二進制各個數位是：1、2、4、8、16…相當于十進制的個、十、百、千、萬，按照2的n次方往后排；十六進制的分別是：1、16、256…

3 另一種數制轉換方法

轉換的時候，必須要按照上面的要求來重新排列數字，基本方法是找出最近的一個數位，然后用除余法找出各個位置上的數。比如：

3.1 十進制轉為八進制

以255為例。離255最近的數是第三位64，用255除以64，得3余63，第三位上求出來是3；用余數63除以第二位8，得7余7，第二位上求出來是7；用余數7除以第一位1，得7余0，第一位上是7；所有的數都擺好了，結果是377。

3.2 十進制轉化為二進制

以15為例。跟數位表對一下，最近的是8，除一下得1余7，第四位是1；用余數7除以4，得1余3，第三位是1；用余數3除以2，得1余1，第二位是1；用余數1除以1，得1余0，第一位是1；所有的數位都排好，結果是1111。

當然，在實際操作中，兩種數制轉換方法不是截然分開的，而是相互結合、取長補短的。總之，學無定法，貴在動腦。只要勤動手，肯動腦，一切問題都可以迎刃而解。

[1]孟林.計算機文化基礎教程[M].成都:電子科技大學出版社，2004.

[2]北大數學力學系.高等代數[M].北京:高等教育出版社，2000.