紙張折疊問題

【問題】如圖1，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連接EP．

（1）如圖2，若M為AD邊的中點(diǎn)，

①△AEM的周長=cm；

②求證：EP=AE+DP；

（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，△PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由．

【命題意圖】本題是2010年徐州市的一道中考試題，它以折紙問題為背景，著重考查初中幾何的核心內(nèi)容：軸對稱圖形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形相似的條件和性質(zhì)以及勾股定理，同時(shí)也考查同學(xué)們對所學(xué)數(shù)學(xué)知識靈活應(yīng)用的能力．

【解題指導(dǎo)】本題的三個(gè)問題設(shè)計(jì)新穎，由淺入深，層層推進(jìn)，思考問題的方法由特殊到一般．第（1）問，直接由折疊的性質(zhì)可知AE+EM=AE+BE，所以△AEM的周長=2+4=6；（2）取EP的中點(diǎn)G，連接MG，可知MG既是梯形AEPD的中位線，又是Rt△MEP的中線，由梯形和直角三角形的中線的性質(zhì)可證；同時(shí)，也可以先應(yīng)用勾股定理求得Rt△EAM中的邊AE的長度，再由圖形中的相似三角形求得DP以及EP的長，從而揭示三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)AM=xcm，利用勾股定理求得AE，由△AEM與△DMP相似，應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)求得△PDM的周長，為一個(gè)定值．

【解題過程】（1）①6．

②取EP的中點(diǎn)G，連接MG．

∵ 在梯形AEPD中，M、G分別是AD、EP的中點(diǎn)，

∴ MG=■(AE+DP)．

由折疊，得：∠EMP=∠B=90°，

又∵ G為EP的中點(diǎn)，∴ MG=■EP，

∴EP=AE+DP．

（2）△PMD的周長保持不變．

證明：設(shè)AM=xcm，則DM=(4-x)cm．

在Rt△EAM中，由AE2+x2=(4-AE)2，可得AE=2-■x2．

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，

∴ ∠AEM=∠PMD．

又∵ ∠A=∠D=90°，∴ △AEM∽△DMP，

∴■=■，即■=■，

∴ C△PMD=■·(4+x)=8cm．

∴ △PMD的周長保持不變．

【追根溯源】本題類似于蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊教材第111頁第20題：

在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．

（1）將矩形紙片沿BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處(如圖3)．設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，求BF的長；

（2）將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合(如圖4)，求折痕GH的長．

【變式拓展】

小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖5，AD＞CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖6）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖7）．如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為 ．

【參考答案】■．

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