幾何中的函數問題

【問題】如圖1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證：■=■；

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

【命題意圖】本題是2010年福州市的一道中考試題，它既考查了同學們對三角形相似的條件和性質的掌握，也考查了圖形運動過程中的最大值或最小值的確定，同時，還考查了分類討論和運動變化的數學思想方法．

【解題指導】本題中的三個小問，入口較寬，以三角形相似為起點．第（1）問，由于AH是△AEF中EF邊上的高，AD是△ABC中BC邊上的高，因此，要證■=■，只需證明△AEF與△ABC相似即可；第（2）問，矩形EFPQ的面積跟EF的長度有關，根據（1）中的結論可以知道，矩形EFPQ的面積是關于x的二次函數，再利用二次函數的性質求面積最大值；第（3）問，矩形EFPQ和△ABC重疊部分的面積與運動時間有關，運動時間不同，重疊部分的形狀不同，因此，需要分類加以討論，根據不同情況確定面積S與t的函數關系式．

【解題過程】（1）∵ 四邊形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP，

∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF，∴ ■=■．

（2）由（1）得■=■，AH=■x，∴ EQ=HD=AD-AH=8-■x，

∴ S矩形EFPQ=EF·EQ=x（8-■x）=-■x2+8x=-■（x-5）2+20．

∵ -■＜0，∴ 當x=5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20．

（3）由（2）得EF=5，EQ=4.

∵∠C=45°，∴ △FPC是等腰直角三角形，∴ PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．

分三種情況討論：

① 如圖2，當0≤t＜4時，設EF、PF分別交AC于點M、N，則△MFN是等腰直角三角形，∴ FN=MF=t，∴ S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-■t2=-■t2+20；

②如圖3，當4≤t＜5時，則ME=5-t，QC=9-t，∴ S=S梯形EMCQ=■［（5-t）+（9-t）］×4=-4t+28；

③如圖4，當5≤t≤9時，設EQ交AC于點K，則KQ=QC=9-t，∴ S=S△KQC

=■（9-t）2=■（t-9）2．

綜上所述：S與t的函數關系式為：

S=-■t2+20，（0≤t＜4）-4t+28，（4≤t＜5）■（t-9）2.（5≤t＜9）

【追根溯源】本題類似于蘇科版《數學》八年級下冊教材第109頁第5題：

如圖，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若BC=a，AD=h，PN=2PQ，求矩形PQMN的長和寬（用含a、b的代數式表示）．

【變式拓展】

如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD

=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，經過t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為Scm2．

（1）當t=4時，求S的值；

（2）當4≤t≤10，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

【參考答案】1．（1）t＝4時，Q與B重合，P與D重合，重合部分是△BDC，面積為■·2·2■=2■；

（2）當4≤t≤6時，如圖6，則BQ=t-4，CR=6-t，由△PQR∽△BQK∽△CRN得，■=■2=■2，■=■2=■2.

所以S=S△PQR-S△BQK-S△CRN=3■1-■2-■2=■.

當6＜t≤10時，如圖7，BR=10-t，BK⊥PK，且∠KRB=30°，所以BK＝■BR

=■（10-t），KR=■（10-t），S=SRt△KBR=■BK×KR=■（10-t）2=■（t-10）2.

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